D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.10.019 第30卷第10期 北京科技大学学报 Vol.30 No.10 2008年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2008 土层性质幂函数变化下的一维固结 潘旦光吴顺川朱来磊王光红 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要采用分离变量法，求解了任意荷载作用下渗透系数和体积压缩系数随深度按幂函数变化土层模型的一维固结问题， 从而得到不同排水边界条件下超孔隙水压力和沉降等随时间变化的解析表达式·通过计算分析，讨论了该类非均质土固结时 超孔隙水压力、沉降的变化规律. 关键词非均质土：幂函数：一维固结；分离变量法；解析解 分类号TU433 One-dimension consolidation of soil layer with the soil properties as a power func- tion of depth PAN Danguang.WU Shunchuan.ZHU Lailei.WANG Guanghong School of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The analytical solution to the one-dimension consolidation governing equation of soil layer was deduced by use of separa- tion of variables when the laws of permeability and compressibility coefficients with depth can be expressed as power functions.The analytical expressions of excess pore pressure isochrones and settlement-to-time relations were obtained for different drainage boundary conditions under arbitrary loading.A series of cases were presented for analyzing the law of the excess pore pressure isochrones and settlement-to-time relations when those non-homogeneous soil consolidated. KEY WORDS non-homogeneous soil:power function:one-dimension consolidation:separation of variables:analytical solution 土体的固结与压缩对土的工程性质有重要影 层性质沿深度按幂函数变化土层模型的一维固结解 响.Terzaghi于1925年首先得到均质土层在瞬时 析解问题，在计算中，土层的渗透系数和体积压缩 加载条件下一维固结问题的解.由于不同土层的性 系数采用五个参数来进行描述，从而使该地基模型 质不同，同时其形成过程中应力历史和应力水平也 具有较广泛的适用性，可作为类似地基固结分析的 有较大差别，因此实际土层的渗透系数和体积压缩 参考 系数通常并非常数，很多学者对变参数土层一维固 1土层的一维固结方程及其解 结方程进行了富有成效的研究-).Schiffman和 Gibson8]采用数值解方法最早对变参数土层的一维 考虑如图1所示饱和土层一维固结分析模型， 固结问题进行系统的研究，其结果具有很强的适用 地表荷载随时间任意变化，土体的渗透系数和体积 性，数值解方法可以分析土层性质任意变化情况下 压缩系数随深度变化规律可表示为： 土层的固结问题，但对规律性的研究需要做大量的 k(z)=ko 1+a H 计算.与数值解不同，解析解可快速、全面了解某一 类土层性质下固结的变化规律90，同时可作为其 (1) 他解法合理与否的判据，具有较高的理论价值， 式中，k(z)和m(z)分别为z处土介质的渗透系 本文采用分离变量法，研究任意荷载作用下，土 数和体积压缩系数，ko和m,0分别为z=0处土介 收稿日期：2007-09-04修回日期：2007-12-12 基金项目：2006年度新世纪优秀人才支持计划资助项目(No-NCET-06-0084) 作者简介：潘旦光(1974一)男副研究员，博士，E-mail:pandanguang@sohu:com
土层性质幂函数变化下的一维固结 潘旦光 吴顺川 朱来磊 王光红 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 摘 要 采用分离变量法求解了任意荷载作用下渗透系数和体积压缩系数随深度按幂函数变化土层模型的一维固结问题 从而得到不同排水边界条件下超孔隙水压力和沉降等随时间变化的解析表达式．通过计算分析讨论了该类非均质土固结时 超孔隙水压力、沉降的变化规律． 关键词 非均质土；幂函数；一维固结；分离变量法；解析解 分类号 TU433 One-dimension consolidation of soil layer with the soil properties as a power function of depth PA N DanguangW U ShunchuanZHU L aileiW A NG Guanghong School of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he analytical solution to the one-dimension consolidation governing equation of soil layer was deduced by use of separation of variables when the laws of permeability and compressibility coefficients with depth can be expressed as power functions．T he analytical expressions of excess pore pressure isochrones and settlement-to-time relations were obtained for different drainage boundary conditions under arbitrary loading．A series of cases were presented for analyzing the law of the excess pore pressure isochrones and settlement-to-time relations when those non-homogeneous soil consolidated． KEY WORDS non-homogeneous soil；power function；one-dimension consolidation；separation of variables；analytical solution 收稿日期：2007-09-04 修回日期：2007-12-12 基金项目：2006年度新世纪优秀人才支持计划资助项目（No．NCET－06－0084） 作者简介：潘旦光（1974－）男副研究员博士E-mail：pandanguang＠sohu．com 土体的固结与压缩对土的工程性质有重要影 响．Terzaghi 于1925年首先得到均质土层在瞬时 加载条件下一维固结问题的解．由于不同土层的性 质不同同时其形成过程中应力历史和应力水平也 有较大差别因此实际土层的渗透系数和体积压缩 系数通常并非常数．很多学者对变参数土层一维固 结方程进行了富有成效的研究［1－7］．Schiffman 和 Gibson ［8］采用数值解方法最早对变参数土层的一维 固结问题进行系统的研究其结果具有很强的适用 性．数值解方法可以分析土层性质任意变化情况下 土层的固结问题但对规律性的研究需要做大量的 计算．与数值解不同解析解可快速、全面了解某一 类土层性质下固结的变化规律［9－10］同时可作为其 他解法合理与否的判据具有较高的理论价值． 本文采用分离变量法研究任意荷载作用下土 层性质沿深度按幂函数变化土层模型的一维固结解 析解问题．在计算中土层的渗透系数和体积压缩 系数采用五个参数来进行描述从而使该地基模型 具有较广泛的适用性可作为类似地基固结分析的 参考． 1 土层的一维固结方程及其解 考虑如图1所示饱和土层一维固结分析模型 地表荷载随时间任意变化土体的渗透系数和体积 压缩系数随深度变化规律可表示为： k（ z ）＝k0 1＋ a H z p mv（ z ）＝ mv0 1＋ a H z q （1） 式中k（ z ）和 mv （ z ）分别为 z 处土介质的渗透系 数和体积压缩系数k0 和 mv0分别为 z ＝0处土介 第30卷 第10期 2008年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．10 Oct．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．10．019
,1086 北京科技大学学报 第30卷 质的渗透系数和体积压缩系数，a、p和q为参数， 变形定义的固结度为： 其余假设与Terzaghi假定相同.这样变荷载下土层 CH 一维固结方程可表示为： U=s=Jo m[p(t)-uldz H p- a「 1+ (z,t) Jom pudz Pu H 1+a, 9u(z1)dp(1) dt ∂t (2) mjexp()(exp(d 「H 式中，co=ko/Ym0,u(z,t)为超孔隙水压力， p(t)表面压力，Y为水的容重 (7) p(t) 式中，S为最终固结沉降，Pu为最终压力值.因此， 0 任意时刻的固结沉降为： H ≥k(1+月y m()k(1+号y S=U,Sa=U.P.Jo md= (8) 由式(6)和(7)可知，在一定的荷载条件下，变参 数土层超孔隙水压力和沉降的计算主要涉及凸、 m、)和(z),因此获得固结解析解的关键是得到 图1变参数土层 特征方程(4)的解.下面根据参数变化的特点分以 Fig-1 Soil layer with variable properties 下三种情况分别求特征方程(4)的解. 初始条件为：t=0,u(z,0)=u0, 2特征方程的解 边界条件为：t>0,u(z,t)l:=0=0:t>0, 2.1a=0或p=q=0的情况 心到，=，=0（单面排水）.(：0l:=一0（双 此时地基为均质地基，其固结问题为经典的 面排水) Terzaghi一维固结问题的解，其单面排水解可以表 若采用分离变量法，式(2)的解可表示为： 示为] u(z,t)= $(z)y(t) (3) 其中，第j阶固有函数(z)和特征值)满足下列 方程： 对于双面排水情况，将H取一半厚度进行计算 1+ pd中(z】 H =0 dz 即可 2.2a≠0，p-g=2的情况 (4) 广义坐标Y(t)由下式得出： 采用坐标变换，令y=m1+骨 ,则特征方程 +)=.2=e)） 可以表示为： mi Jo $+(p-1)$+9=0 (11) (5) 式中，P(t)=0p/t.求解方程(4)和(5)，则变参数 式中，= a co .当(p-1)2-45≥0时，由边界条 土层一维固结方程的完全解可表示为： 件可知，式(11)的解只有一个零解：当(p-1)2- u(z,t)≥ 45<0时，令0=N45-(p-1)2/2,则式(11)的 空5eep(-[m+P(ap(a时 解为： (6) (cicos0y+)(12) 式中，5=/m￥=J0m,(z)鸟(z)dz, 将边界条件代入式(12)，经整理可得： H mj=()m()dz +2 由以上超孔隙水压力的解答，可进一步得到按 身-e-P2己)sin(单面排水)(3a)
质的渗透系数和体积压缩系数a、p 和 q 为参数 其余假设与 Terzaghi 假定相同．这样变荷载下土层 一维固结方程可表示为： cv0 ∂ ∂z 1＋ a H z p∂u（ z t） ∂z ＝ 1＋ a H z q ∂u（ z t） ∂t － ∂p（ t） ∂t （2） 式中cv0＝ k0／γw mv0u （ z t）为超孔隙水压力 p（ t）表面压力γw 为水的容重． 图1 变参数土层 Fig．1 Soil layer with variable properties 初始条件为：t＝0u（ z 0）＝ u0． 边界条件为：t ＞0u （ z t ）｜z ＝0＝0；t ＞0 ∂u（ z t） ∂z z ＝ H ＝0（单面排水）u（ z t）｜z ＝ H＝0（双 面排水）． 若采用分离变量法式（2）的解可表示为： u（ z t）＝ ∑ ∞ j＝1 ●j（ z ） Y j（ t） （3） 其中第 j 阶固有函数●j （ z ）和特征值 λj 满足下列 方程： λj cv0 1＋ a H z q ●j（ z ）＋ d d z 1＋ a H z p d●j（ z ） d z ＝0 （4） 广义坐标 Y j（ t）由下式得出： Y · j（ t）＋λjY j（ t）＝ 1 m∫j H 0 ●jmv ∂p（ t） ∂t d z ＝μjP（ t） （5） 式中P（ t）＝∂p／∂t．求解方程（4）和（5）则变参数 土层一维固结方程的完全解可表示为： u（ z t）≅ ∑ m j＝1 μj●j（ z ）exp（－λjt） u0＋∫ t 0 P（τ）exp（λτj ）dτ （6） 式中μj ＝ γj／mjγj ＝∫ H 0 mv （ z ） ●j （ z ） d z mj＝∫ H 0 ●2 j（ z ） mv（ z ）d z ． 由以上超孔隙水压力的解答可进一步得到按 变形定义的固结度为： Us＝ S Scf ＝∫ H 0 mv ［ p（ t）－ u］d z ∫ H 0 mv p ud z ＝ p（ t） p u － ∑ m j＝1 mjμ2 jexp（－λjt） u0＋∫ t 0 P（τ）exp（ττj ）dτ p∫u H 0 mvd z （7） 式中Scf为最终固结沉降p u 为最终压力值．因此 任意时刻的固结沉降为： S＝ Us Scf＝ Us p∫u H 0 mvd z （8） 由式（6）和（7）可知在一定的荷载条件下变参 数土层超孔隙水压力和沉降的计算主要涉及 μj、 mj、λj 和●j（ z ）因此获得固结解析解的关键是得到 特征方程（4）的解．下面根据参数变化的特点分以 下三种情况分别求特征方程（4）的解． 2 特征方程的解 2∙1 a＝0或 p＝q＝0的情况 此时地基为均质地基其固结问题为经典的 Terzaghi 一维固结问题的解其单面排水解可以表 示为［11］： λj＝ （2j－1）π 2H 2 cv0●j＝sin （2j－1）π 2H z （9） mj＝ mv0H 2 γj＝ 2mv0H （2j－1）π μj＝ 4 （2j－1）π （10） 对于双面排水情况将 H 取一半厚度进行计算 即可． 2∙2 α≠0p－q＝2的情况 采用坐标变换令 y＝ln 1＋ a H z 则特征方程 可以表示为： ●″j＋（ p－1）●′j＋ζj●j＝0 （11） 式中ζj＝ H 2λj a 2cv0 ．当（ p－1） 2－4ζj≥0时由边界条 件可知式（11）的解只有一个零解；当（ p －1） 2－ 4ζj＜0时令 θj ＝ 4ζj－（ p－1） 2／2则式（11）的 解为： ●j＝exp － p－1 2 y （ c1cosθjy＋c2sinθjy） （12） 将边界条件代入式（12）经整理可得： ζj＝θ2 j＋ p－1 2 2 ●j＝exp － p－1 2 y sinθjy（单面排水） （13a） ·1086· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第10期 潘旦光等：土层性质幂函数变化下的一维固结 ,1087 -md e)Ye(B)- Y(J可)(B可)=0（双面排水）(18) 通过求解式(18)得到特征值后，则特征函数可 (13) 表示为： 式(13)中号为超越方程9-Pg[h(1+o]= wi(y)=Ye())-Y(y) 0的解，在得到入和$后，不同边界条件下的y和 (19) m可表示为： 相应各阶特征值所对应的y和m可表示为： 2ln(1+a)- 2Hm0.二9 a2-厚Y()() 4gsin[21n(1+a)]}(单面排水) (14a) (9)Y-()]I2>0(20) mi= a(1+o)(双面排水) (14h) P十1 Y= 2Hm0, Y=mx H a(2-0)Y()+() 0(单面排水)(15a) ()Y+1(]I,2≤0(20b) 0H 1n(1+a) mj -+ 2 L In(i+a) (21) 1-(-1)y(1+a) (双面排水) (15b) 至此，已完成幂函数变化土层模型一维固结问 2.3其他情况 题的解，关于固结分析中其他量的计算，可在此基 令n=p一g,同时作坐标变化，令y= 础上经简单计算即可求得，在此不再赘述 a）1- 户，=y片0，则特征方程可以表示为： 3计算分析 y2m”+yw'+(y2-p2)w=0 (16) 在下面分析中，侧重分析土层性质随深度变化 4H2 式中，号=a2(2-n ,.方程(I6)为p阶Bessel方 情况下，土层固结的变化规律，因此在分析时，ko 和mo取为常数，侧重分析参数a、p和q不同变化 程，其解可表示为： 下量纲为1因子u/o和U,随量纲为1的时间因 0(y)=c1J(Ny)+c2Yp(Ny)(17) 子T,=c,ot/H的变化规律.在计算时，边界条件 式中，J()和Y()分别为pP阶第一类和第二类 统一取为单面排水边界，采用瞬时加载方式，其初始 Bessel函数， 孔隙水压力为0土层的计算参数为：土层厚 边界条件在新坐标系下可表示为： 10m,土层表面的渗透系数ko=1.0X10-8cms1, 2=0,cIJ()+c2Ye()=0; 体积压缩系数为m0=0.125MPa1. d4-125+2r-1-0 3.1p=0的情况 =H, (单面排水)： p=0表示土层的渗透系数为常数，图2为 a+1+2p+1(-oe T,=0.1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线，图3 z=H,c1Jp(3)十czY(3)=0(双面排水) 为固结度U,随T,的变化曲线，由图可知，孔压消 式中，B=(1+a)-a2.由此可得特征方程： 散和固结速度与体积压缩系数随深度的变化规律密 Jp()Yp-1(B)-Y()· 切相关，与均质土层（α=0）的固结相比，压缩模量 -8月心空之0华面术) 随深度增加（体积压缩系数随深度减少）的土层 (a>0,g<0),孔压消散和固结速度更快， J(马)Y+1(3)-Y(J)· 3.2q=0的情况 q=0表示土层的体积压缩系数为常数.图4 +1()=0,2≤0 为T,=0.1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线， (18a) 图5为固结度U,随T,的变化曲线，由图可知：
ζj＝ jπ ln（1＋ a） 2 ＋ p－1 2 2 ●j＝exp － p－1 2 y sin jπ ln（1＋ a） y （双面排水） （13b） 式（13a）中θj 为超越方程θj－ p－1 2 tg［θjln（1＋ a）］＝ 0的解．在得到λj 和●j 后不同边界条件下的 γj 和 mj 可表示为： mj＝ mv0H a 1 2 ln（1＋ a）－ 1 4θj sin［2θjln（1＋ a）］ （单面排水） （14a） mj＝ mv0H 2a ln（1＋ a） （双面排水） （14b） γj＝ mv0H a · 1 p－1 2 2 ＋θ2 j θj（单面排水） （15a） γj＝ mv0H a · jπ ln（1＋ a） · 1 p－1 2 2 ＋ jπ ln（1＋ a） 2· 1－（－1） j （1＋ a） p－1 2 （双面排水） （15b） 2∙3 其他情况 令 n＝ p － q同时作坐标变化令 y ＝ 1＋ a H z 1－ n／2 ●＝y 1－p 2－ nw则特征方程可以表示为： y 2 w″＋yw′＋（ηjy 2－ρ2） w＝0 （16） 式中ηj＝ 4H 2λj a 2（2－ n） 2cv0 ．方程（16）为 ρ阶 Bessel 方 程其解可表示为［12］： wj（ y）＝c1Jρ（ ηjy）＋c2Yρ（ ηjy） （17） 式中Jρ（·）和 Yρ（·）分别为 ρ阶第一类和第二类 Bessel 函数． 边界条件在新坐标系下可表示为： z ＝0c1Jρ（ ηj）＋c2Yρ（ ηj）＝0； z ＝ H c1Jρ－1（β ηj ）＋ c2Yρ－1（β ηj ）＝0 1－ p 2－ n ＞0 c1Jρ＋1（β ηj ）＋ c2Yρ＋1（β ηj ）＝0 1－ p 2－ n ≤0 （单面排水）； z ＝ Hc1Jρ（β ηj）＋c2Yρ（β ηj）＝0（双面排水）． 式中β＝（1＋ a） 1－ n／2．由此可得特征方程： Jρ（ ηj） Yρ－1（β ηj）－ Yρ（ ηj）· Jρ－1（β ηj）＝0 1－ p 2－ n ＞0 Jρ（ ηj） Yρ＋1（β ηj）－ Yρ（ ηj）· Jρ＋1（β ηj）＝0 1－ p 2－ n ≤0 （单面排水） （18a） Jρ（ ηj） Yρ（β ηj）－ Yρ（ ηj） Jρ（β ηj）＝0（双面排水） （18b） 通过求解式（18）得到特征值后则特征函数可 表示为： wj（ y）＝ Yρ（ ηj） Jρ（ ηjy）－Jρ（ ηj） Yρ（ ηjy） （19） 相应各阶特征值所对应的 γj 和 mj 可表示为： γj＝－ 2Hmv0 a（2－ n） · y 1－ρ ηj ［ Yρ（ ηj） Jρ－1（ ηjy）－ Jρ（ ηj） Yρ－1（ ηjy）］｜β 1 1－ p 2－ n ＞0 （20a） γj＝ 2Hmv0 a（2－ n） · y ρ＋1 ηj ［ Yρ（ ηj） Jρ＋1（ ηjy）－ Jρ（ ηj） Yρ＋1（ ηjy）］｜β 1 1－ p 2－ n ≤0 （20b） mj＝ 2Hmv0 a（2－ n） 1 2 x 2－ ρ2 ηj w 2 j β 1 ＋ 1 2ηj x 2（ w′j） 2 β 1 （21） 至此已完成幂函数变化土层模型一维固结问 题的解．关于固结分析中其他量的计算可在此基 础上经简单计算即可求得在此不再赘述． 3 计算分析 在下面分析中侧重分析土层性质随深度变化 情况下土层固结的变化规律．因此在分析时k0 和 mv0取为常数侧重分析参数 a、p 和 q 不同变化 下量纲为1因子 u／u0 和 Us 随量纲为1的时间因 子 Tv＝cv0t／H 2 的变化规律．在计算时边界条件 统一取为单面排水边界采用瞬时加载方式其初始 孔隙水压力为 u0．土层的计算参数为：土层厚 10m土层表面的渗透系数 k0＝1∙0×10－8cm·s －1 体积压缩系数为 mv0＝0∙125MPa －1． 3∙1 p＝0的情况 p＝0表示土层的渗透系数为常数．图2为 Tv＝0∙1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线图3 为固结度 Us 随 Tv 的变化曲线．由图可知孔压消 散和固结速度与体积压缩系数随深度的变化规律密 切相关．与均质土层（ a＝0）的固结相比压缩模量 随深度增加（体积压缩系数随深度减少） 的土层 （ a＞0q＜0）孔压消散和固结速度更快． 3∙2 q＝0的情况 q＝0表示土层的体积压缩系数为常数．图4 为 Tv＝0∙1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线 图5为固结度 Us 随 Tv 的变化曲线．由图可知： 第10期 潘旦光等： 土层性质幂函数变化下的一维固结 ·1087·
,1088 北京科技大学学报 第30卷 0 反，且孔压相差较大，在相同时刻，孔压越小，表明 孔压消散越快，由于渗透系数增大土层绝大部分的 0.2 孔压远小于渗透系数减小土层的孔压，因此土层的 0.4 固结更快，这也体现在图5土层固结曲线上·(2)从 固结度曲线上看，在相同的α值下，p值越大，土层 0.6 --=0.5,9-3 --a=0 的渗透系数随深度的变化越大，土层的固结速度的 -4-=0.5,g=-3 0.8 改变量越多，总体上，渗透系数随深度增大，土层固 结越快 0.2 0.40.6 0.8 1.0 % -0 +a-0.5.p=1.0 图2常渗透系数下超孔隙水压力曲线(T,=0.1) +a-0.5.p=1.5 a-0.5.p=2.0 Fig.2 Excess pore water pressure isochrones under constant perme- +-a=0.5.p=3.0 ability coefficient (T=0.1) +a-0.5.p=1.0 +--0.5,p=1.5 -a=-0.5p=2.0 -a-0.5.p=3.0 0 0.8 0.2 101 10 10 -a=0 0.4 本0.5g-1.08 -a0.5.g-1.5 -=0.5.0=-2.0 0.6 +-a-0.5.9=-3.0 图5常压缩模量下固结度的变化曲线 +a0.5.9-1.0 Fig.5 Relations of settlement to consolidation time under constant 0.8 *-a=0.5.g=-1.5 ◆--0.5.q-2.0 compressibility coefficient +-d0.5,g=-3.0 1.0 0-3 10-2 10- 10° 3.3p=q的情况 T. p=q表示土层的固结系数为常数.图6为T,= 图3常渗透系数下固结度的变化曲线 0.1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线，图7为固 Fig-3 Relations of steelement to consolidation time under constant 结度U,随Tv的变化曲线，由图可知：m,(z)和 permeability coefficient k(z)随深度同时增大，孔压消散和固结速度越慢， 由前面的分析可知：当m,(z)增大、k(z)不变时，固 结减慢；当k(z)增大、m,(z)不变时，固结加快；在 02 m,(z)和k(z)同时增大的情况下固结减慢.这是 0.4F 由于固结速度主要受土层的特征值控制，在其他条 件不变的情况下，特征值随渗透系数增大而增大，随 0.6 --=-0.5.p=-3 --0 -4-a-0.5.p-3 体积压缩系数增大而减小，因此对于p=0或g=0 0.8 10 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 图4常压缩模量下超孔隙水压力曲线(T,=0.1) -m-F-0.5,p=q-3 0.6 --0.5,p-q=3 Fig.4 Excess pore water pressure isochrones under constant com- -4= pressibility coefficient (T=0.1) --=-0.5,p=g=-3 0.8 --=0.5.pg-3 (1)渗透系数随深度增大(a>0,p>0)和渗透系数 1.0 02 0.4 0.6 0.8 1.0 随深度减小(a<0,p>0),孔压等时线的分布不 u 同，在接近透水边界附近渗透系数增大土层的孔压 图6常固结系数下孔压曲线(T,=0.1) 大于渗透系数减小土层，但孔压大小较为接近，而在 Fig.6 Excess pore water pressure isochrones under constant consol- 不透水边界附近，孔压大小关系与透水边界附近相 idation coefficient (T,=0.1)
图2 常渗透系数下超孔隙水压力曲线（ Tv＝0∙1） Fig．2 Excess pore water pressure isochrones under constant permeability coefficient （ Tv＝0∙1） 图3 常渗透系数下固结度的变化曲线 Fig．3 Relations of steelement to consolidation time under constant permeability coefficient 图4 常压缩模量下超孔隙水压力曲线（ Tv＝0∙1） Fig．4 Excess pore water pressure isochrones under constant compressibility coefficient （ Tv＝0∙1） （1）渗透系数随深度增大（ a＞0p＞0）和渗透系数 随深度减小（ a＜0p ＞0）孔压等时线的分布不 同在接近透水边界附近渗透系数增大土层的孔压 大于渗透系数减小土层但孔压大小较为接近而在 不透水边界附近孔压大小关系与透水边界附近相 反且孔压相差较大．在相同时刻孔压越小表明 孔压消散越快由于渗透系数增大土层绝大部分的 孔压远小于渗透系数减小土层的孔压因此土层的 固结更快这也体现在图5土层固结曲线上．（2）从 固结度曲线上看在相同的 a 值下p 值越大土层 的渗透系数随深度的变化越大土层的固结速度的 改变量越多．总体上渗透系数随深度增大土层固 结越快． 图5 常压缩模量下固结度的变化曲线 Fig．5 Relations of settlement to consolidation time under constant compressibility coefficient 图6 常固结系数下孔压曲线（ Tv＝0∙1） Fig．6 Excess pore water pressure isochrones under constant consolidation coefficient （ Tv＝0∙1） 3∙3 p＝q 的情况 p＝q 表示土层的固结系数为常数．图6为 Tv＝ 0∙1时超孔隙水压力沿深度的分布曲线图7为固 结度 Us 随 Tv 的变化曲线．由图可知：mv（ z ）和 k（ z ）随深度同时增大孔压消散和固结速度越慢． 由前面的分析可知：当 mv（ z ）增大、k（ z ）不变时固 结减慢；当 k（ z ）增大、mv （ z ）不变时固结加快；在 mv（ z ）和 k（ z ）同时增大的情况下固结减慢．这是 由于固结速度主要受土层的特征值控制．在其他条 件不变的情况下特征值随渗透系数增大而增大随 体积压缩系数增大而减小因此对于 p＝0或 q＝0 ·1088· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第10期 潘旦光等：土层性质幂函数变化下的一维固结 ,1089 情况固结速度的变化规律较易判断.而对于固结系 时，m,(z)和k(z)随深度同时增大时，其特征值变 数为常数情况，其第一阶特征值变化如图8所示，当 小，固结越快 m,(z)和k(z)随深度同时增大时，其特征值变小， 参考文献 因此固结越慢 [1]Gray H.Simultaneous consolidation of contiguous layers of unlike compressible soils.Trans ASCE,1945,110:1327 0.2 [2]Schiffman R L.Stein J R.One-dimensional consolidation of lay- ered system.J Soil Mech Found Div.1970.96(4):1499 04 +=0.5.p=q=-3 [3]Xia JZ,Jian W.Xie K H.Semi-analytical solution to one-dimen- -a-0.5.p-q--I 0.6 =0.5.pg-1 sional consolidation equation of layered non-homogeneous sub- -=0.5.p=g=3 grade.China J Highuay Transp,2006.19(3):8 05.pq-3 0.8+r-0.5.p=g-1 (夏建中，江雯，谢康和，成层非均质地基一维固结方程的半解 析求解.中国公路学报，2006,19(3).8) 0.5,p-g3 1. L 103 102 [4]Lee P KK.Xie K H.Cheung Y K.A study on one dimension 10- 10 10 consolidation of layered systems.Int J Numer A nal Methods Ge- omech,1992,16:815 图7常固结系数下固结度的变化曲线 [5]Xie K H.Theory of one dimensional consolidation of doubleay- Fg-7 Relations of consolidation time and settlement under constant ered ground and its applications.Chin J Geotech Eng.1994,16 consolidation coefficient (5):24 (谢康和.双层地基一维固结理论与应用，岩土工程学报， 1994,16(5):24) 45 [6]Xie K H,Pan O Y.Theory of one-dimensional consolidation of 40 --0.5 --aF-0.5 multi-layered soil under varied load.Chin J Geotech Eng.1995, 35 t 17(5):80 0 25 (谢康和，潘秋元·变荷载下任意层地基一维固结理论.岩土 工程学报，1995,17(5)：80) 204 [7]Xu C J.Cai Y Q.Wu S N.One dimensional consolidation of lay- ered elastic soils under arbitrary loading.China Civil Eng J. 0 1999,32(4).57) 0 徐长节，蔡袁强，吴世明。任意荷载下成层弹性地基的一维固 结，土木工程学报，1999,32(4)：57) [8]Schiffman R L.Gibson R E.Consolidation of nonhomogeneous 图8常固结系数下第一阶特征值 clay layers.J Soil Mech Found Div,1964.90(SM5):1 Fig.8 The Ist eigenvalue under constant consolidation coefficient [9]Fang Y,Xu C J.Cai Y Q.One dimensional consolidation of elas- tie Gibson soils.Rock Soil Mech.2003.24(6):913 4结语 (方晔，徐长节，蔡袁强.Gibson地基的一维固结解，岩土力学， 2003,24(6):913) 当土层性质沿深度的变化可简化为幂函数模型 [10]Jiang W,Xie K H.Xia JZ.Analytical solution to 1-D consolida- 时，本文采用分离变量法，推导了不同排水条件下， tion of soft clay with modulus of compressibility varying linearly 该类土层一维固结下超孔隙水压力和沉降等随时间 along depth-Bull Sei Technol,2003.19(6):452 (江雯，谢康和，夏建中，压缩模量随深度线性变化的软粘土 变化的解析表达式，随后通过计算分析，初步讨论 地基一维固结解析解.科技通报，2003,19(6)：452) 了a、p和q不同变化下，土层固结的特点，由计算 [11]LiGX.Advanced Soil Mechanics.Beijing:Tsinghua Universi- 公式可知，固结速度主要受土层的特征值控制.在 ty Press,2004 其他条件不变的情况下，特征值随渗透系数增大而 (李广信.高等土力学.北京：清华大学出版社，2004) 增大，随体积压缩系数增大而减小，因此增加土层的 [12]Gui Z P.Kang S L.Equations of Mathematical Physics. 渗透系数，增大土层的压缩模量（减小体积压缩系 Shanghai:Tongi University Press.1987 (桂子鹏，康胜亮.数学物理方程.上海：同济大学出版社， 数)，土层的固结越快，当土层的固结系数为常数 1987)
情况固结速度的变化规律较易判断．而对于固结系 数为常数情况其第一阶特征值变化如图8所示当 mv（ z ）和 k（ z ）随深度同时增大时其特征值变小 因此固结越慢． 图7 常固结系数下固结度的变化曲线 Fg．7 Relations of consolidation time and settlement under constant consolidation coefficient 图8 常固结系数下第一阶特征值 Fig．8 The1st eigenvalue under constant consolidation coefficient 4 结语 当土层性质沿深度的变化可简化为幂函数模型 时本文采用分离变量法推导了不同排水条件下 该类土层一维固结下超孔隙水压力和沉降等随时间 变化的解析表达式．随后通过计算分析初步讨论 了 a、p 和 q 不同变化下土层固结的特点．由计算 公式可知固结速度主要受土层的特征值控制．在 其他条件不变的情况下特征值随渗透系数增大而 增大随体积压缩系数增大而减小因此增加土层的 渗透系数增大土层的压缩模量（减小体积压缩系 数）土层的固结越快．当土层的固结系数为常数 时mv（ z ）和 k（ z ）随深度同时增大时其特征值变 小固结越快． 参 考 文 献 ［1］ Gray H．Simultaneous consolidation of contiguous layers of unlike compressible soils．T rans ASCE1945110：1327 ［2］ Schiffman R LStein J R．One-dimensional consolidation of layered system．J Soil Mech Found Div197096（4）：1499 ［3］ Xia J ZJian WXie K H．Sem-i analytical solution to one-dimensional consolidation equation of layered non-homogeneous subgrade．China J Highway T ransp200619（3）：8 （夏建中江雯谢康和．成层非均质地基一维固结方程的半解 析求解．中国公路学报200619（3）：8） ［4］ Lee P K KXie K HCheung Y K．A study on one dimension consolidation of layered systems．Int J Numer A nal Methods Geomech199216：815 ［5］ Xie K H．Theory of one dimensional consolidation of double-layered ground and its applications．Chin J Geotech Eng199416 （5）：24 （谢康和．双层地基一维固结理论与应用．岩土工程学报 199416（5）：24） ［6］ Xie K HPan Q Y．Theory of one-dimensional consolidation of mult-i layered soil under varied load．Chin J Geotech Eng1995 17（5）：80 （谢康和潘秋元．变荷载下任意层地基一维固结理论．岩土 工程学报199517（5）：80） ［7］ Xu C JCai Y QWu S N．One dimensional consolidation of layered elastic soils under arbitrary loading． China Civil Eng J 199932（4）：57） 徐长节蔡袁强吴世明．任意荷载下成层弹性地基的一维固 结土木工程学报199932（4）：57） ［8］ Schiffman R LGibson R E．Consolidation of non-homogeneous clay layers．J Soil Mech Found Div196490（SM5）：1 ［9］ Fang YXu C JCai Y Q．One dimensional consolidation of elastic Gibson soils．Rock Soil Mech200324（6）：913 （方晔徐长节蔡袁强．Gibson 地基的一维固结解岩土力学 200324（6）：913） ［10］ Jiang WXie K HXia J Z．Analytical solution to1-D consolidation of soft clay with modulus of compressibility varying linearly along depth．Bull Sci Technol200319（6）：452 （江雯谢康和夏建中．压缩模量随深度线性变化的软粘土 地基一维固结解析解．科技通报200319（6）：452） ［11］ Li G X．A dv anced Soil Mechanics．Beijing：Tsinghua University Press2004 （李广信．高等土力学．北京：清华大学出版社2004） ［12］ Gui Z PKang S L． Equations of Mathematical Physics． Shanghai：Tongji University Press1987 （桂子鹏康胜亮．数学物理方程．上海：同济大学出版社 1987） 第10期 潘旦光等： 土层性质幂函数变化下的一维固结 ·1089·