第1章测量误差与不确定度测量是人类认识和改造客观世界必不可少的重要手段，研究物理现象、了解物质特性、验证物理规律都要进行测量，测量是物理实验的基础然而，任何测量过程总会出现不可避免的测量误差，它始终存在于一切科学实验和各种测量活动中，测量误差的分析，以及测量结果的合理表征，是测量必须关注的基本问题，它在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位，是提高测量准确度，保证获取信息可靠性的重要手段.因此，了解和掌握误差理论及数据处理的初步知识，是物理实验教学乃至今后进行科学实验的基础.由于这部分包含的内容较多，其理论基础概率论与数理统计又较复杂，本章仅限于简要介绍这方面的初步知识，1.1测量测量的定义1.1.1测量就是将被测物理量与选作计量标准的同类物理量进行比较并求出其倍数的过程，其中倍数值称为待测物理量的数值，选作计量标准的物理量称为单位，通常，物理量的测量值由数值和单位两部分组成.一个完整的测量过程必须包含测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度4个要素，1.1.2、测量的分类根据测量结果获取的不同方式，测量可以分为直接测量和间接测量两类。（1）直接测量：可以从测量仪器（或量具）上直接读出被测量量值的测量称为直接测量.例如用米尺测物体的长度，用天平称物体的质量，用电压表测电压，用秒表测时间等都属于直接测量，直接测量中的被测量称为直接测量量，（2）间接测量：许多被测量不能由测量仪器直接读数，需要先由直接测量获得相关数据，再利用已知的函数关系经过运算才能得到待测量的量值，这种测量方式就是间接测量，例如测量矩形的面积，必须先用直接测量方法测出其长和宽，再利用面积公式计算出面积.间接测量中的被测量称为间接测量量，上例中的矩形面积就是间接测量量，根据测量条件是否发生变化，测量可以分为等精度测量和不等精度测量两类（1）等精度测量：在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为等精度测量.例如，同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一被测量进行多次测量，没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确，即每次测量的可靠程度都相同
第1章 测量误差与不确定度 测量是人类认识和改造客观世界必不可少的重要手段,研究物理现象、了解物质特性、验 证物理规律都要进行测量,测量是物理实验的基础.然而,任何测量过程总会出现不可避免的 测量误差,它始终存在于一切科学实验和各种测量活动中.测量误差的分析,以及测量结果的 合理表征,是测量必须关注的基本问题,它在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位,是 提高测量准确度,保证获取信息可靠性的重要手段.因此,了解和掌握误差理论及数据处理的 初步知识,是物理实验教学乃至今后进行科学实验的基础.由于这部分包含的内容较多,其理 论基础 ——— 概率论与数理统计又较复杂,本章仅限于简要介绍这方面的初步知识. 1灡1 测 量 1灡1灡1 测量的定义 测量就是将被测物理量与选作计量标准的同类物理量进行比较并求出其倍数的过程.其 中倍数值称为待测物理量的数值,选作计量标准的物理量称为单位.通常,物理量的测量值由 数值和单位两部分组成.一个完整的测量过程必须包含测量对象、测量单位、测量方法和测量 准确度4个要素. 1灡1灡2 测量的分类 根据测量结果获取的不同方式,测量可以分为直接测量和间接测量两类. (1)直接测量:可以从测量仪器(或量具)上直接读出被测量量值的测量称为直接测量.例 如用米尺测物体的长度,用天平称物体的质量,用电压表测电压,用秒表测时间等都属于直接 测量.直接测量中的被测量称为直接测量量. (2)间接测量:许多被测量不能由测量仪器直接读数,需要先由直接测量获得相关数据, 再利用已知的函数关系经过运算才能得到待测量的量值,这种测量方式就是间接测量.例如测 量矩形的面积,必须先用直接测量方法测出其长和宽,再利用面积公式计算出面积.间接测量 中的被测量称为间接测量量,上例中的矩形面积就是间接测量量. 根据测量条件是否发生变化,测量可以分为等精度测量和不等精度测量两类. (1)等精度测量:在相同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为等精度测量.例如, 同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一被测量进行多次测 量,没有任何理由认为某个测量值比另一个测量值更为准确,即每次测量的可靠程度都相同
第1章测量误差与不确定度5:这些测量就是等精度测量，（2）不等精度测量：在不同条件下对某一物理量进行的一二系列测量称为不等精度测量，例如，在不同的环境中，或由不同人员，或在不同的仅器上，或采用不同的方法等对同一物理量进行多次测量，其测量结果的可靠程度不会相同，均属于不等精度测量不等精度测量的数据处理比较复杂，一般情况下不会采用，在物理实验中，绝大多数实验都采用等精度测量，所以，本教材以介绍等精度测量的数据处理为主，1.2误美差误差的基本概念1.2.1i1.真值真值是指一个特定的物理量在特定的条件下所具有的客观真实量值.显然，真值是一个理想的概念，一般是无法得到的由于“绝对真值”的不可知性，人们在长期的生产实践和科学研究中归纳出以下几种真值的替代值（1）理论真值：理论设计值、公理值、理论公式计算值，（2）计量约定值：权威的计量组织和机构规定的各种基本常数值，基本单位标准值（3）标准器件值：高一级的标准器件或仪表的示值可视为低一级器件或仪表的相对标准值（4）算术平均值：指多次测量的平均结果.当测量次数趋于无穷时，修正过的被测量的算术平均值趋于真值2.绝对误差与相对误差对任一物理量进行测量，其测量值与真值之间总存在一定差异，这种差异称为测量误差，简称误差.误差按其表示形式可分为绝对误差和相对误差，其中绝对误差=测量值一真值，测量的绝对误差相对误差=X100%被测量的真值绝对误差和相对误差均反映单次测量结果与物理量真值之间的差异，它们可用数学式子分别表示为o,=r,ro,(1-2-1)×100%，E-S(1-2-2)ro其中，（i=1，23，，n）表示对物理量r的第i次测量值r。表示被测物理量的真值，，和E分别表示对物理量第次测量的绝对误差和相对误差。1.2.2、误差的分类及处理误差按其产生的原因和性质特点可分为系统误差和随机误差
这些测量就是等精度测量. (2)不等精度测量:在不同条件下对某一物理量进行的一系列测量称为不等精度测量.例 如,在不同的环境中,或由不同人员,或在不同的仪器上,或采用不同的方法等对同一物理量进 行多次测量,其测量结果的可靠程度不会相同,均属于不等精度测量. 不等精度测量的数据处理比较复杂,一般情况下不会采用.在物理实验中,绝大多数实验 都采用等精度测量,所以,本教材以介绍等精度测量的数据处理为主. 1灡2 误 差 1灡2灡1 误差的基本概念 1灡 真值 真值是指一个特定的物理量在特定的条件下所具有的客观真实量值.显然,真值是一个理 想的概念,一般是无法得到的. 由于“绝对真值暠的不可知性,人们在长期的生产实践和科学研究中归纳出以下几种真值 的替代值. (1)理论真值:理论设计值、公理值、理论公式计算值. (2)计量约定值:权威的计量组织和机构规定的各种基本常数值,基本单位标准值. (3)标准器件值:高一级的标准器件或仪表的示值可视为低一级器件或仪表的相对标准值. (4)算术平均值:指多次测量的平均结果.当测量次数趋于无穷时,修正过的被测量的算 术平均值趋于真值. 2灡 绝对误差与相对误差 对任一物理量进行测量,其测量值与真值之间总存在一定差异,这种差异称为测量误差, 简称误差.误差按其表示形式可分为绝对误差和相对误差,其中 绝对误差 =测量值 - 真值, 相对误差 = 测量的绝对误差 被测量的真值 暳100%. 绝对误差和相对误差均反映单次测量结果与物理量真值之间的差异,它们可用数学式子 分别表示为 毮i =xi -x0, (1灢2灢1) Ei = 毮i x0 暳100%, (1灢2灢2) 其中xi(i=1,2,3,.,n)表示对物理量x的第i次测量值,x0 表示被测物理量的真值,毮i 和Ei 分别表示对物理量x 第i次测量的绝对误差和相对误差. 1灡2灡2 误差的分类及处理 误差按其产生的原因和性质特点可分为系统误差和随机误差. 第1章 测量误差与不确定度 ·5·
大学物理实验:6:1.系统误差在相同的条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定：或者在条件改变时，误差按某一确定规律变化，这类误差称为系统误差，其特点是具有确定性.系统误差的来源有以下几个方面：（1）仪器误差由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的.如仪器的刻度不准，零点不准，仪器未调整好，以及外界环境（光线、温度、湿度、电磁场等）对测量仪器产生了影响而造成的误差，（2）理论误差又称方法误差，由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，再或是实验方法本身不完善所带来的误差.例如伏安法测电阻时没有考虑电表内阻对实验结果的影响（3）个人误差由于观测者个人感官和运动器官的反应或习惯不同而产生的误差，它因人而异，并与观测者当时的精神状态有关系统误差按其确定性的程度可分为已定系统误差和未定系统误差前者是误差的变化规律已确知的系统误差：后者则是误差的变化规律未确知的系统误差，但一般情况下可估计出它存在的大致范围，仪器误差就属于此类分析任何一种系统误差产生的原因，并设法加以校正，就能减小系统误差对实验的影响但完全发现和减少实际存在的系统误差是比较困难的.在实际工作中，需要对整个实验所依据的原理、方法、测量步骤、使用的仪器、仪表等可能引起系统误差的因素进行详尽分析，并通过校准仪器，改进实验装置，完善实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来尽可能地减少系统误差.显然，不论哪一种系统误差，根据其特点可知，不可能通过多次测量来减小或消除，2.随机误差（1）定义在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中，误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，但总体来说又服从一定统计规律的误差，称为随机误差，又称偶然误差，其特点是具有随机性.这种误差的来源在于实验中各种偶然因素微小而随机地波动，例如测量过程中环境条件的微小变动，观察者在操作调整仪器设备和判断、估计读数上的微小变动：测量仪器指示数值的微小变动和被测对象自身的微小变动等.显然，随机误差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除，但可通过多次测量使其减小，并能用统计的方法对其大小进行估算，（2）随机误差的分布在等精度测量中，当测量次数n→时，随机误差，变成连续型随机变量=（测量值）一。（真值）.可以证明，大多数情况下的随机误差都服从正态分布，亦称高斯分布.它满足的概率密度分布函数为es,f(8) =-(1-2-3)/2元
1.系统误差 在相同的条件下多次测量同一物理量时,误差的绝对值和符号保持恒定;或者在条件改变 时,误差按某一确定规律变化,这类误差称为系统误差,其特点是具有确定性.系统误差的来源 有以下几个方面: (1)仪器误差 由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的.如仪器的刻度不准,零点不 准,仪器未调整好,以及外界环境(光线、温度、湿度、电磁场等)对测量仪器产生了影响而造成 的误差. (2)理论误差 又称方法误差,由于测量所依据的理论公式本身的近似性,或实验条件不能达到理论公式 所规定的要求,再或是实验方法本身不完善所带来的误差.例如伏安法测电阻时没有考虑电表 内阻对实验结果的影响. (3)个人误差 由于观测者个人感官和运动器官的反应或习惯不同而产生的误差,它因人而异,并与观测 者当时的精神状态有关. 系统误差按其确定性的程度可分为已定系统误差和未定系统误差.前者是误差的变化规 律已确知的系统误差;后者则是误差的变化规律未确知的系统误差,但一般情况下可估计出它 存在的大致范围,仪器误差就属于此类. 分析任何一种系统误差产生的原因,并设法加以校正,就能减小系统误差对实验的影响. 但完全发现和减少实际存在的系统误差是比较困难的.在实际工作中,需要对整个实验所依据 的原理、方法、测量步骤、使用的仪器、仪表等可能引起系统误差的因素进行详尽分析,并通过 校准仪器,改进实验装置,完善实验方法,或对测量结果进行理论上的修正来尽可能地减少系 统误差.显然,不论哪一种系统误差,根据其特点可知,不可能通过多次测量来减小或消除. 2灡 随机误差 (1)定义 在相同条件下对同一物理量的多次测量过程中,误差的绝对值和符号以不可预知的方式 变化,但总体来说又服从一定统计规律的误差,称为随机误差,又称偶然误差,其特点是具有随 机性.这种误差的来源在于实验中各种偶然因素微小而随机地波动,例如测量过程中环境条件 的微小变动,观察者在操作调整仪器设备和判断、估计读数上的微小变动,测量仪器指示数值 的微小变动和被测对象自身的微小变动等.显然,随机误差不能用修正或采取某种技术措施的 办法来消除,但可通过多次测量使其减小,并能用统计的方法对其大小进行估算. (2)随机误差的分布 在等精度测量中,当测量次数n 曻 曓 时,随机误差毮i 变成连续型随机变量毮= x(测量 值)-x0(真值).可以证明,大多数情况下的随机误差毮都服从正态分布,亦称高斯分布.它满足的概 率密度分布函数为 f(毮)= 1 2毿氁 e- 毮 2 2氁2 , (1灢2灢3) ·6· 大学物理实验
第1章7.测量误差与不确定度17此时ro=lim(1-2-4)即无限多次测量值的算术平均值就是真值正态分布曲线如图1-2-1所示由图1-2-1可以看出，服从正态分布的随机误差具有如f(8)下特性：①单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，②对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等.80③有界性：绝对值很大的误差出现的概率几乎为零，即图 1-2-1正态分布曲线误差的绝对值不会超过某一个界限按照概率论，误差出现在区间（一00，十8o）内是必然的，即概率为100%，用数学公式表示为P(- 80, +8) =f()o=-1(1-2-5)即概率密度分布曲线下的总面积等于1.（3）标准误差（1-2-3）式中的c为正态分布的特征量，称为正态分布的标准误差，亦称方均根误差，它在数值上等于概率密度分布曲线拐点处的横坐标值，其数学表达式为1i-ro)2(1-2-6)g=limnN1tf(8)，因此，。值越小，由（1-2-3）式可知.8=0时，f（0）=2元0f(O)的值越大.由于概率密度分布曲线下的总面积恒等于1,所以正态分布曲线的形状取决于c值的大小，如图1-2-2所示，6值小，分布曲线又高又陡，说明绝对值小的误差出现的机会多，测量值的重复性好，即随机误差的离散程度小：反02之，值大，分布曲线则低而平坦，说明测量值的重复性差，离图1-2-2。的物理意义散程度大.由此可见，标准误差反映了测量值的离散程度.标准误差。与各测量值的误差有着完全不同的含义.是实在的误差值，而。并不是一个具体的误差值，它只反映在一定的条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况，只有统计性质的意义，是一个统计特征值，还可以从另一个角度理解。的物理意义.由概率密度分布函数可知，测量值的随机误差出现在至十d区域内的概率为f（)d，而测量值的误差出现在（一，十）区间的概率是ed=68.3%P(-6, +o) =f()d=(1-2-7)/2元换言之，（1-2-7）式表明，在所测得的全部数据中，将有68.3%的数据其随机误差落在区间（一g，十g）内：或者说，其中任数据的随机误差8落在区间（一g：十g）的概率为68.3%
此时 x0 =limn曻曓 1 n暺 n i=1 xi, (1灢2灢4) 即无限多次测量值的算术平均值就是真值. 正态分布曲线如图1灢2灢1所示. 图1灢2灢1 正态分布曲线 由图1灢2灢1可以看出,服从正态分布的随机误差具有如 下特性: 栙 单峰性:绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现的概率大. 栚 对称性:绝对值相等的正误差和负误差出现的概率 相等. 栛 有界性:绝对值很大的误差出现的概率几乎为零,即 误差的绝对值不会超过某一个界限. 按照概率论,误差出现在区间(- 曓,+曓)内是必然的,即概率为100%,用数学公式表示为 P(- 曓,+ 曓)=曇 +曓 -曓 f(毮)d毮=1, (1灢2灢5) 即概率密度分布曲线下的总面积等于1. (3)标准误差 (1灢2灢3)式中的氁为正态分布的特征量,称为正态分布的标准误差,亦称方均根误差,它在 数值上等于概率密度分布曲线拐点处的横坐标值,其数学表达式为 氁=limn曻曓 暺 n i=1 (xi -x0)2 n . (1灢2灢6) 图1灢2灢2 氁的物理意义 由(1灢2灢3)式可知,毮=0时,f(0)= 1 2毿氁 ,因此,氁值越小, f(0)的值越大.由于概率密度分布曲线下的总面积恒等于1,所 以正态分布曲线的形状取决于氁值的大小,如图1灢2灢2所示. 氁值小,分布曲线又高又陡,说明绝对值小的误差出现的 机会多,测量值的重复性好,即随机误差的离散程度小;反 之,氁值大,分布曲线则低而平坦,说明测量值的重复性差,离 散程度大.由此可见,标准误差反映了测量值的离散程度.标 准误差氁与各测量值的误差毮有着完全不同的含义.毮是实在的误差值,而氁并不是一个具体的 误差值,它只反映在一定的条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况,只有统计性质的意 义,是一个统计特征值. 还可以从另一个角度理解氁的物理意义.由概率密度分布函数可知,测量值的随机误差出 现在毮至毮+d毮区域内的概率为f(毮)d毮,而测量值的误差出现在(-氁,+氁)区间的概率是 P(-氁,+氁)=曇 +氁 -氁 f(毮)d毮=曇 +氁 -氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁2d毮=68灡3%. (1灢2灢7) 换言之,(1灢2灢7)式表明,在所测得的全部数据中,将有68灡3% 的数据其随机误差落在区 间(-氁,+氁)内;或者说,其中任一数据x的随机误差毮落在区间(-氁,+氁)的概率为68灡3%. 第1章 测量误差与不确定度 ·7·
.8.大学物理实验当然，区间（r。一6，r。十）内包含真值的概率也为68.3%，这就提供了一个用概率来表达测量误差的方法.区间（r。一。，r。十）称为置信区间，在给定置信区间内包含真值的概率（68.3%）称为置信概率可见标准误差具有统计性质，扩大置信区间，同样可以计算，在相同条件下对同一物理量进行重复测量，其任意一次测量值的误差出现在（一2g，十2g）和（一3g，十3g）范围概率分别为+2e-5d8=95.4%,P(—2g,+2) =f(o)do(1-2-8)一202元0+3—ed8=99.7%P(—3g,+3g)=f(8)d8=(1-2-9)302元亦即在置信区间（r。一2g，3。十2）和r。一3g，r。十3）内包含真值的概率（置信概率）分别为95.4%和99.7%.（1-2-9）式表明，绝对值大于3g的误差出现的概率不超过3%，所以，士3称为极限误差，（4）标准偏差在实际测量中，测量次数n总是有限的，不可能是无限的，这时的算术平均值不是真值，因此标准误差只有理论上的价值，对标准误差。的实际处理只能进行估算，对于一组测量值r（i=1，2，3，.，n），n为有限值，其算术平均值虽不是真值，但却是真值。的最佳近似值，实际中总是用算术平均值代替真实值.为了与误差加以区别，将测量值；与平均值一的差值称为偏差，用表示，即(1-2-10)=r-利用数理统计理论，可以得到对偏差进行估计的公式为-2(T.120=S.=(1-2-11)n-1（1-2-11）式称为贝塞尔公式，S，称为单次测量的标准偏差，或测量列的标准偏差.如同值工是工。的最佳估计值一样，S是。的最佳估计值（5）算术平均值的标准偏差标准偏差S，表示的是取得一的一组数据的离散性，如果在完全相同的条件下再重复测量一组数据，由于随机误差的影响，不一定能得到完全相同的工，这说明算术平均值本身也具有离散性，为了评定算术平均值的离散性，需引人算术平均值的标准偏差（亦称测量列的算术平均值的标准偏差）S，误差理论给出的算术平均值的标准偏差公式为S-S1(-).(1-2-12)n(n-1)台Yn(6)t分布1.f(0)根据误差理论，当测量次数很少时（例如，少于10正态分布次），随机误差分布将明显偏离正态分布，这时测量值的随机误差将遵从分布·也称学生分布，较之正态分份布布，t分布概率密度分布曲线变得平坦，如图1-2-3所示.当测量次数n-→o时，t分布过渡到正态分布，S0在有限次测量的情况下，要保持同样的置信概图1-2-3分布与正态分布的比较
当然,区间(x0-氁,x0+氁)内包含真值的概率也为68灡3%,这就提供了一个用概率来表达测量 误差的方法.区间(x0 -氁,x0 +氁)称为置信区间,在给定置信区间内包含真值的概率(68灡3%) 称为置信概率.可见标准误差具有统计性质. 扩大置信区间,同样可以计算,在相同条件下对同一物理量进行重复测量,其任意一次测 量值的误差出现在(-2氁,+2氁)和(-3氁,+3氁)范围概率分别为 P(-2氁,+2氁)=曇 +2氁 -2氁 f(毮)d毮=曇 +2氁 -2氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁2d毮=95灡4%, (1灢2灢8) P(-3氁,+3氁)=曇 +3氁 -3氁 f(毮)d毮=曇 +3氁 -3氁 1 2毿氁 e- 毮2 2氁 2d毮=99灡7%. (1灢2灢9) 亦即在置信区间(x0-2氁,x0+2氁)和(x0-3氁,x0+3氁)内包含真值的概率(置信概率)分别为 95.4% 和99.7%. (1灢2灢9)式表明,绝对值大于3氁的误差出现的概率不超过3曤,所以,暲3氁称为极限误差. (4)标准偏差 在实际测量中,测量次数n总是有限的,不可能是无限的,这时的算术平均值不是真值,因 此标准误差只有理论上的价值,对标准误差氁的实际处理只能进行估算. 对于一组测量值xi(i=1,2,3,.,n),n为有限值,其算术平均值x 虽不是真值,但却是真 值x0 的最佳近似值,实际中总是用算术平均值代替真实值.为了与误差加以区别,将测量值xi 与平均值x 的差值称为偏差,用vi 表示,即 vi =xi -x. (1灢2灢10) 利用数理统计理论,可以得到对偏差进行估计的公式为 Sx = 1 n-1暺 n i=1 v2 i = 暺 n i=1 (xi -x)2 n-1 . (1灢2灢11) (1灢2灢11)式称为贝塞尔公式,Sx 称为单次测量的标准偏差,或测量列的标准偏差.如同值 x 是x0 的最佳估计值一样,Sx 是氁 的最佳估计值. (5)算术平均值的标准偏差 标准偏差Sx 表示的是取得x 的一组数据的离散性,如果在完全相同的条件下再重复测量 一组数据,由于随机误差的影响,不一定能得到完全相同的x,这说明算术平均值本身也具有 离散性.为了评定算术平均值的离散性,需引入算术平均值的标准偏差(亦称测量列的算术平 均值的标准偏差)Sx,误差理论给出的算术平均值的标准偏差公式为 Sx = Sx n = 1 n(n-1)暺 n i=1 (xi -x)2 . (1灢2灢12) 图1灢2灢3 t分布与正态分布的比较 (6)t分布 根据误差理论,当测量次数很少时(例如,少于10 次),随机误差分布将明显偏离正态分布,这时测量值 的随机误差将遵从t分布,也称学生分布.较之正态分 布,t分布概率密度分布曲线变得平坦,如图1灢2灢3所 示.当测量次数n曻 曓 时,t分布过渡到正态分布. 在有限次测量的 情 况 下,要 保 持 同 样 的 置 信 概 ·8· 大学物理实验