第3章基础实验3.1测定刚体的转动惯量【引言】刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量.但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，转动惯量不能直接测量，必须进行参量转换，即设计一种装置，使待测物体以一定的形式运动，其运动规律必须与转动惯量有联系，其它各物理量可以直接或以一定方法测定.对于不同形状的刚体，设计不同的测量方法和仪器，常用的有三线摆、扭摆、复摆以及各种特制的转动惯量测定仪等，本节介绍扭摆法、三线摆法以及用塔轮式转动惯量仪测定的方法，为了便于与理论计算结果比较，实验中仍采用形状规则的刚体3.1.1用扭摆测刚体的转动惯量【实验目的】1.用扭摆测定形状不同的物体的转动惯量2.学习几种常用测量工具的使用3.学习一种比较测量法.【实验原理】如图3-1-1所示，一根悬丝（钢丝）上端固定，下端悬一水平圆盘：悬丝固定于圆盘中心，使圆盘旋转一角度，释放后圆盘就以悬丝为轴做扭转振动.这种振动称为角谐振动，这样的装置就叫做扭摆当圆盘从平衡位置转动一角度后，在悬丝的恢复力矩的作用下，圆盘开始绕垂直轴做往返扭转运动，且悬丝作用在圆盘上的恢复力矩M与成正比，方向与6相反M--o,(3-1-1)式中k为扭转弹性系数，它与悬丝的长短、粗细及材料性质aD有关.根据转动定律BM=p,1T则圆盘在偏离平衡位置6时，图3-1-1扭摆
第3章 基 础 实 验 3灡1 测定刚体的转动惯量 暰引言暱 刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量,是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量, 它不仅取决于刚体的质量,而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关.对于质量分布 均匀、具有规则几何形状的刚体,可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量.但在工 程实践中,我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀的刚体,理论计算将极为复杂,通常采 用实验方法来测定. 转动惯量不能直接测量,必须进行参量转换,即设计一种装置,使待测物体以一定的形式 运动,其运动规律必须与转动惯量有联系,其它各物理量可以直接或以一定方法测定.对于不 同形状的刚体,设计不同的测量方法和仪器,常用的有三线摆、扭摆、复摆以及各种特制的转动 惯量测定仪等.本节介绍扭摆法、三线摆法以及用塔轮式转动惯量仪测定的方法.为了便于与 理论计算结果比较,实验中仍采用形状规则的刚体. 3灡1灡1 用扭摆测刚体的转动惯量 暰实验目的暱 1.用扭摆测定形状不同的物体的转动惯量. 2.学习几种常用测量工具的使用. 3.学习一种比较测量法. 暰实验原理暱 如图3灢1灢1所示,一根悬丝(钢丝)上端固定,下端悬一水平圆盘.悬丝固定于圆盘中心,使 圆盘旋转一角度,释放后圆盘就以悬丝为轴做扭转振动.这种振动称为角谐振动,这样的装置 图3灢1灢1 扭摆 就叫做扭摆. 当圆盘从平衡位置转动一角度毴后,在悬丝的恢复力矩 的作用下,圆盘开始绕垂直轴做往返扭转运动,且悬丝作用 在圆盘上的恢复力矩 M 与毴 成正比,方向与毴相反. M =-k毴, (3灢1灢1) 式中k为扭转弹性系数,它与悬丝的长短、粗细及材料性质 有关.根据转动定律 M =I毬, 则圆盘在偏离平衡位置毴时
第3章基础实验.39de-ko=Iαdrk，可得式中I为圆盘绕悬丝轴线的转动惯量.令I#do2+0=0dt?解此微分方程得圆盘的运动方程：+=Acos(wt+po),式中A为谐振动的角振幅，。为初位相，@为角速度.其振动周期为4元1起Tα=2=2元／T=或(3-1-2)Vkk只要测出扭摆的摆动周期工，如果已知，则可计算出转动物体的转动惯量1盘：但k为一未知量，下面采用比较法消去k，从而得出1盘在圆盘上同轴加上一个质量为m，内外半径分别为ri，r2的圆环，然后同圆盘一起绕轴做角振动，由（3-1-2）式可得此时振动周期为盘+|环(3-1-3)T盘+环=2元k式中I环为圆环的转动惯量，由（3-1-2）.（3-1-3）两式消去k，可得T2(3-1-4)I盘=ET盒+杯一T做式中圆环的转动惯量1际可由理论公式算得，即11I环m(ri+r)-(3-1-5)m(di+d)8式中d和dz分别为圆环的内、外直径.将（3-1-5）式代入（3-1-4）式可得圆盘的转动惯量I，即mT(+d)I盒=(3-1-6)8（T盐+环—T）利用扭摆还可测得悬丝的切变模量（见附录1），在N表达式中代入（3-1-5）式，得16m元L(d,+dz)N一(3-1-7)d（T盆+环—T盆）式中，d为悬丝的直径，L为悬丝的长度【实验仪器】扭摆、圆环、秒表、游标卡尺、千分尺、米尺等【实验内容】1.使圆盘作扭转振动，测出往返振动30次所需时间，重复测6次，数据记录于表3-1-1
-k毴=I盘 d2毴 dt2 , 式中I盘 为圆盘绕悬丝轴线的转动惯量.令氊2 = k I盘 ,可得 d2毴 dt2 +氊2毴=0, 解此微分方程得圆盘的运动方程: 毴=Acos(氊t+氄0), 式中A 为谐振动的角振幅,氄0 为初位相,氊 为角速度.其振动周期为 T盘 = 2毿 氊 =2毿 I盘 k 或 T2 盘 = 4毿2I盘 k . (3灢1灢2) 只要测出扭摆的摆动周期T盘 ,如果k已知,则可计算出转动物体的转动惯量I盘 .但k为一 未知量,下面采用比较法消去k,从而得出I盘 . 在圆盘上同轴加上一个质量为m,内外半径分别为r1,r2 的圆环,然后同圆盘一起绕轴做 角振动,由(3灢1灢2)式可得此时振动周期为 T盘+环 =2毿 I盘 +I环 k , (3灢1灢3) 式中I环 为圆环的转动惯量. 由(3灢1灢2),(3灢1灢3)两式消去k,可得 I盘 = T2 盘 T2 盘+环 -T2 盘 I环 , (3灢1灢4) 式中圆环的转动惯量I环 可由理论公式算得,即 I环 = 1 2 m(r2 1 +r2 2)= 1 8 m(d2 1 +d2 2), (3灢1灢5) 式中d1 和d2 分别为圆环的内、外直径.将(3灢1灢5)式代入(3灢1灢4)式,可得圆盘的转动惯量I盘 ,即 I盘 = mT2 盘 (d2 1 +d2 2) 8(T2 盘+环 -T2 盘 ) . (3灢1灢6) 利用扭摆还可测得悬丝的切变模量(见附录1),在 N丝 表达式中代入(3灢1灢5)式,得 N丝 = 16m毿L(d1 +d2) d4(T2 盘+环 -T2 盘 ) , (3灢1灢7) 式中,d为悬丝的直径,L 为悬丝的长度. 暰实验仪器暱 扭摆、圆环、秒表、游标卡尺、千分尺、米尺等. 暰实验内容暱 1.使圆盘作扭转振动,测出往返振动30次所需时间,重复测6次,数据记录于表3灢1灢1. 第3章 基础实验 ·39·
大学物理实验40表 3-1-1圆盘圆盘十圆环测量对象30个周期T3e/s1个周期T/sTA=T盘+环 =平均周期/sA(Tα)=UA（T盘+环）一A类不确定度/s合成不确定度/su(T）=Vu（Ta）+(T）=u（T盘+环）=（T盘+环）+u（T量+环）表中，us(Ta）=un(Tα+环）=g（)S.30/330个周期秒表的估计误差△信（T）机械秒表取0.5s，电子秒表取0.2s.2.将一转动惯量I环：m（dz十d）的铁环，同心地放在圆盘上.重复步骤1.23.记下环的质量m（圆环质量由实验室给出，不确定度忽略不计），4.用游标卡尺测出环的内外直径d1和d（单次测量），记入表3-1-2表 3-1-2质量m/g内径d,/cm外径d2/cm测量值不确定度ue(d,) = un(d) =ue(d2) = e(di) =表中，ug(d）=uz(d）=△（d)_0.002cm（游标卡尺仪器误差0.002cm））cm/3/35.用米尺测出钢丝长度L.测量钢丝长度1次，L=cm米尺（1m长钢卷尺）的A(L)仪器误差为△（L），则uu（L)=（cm）：钢卷尺很难与钢丝的两端对齐，在单次测量时引人V3全益（(cm），那么L的合成不确定的估计误差为△倍（L)（根据实际测量情况确定),则ue（L)=/3度为：u（L)=（L）+u（L）cm.（单次测量只考虑B类不确定度）6.用千分尺测出钢丝不同位置的直径，共测6次，记入表3-1-3.表3-1-35测直径/cm2平均值36A类不确定度B类不确定度校零示值Z。uA(Z.)-un(Zo)=UA(Z)=un(Z)=直径示值Zd表中，ug(Z)=u(Z)=校（d)0.0004cm.千分尺仪器误差0.0004.cm.cm:/33Zo，Za的合成不确定度u（Z）=u（Z）十u（Z）cm;
表3灢1灢1 测量对象 圆盘 圆盘 + 圆环 30个周期T30/s 1个周期T/s 平均周期/s T煀盘 = T煀盘+环 = A 类不确定度/s uA(T盘 )= uA(T盘+环 )= 合成不确定度/s u(T盘 )= u2 A(T盘 )+u2 B(T盘 )= u(T盘+环 )= u2 A(T盘+环 )+u2 B(T盘+环 )= 表中,uB(T盘 )=uB(T盘+环 )= 殼估 (T) 30 3 = s. 30个周期秒表的估计误差 殼估 (T)机械秒表取0灡5s,电子秒表取0灡2s. 2.将一转动惯量I环 = 1 8 m(d2 1 +d2 2)的铁环,同心地放在圆盘上,重复步骤1. 3.记下环的质量m(圆环质量由实验室给出,不确定度忽略不计). 4.用游标卡尺测出环的内外直径d1 和d2(单次测量),记入表3灢1灢2. 表3灢1灢2 质量 m/g 内径d1/cm 外径d2/cm 测量值 不确定度 — uc(d1)=uB(d1)= uc(d2)=uc(d1)= 表中,uB(d1)=uB(d2)= 殼仪 (d) 3 = 0灡002 3 cm= cm(游标卡尺仪器误差0灡002cm). 5.用米尺测出钢丝长度L.测量钢丝长度1次,L= cm.米尺(1m 长钢卷尺)的 仪器误差为殼仪 (L),则uB1(L)= 殼仪 (L) 3 (cm);钢卷尺很难与钢丝的两端对齐,在单次测量时引入 的估计误差为 殼估 (L)(根据实际测量情况确定),则uB2(L)= 殼估 (L) 3 (cm),那么L的合成不确定 度为:uc(L)= u2 B1(L)+u2 B2(L)= cm.(单次测量只考虑B类不确定度). 6.用千分尺测出钢丝不同位置的直径,共测6次,记入表3灢1灢3. 表3灢1灢3 测直径/cm 1 2 3 4 5 6 平均值 A 类不确定度 B类不确定度 校零示值Z0 uA(Z0)= uB(Z0)= 直径示值Zd uA(Zd)= uB(Zd)= 表中,uB(Z0)=uB(Zd)= 殼仪 (d) 3 = 0.0004 3 cm= cm.千分尺仪器误差0.0004cm. Z0,Zd 的合成不确定度uc(Z0)= u2 A(Z0)+u2 B(Z0)= cm; ·40· 大学物理实验
第3章基础实验.41u(Za)-V(Za)+u(Za)-cm;钢丝直径d=z-Z。cm;()(z.)+()u(Za)=直径不确定度u.（d）=cm.27.【数据处理】1.计算上述各测量量的平均值、A类不确定度，再考虑仪器误差△，并计算出合成标准不确定度u填入上述各表中2.将各个多次测量的平均值、单次测量值（L，m），分别代人（3-1-6）式和（3-1-7）式，计算T及N.3.计算圆盘转动惯量和金属悬丝的不确定度（先计算相对不确定度u）、扩展不确定度4.写出本次实验结果N.m-2.I盘I盘士U(I盘）=kg·m2；N丝-N丝±U(N丝）=【注意事项】1.钢丝应固定在圆盘的中心且圆盘应水平2.测量钢丝的长度，应为两夹头间的距离，3.圆环必须同心地加到圆盘上【预习思考题】使扭摆做角振动时应注意什么？【讨论思考题】1.为什么钢丝的直径必须准确测定？2.根据对本实验的分析，你认为在什么情况下可采用比较测量法？3.1.2用转动惯量仪测刚体的转动惯量【实验目的】1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法2.观测转动惯量随质量、质量分测试样品布及转动轴线的不同而改变的情况，转量验证平行轴定理光电门：光电门支架3.学会使用智能计数计时器（或遮光棒通用电脑式毫秒计）测量时间.滑轮绕线塔伦【实验原理】细绳1.转动惯量实验仪磁码刚体的转动惯量实验仪主要由圆形载物台（转盘）、绕线塔轮、遮光棒、光升降杆调平螺钉电门和小滑轮组成，如图3-1-2所示图3-1-2转动惯量实验组合仪绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小，遮光棒固定在载物台边缘，光电门固定在底座圆周直径的两端.塔轮上有5个不同半径的绕线轮，塔轮
uc(Zd)= u2 A(Zd)+u2 B(Zd)= cm; 钢丝直径d=Zd -Z0 = cm; 直径不确定度uc(d)= 灥d 灥Z æ è ç ö ø ÷ 0 2 u2 c(Z0)+ 灥d 灥Z æ è ç ö ø ÷ 0 2 u2 c(Zd)= cm. 暰数据处理暱 1.计算上述各测量量的平均值、A类不确定度,再考虑仪器误差殼仪 ,并计算出合成标准不 确定度u填入上述各表中. 2.将各个多次测量的平均值、单次测量值(L,m),分别代入(3灢1灢6)式和(3灢1灢7)式,计算 I焻盘 及 N煆丝 . 3.计算圆盘转动惯量和金属悬丝的不确定度(先计算相对不确定度ur)、扩展不确定度. 4.写出本次实验结果. I盘 =I焻盘 暲U(I盘 )= kg·m2; N丝 =N煆丝 暲U(N丝 )= N·m-2. 暰注意事项暱 1.钢丝应固定在圆盘的中心且圆盘应水平. 2.测量钢丝的长度,应为两夹头间的距离. 3.圆环必须同心地加到圆盘上. 暰预习思考题暱 使扭摆做角振动时应注意什么? 暰讨论思考题暱 1.为什么钢丝的直径必须准确测定? 2.根据对本实验的分析,你认为在什么情况下可采用比较测量法? 3灡1灡2 用转动惯量仪测刚体的转动惯量 暰实验目的暱 1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法. 图3灢1灢2 转动惯量实验组合仪 2.观测转动惯量随质量、质量分 布及转动轴线的不同而改变的情况, 验证平行轴定理. 3.学会使用智能计数计时器(或 通用电脑式毫秒计)测量时间. 暰实验原理暱 1.转动惯量实验仪 刚体的转动惯量实验仪主要由圆 形载物台(转盘)、绕线塔轮、遮光棒、光 电门和小滑轮组成,如图3灢1灢2所示. 绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴 上,使转动时的摩擦力矩很小,遮光棒 固定在载物台边缘,光电门固定在底座圆周直径的两端.塔轮上有5个不同半径的绕线轮,塔轮 第3章 基础实验 ·41·
:42:大学物理实验半径为1.5cm，2.0cm，2.5cm，3.0cm，3.5cm共5挡可与大约5g的码托及1个5g，4个10g的码组合，以改变转动系统所受的外力矩（细线的拉力矩）.载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动配备的被测试样有一个圆盘，一个圆环和两个圆柱体为了便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较，圆柱试样可插入载物台上的不同孔（图3-1-3），这些孔在载物台相互垂直的两直径上，离中心的距离分别为4.5cm，6.0cm，7.5cm，9.0cm，10.5cm.改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内的转动系统的转动惯量，便于验证平行轴定理，铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记，一只光电门作测量：一只作备用，可通过智能计时计数器上的接钮方便的切换2.匀角加（减）速度的测量实验中采用智能计数计时器（使用方法见附录2），或通用电图3-1-3载物台（转盘）脑式毫秒计（使用方法见附录5）记录遮挡次数和相应的时间.固定在载物台圆周边缘相差元角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数计时器计下遮档次数和相应的时间t，若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次、计时，且初始角速度为o，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（km，tm）、（kg，t），相应的角位移0m，0。分别为pt2(3-1-8)0m=km元=0otm+1tO,=k,元=wot+(3-1-9)其中β为匀角加（减）速度.从（3-1-8）式、（3-1-9）式中消去@。得β=2x(kntm-kmt)(3-1-10)ttm-tat,3.转动惯量的测量根据刚体定轴转动定律M=β,(3-1-11)只要测出刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，就可计算出该刚体的转动惯量I.设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I未加础码时，在摩擦阻力矩M.的作用下，转台将以角加速度β做勾角减速度运动，则有-M,=Ipi.(3-1-12)将质量为m的础码用细线绕在半径为R的转台塔轮上并让码下落，系统在恒外力矩作用下做匀角加速度运动.若础码的加速度为a，则细线给转台的力矩为Mr=（mg一ma）R.若此时转台的角加速度为β2,则有α=Rβ2,所以细线给转台的力矩为M=m(g一Rβ2)R.此时有(3-1-13)m(g-R2)R-M,=Iβ2将（3-1-12）式代人（3-1-13）式，消去M，得I,=m(g-R,)R(3-1-14)β,-β1同理，若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为12，加码前后的角加速度分别为β
半径为1.5cm,2.0cm,2.5cm,3.0cm,3.5cm共5挡,可与大约5g的砝码托及1个5g,4个10 g的砝码组合,以改变转动系统所受的外力矩(细线的拉力矩).载物台用螺钉与塔轮连接在一起, 随塔轮转动.配备的被测试样有一个圆盘,一个圆环和两个圆柱体. 图3灢1灢3 载物台(转盘) 为了便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较.圆柱试 样可插入载物台上的不同孔(图3灢1灢3),这些孔在载物台相互垂 直的两直径上,离中心的距离分别为4.5cm,6.0cm,7.5cm, 9.0cm,10.5cm.改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内 的转动系统的转动惯量,便于验证平行轴定理.铝制小滑轮的转 动惯量与实验台相比可忽略不记.一只光电门作测量,一只作备 用,可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换. 2.匀角加(减)速度的测量 实验中采用智能计数计时器(使用方法见附录2),或通用电 脑式毫秒计(使用方法见附录5)记录遮挡次数和相应的时间.固 定在载物台圆周边缘相差毿角的两遮光细棒,每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,即 产生一个计 数 光 电 脉 冲,计 数 计 时 器 计 下 遮 档 次 数k 和 相 应 的 时 间t.若 从 第 一 次 挡 光 (k=0,t=0)开始计次、计时,且初始角速度为氊0,则对于匀变速运动中测量得到的任意两组 数据(km,tm)、(kn,tn),相应的角位移毴m,毴n 分别为 毴m =km毿=氊0tm + 1 2毬t2 m, (3灢1灢8) 毴n =kn毿=氊0tn + 1 2毬t2 n, (3灢1灢9) 其中毬为匀角加(减)速度.从(3灢1灢8)式、(3灢1灢9)式中消去氊0 得 毬= 2毿(kntm -kmtn) t2 ntm -t2 mtn . (3灢1灢10) 3.转动惯量的测量 根据刚体定轴转动定律 M =I毬, (3灢1灢11) 只要测出刚体转动时所受的总合外力矩 M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度毬,就可计算 出该刚体的转动惯量I. 设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I1.未加砝码时,在摩擦阻力矩 M毺 的作用 下,转台将以角加速度毬1 做匀角减速度运动,则有 -M毺 =I1毬1. (3灢1灢12) 将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的转台塔轮上并让砝码下落,系统在恒外力矩作用 下做匀角加速度运动.若砝码的加速度为a,则细线给转台的力矩为 MT = (mg-ma)R.若此时 转台的角加速度为毬2,则有a= R毬2,所以细线给转台的力矩为 MT = m(g-R毬2)R.此时有 m(g-R毬2)R-M毺 =I1毬2. (3灢1灢13) 将(3灢1灢12)式代入(3灢1灢13)式,消去 M毺 得 I1 = m(g-R毬2)R 毬2 -毬1 . (3灢1灢14) 同理,若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为I2,加砝码前后的角加速度分别为毬3 ·42· 大学物理实验