第1章测量误差与不确定度:9:率，显然要扩大置信区间，即在S，和S的公式的基础上再乘以一个大于1的因子tp，tp与测量次数n有关，也与置信概率P有关，表1-2-1给出了tp与测量次数n、置信概率P的对应关系，表1-2-1(p因子与测量次数n、置信概率P的对应关系测量次数n2345678910200otp(P=0.68)1. 841.321.201. 141.111. 091.081.071.061.031.00tp(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.362.312.262.091.96tp(P= 0.99)63.669.925.844.604.033.713.503.363.252.862.58由表1-2-1可见，当置信概率P=0.68时，tp因子随测量次数的增加而趋向于1，当n>6以后，tp与1的偏离并不大，故在进行误差估算时，当n≥6时，若置信概率取68.3%，可以不加修正注意，上面在讨论系统误差和随机误差时是分别进行的，也就是在没有随机误差的情况下研究系统误差，以及在系统误差可以不考虑的情况下研究随机误差，实际上对任何一次实验，既存在着系统误差，又存在着随机误差，只有一种误差的实验是不存在的.当然，有的实验因以系统误差为主，有的实验因以随机误差为主，而忽略另一种误差的存在1.2.3测量的精密度、正确度、准确度对测量结果作总体评定时，一般均应把系统误差和随机误差联系起来看.精密度、正确度和准确度都是评定测量结果好坏的，但是这些概念的含义不同，使用时应加以区别（1）精密度（precision）表示测量数据密集的程度，它反映随机误差的大小，与系统误差无关.若各测量值之间的差异较小，即数据集中，离散程度小，亦即随机误差小，这意味着测量精密度较高；反之，若各次测量值彼此差异较大，精密度也就较低，（2）正确度（correctness）表示测量值或实验结果接近真值的程度，它反映系统误差的大小，与随机误差无关，测量值越接近真值，系统误差越小，正确度越高；反之，系统误差越大，正确度越低（3）准确度（accuracy）文称精确度，是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述，反映广测量值既不偏离真值，又不离散的程度.对于实验和测量来说，精密度高正确度不一定高；而正确度高精密度也不一定高；只有精密度和正确度都高时，准确度才高，两者之一低或两者都低，准确度皆低(a)(b)(c)图1-2-4子弹着靶点分布图现在以打靶结果为例来形象说明3个“度”之间的区别.图1-2-4中，（a）表示子弹着靶点
率,显然要扩大置信区间,即在Sx 和Sx 的公式的基础上再乘以一个大于1的因子tP,tP 与测量 次数n有关,也与置信概率P 有关.表1灢2灢1给出了tP 与测量次数n、置信概率P 的对应关系. 表1灢2灢1 tP 因子与测量次数n、置信概率P 的对应关系 测量次数n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 曓 tP(P =0灡68) 1灡84 1灡32 1灡20 1灡14 1灡11 1灡09 1灡08 1灡07 1灡06 1灡03 1灡00 tP(P =0灡95) 12灡71 4灡30 3灡18 2灡78 2灡57 2灡45 2灡36 2灡31 2灡26 2灡09 1灡96 tP(P =0灡99) 63灡66 9灡92 5灡84 4灡60 4灡03 3灡71 3灡50 3灡36 3灡25 2灡86 2灡58 由表1灢2灢1可见,当置信概率P=0灡68时,tP 因子随测量次数的增加而趋向于1,当n>6 以后,tP 与1的偏离并不大,故在进行误差估算时,当n曒6时,若置信概率取68灡3%,可以不加 修正. 注意,上面在讨论系统误差和随机误差时是分别进行的,也就是在没有随机误差的情况下 研究系统误差,以及在系统误差可以不考虑的情况下研究随机误差.实际上对任何一次实验, 既存在着系统误差,又存在着随机误差,只有一种误差的实验是不存在的.当然,有的实验因以 系统误差为主,有的实验因以随机误差为主,而忽略另一种误差的存在. 1灡2灡3 测量的精密度、正确度、准确度 对测量结果作总体评定时,一般均应把系统误差和随机误差联系起来看.精密度、正确度 和准确度都是评定测量结果好坏的,但是这些概念的含义不同,使用时应加以区别. (1)精密度(precision) 表示测量数据密集的程度.它反映随机误差的大小,与系统误差无关.若各测量值之间的 差异较小,即数据集中,离散程度小,亦即随机误差小,这意味着测量精密度较高;反之,若各次 测量值彼此差异较大,精密度也就较低. (2)正确度(correctness) 表示测量值或实验结果接近真值的程度.它反映系统误差的大小,与随机误差无关.测量 值越接近真值,系统误差越小,正确度越高;反之,系统误差越大,正确度越低. (3)准确度(accuracy) 又称精确度,是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述,反映了测量值既不偏离真 值,又不离散的程度.对于实验和测量来说,精密度高正确度不一定高;而正确度高精密度也不 一定高;只有精密度和正确度都高时,准确度才高,两者之一低或两者都低,准确度皆低. 图1灢2灢4 子弹着靶点分布图 现在以打靶结果为例来形象说明3个“度暠之间的区别.图1灢2灢4中,(a)表示子弹着靶点 第1章 测量误差与不确定度 ·9·
大学物理实验:10:比较密集，但偏离靶心较远，说明随机误差小而系统误差天，即精密度高而正确度较差；（b）表示子弹着靶点比较分散，但没有明显的固定偏向，说明系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度较差；（c）表示子弹着靶点比较集中，且都接近靶心，说明随机误差和系统误差都小，即精密度和正确度都很高，亦即准确度高，1.3测量的不确定度由于测量误差是普遍存在且不可避免的，因而，对测量结果进行评价，以便提供测量结果的可靠程度的信息是十分必要的.无质量评价的测量结果是毫无意义的.过去人们习惯于用误差来评定测量质量，而误差是测量结果与被测量真值之差，可是，被测量真值在大多数情况下是未知的，这使得误差概念和误差分析在用于评定测量结果时显得既不完备，也难于操作，因而受到广泛质疑.因此，国际上现在越来越多的地区已不用误差来评价测量质量，而是用另一个物理概念一一不确定度来对测量结果进行质量评价1.3.1不确定度的概念实验不确定度，又称测量不确定度（uncertaintyofmeasurement），简称不确定度，是与测量结果相关的一个用于合理地表征测量结果离散性的参数，其含义是，被测量值由于测量误差的存在而不能确定的程度，它是对被测量真值在某一范围内的一个评定，“不能确定的程度”是通过“置信区间”和“置信概率”来表送的，如果不确定度为u，根据其含义可知，误（偏）差将以一定的概率出现在区间（一u，十u）之中，或者表示被测量u的真值以一定的概率落在置信区间（一u，十u）之中，显然，在相同置信概率的条件下，不确定度越小，其测量结果的可靠程度越高，即测量质量和使用价值也越高；反之，不确定度愈大，其测量结果的可靠程度愈低，即测量质量和使用价值也愈低，由此可见，测量结果的可靠性在很大程度上取决于其不确定度的大小，用不确定度来评价测量结果的质量比误差评价更合适.因此，在给出测量结果时，必须附加不确定度的说明才是完整和有意义的，1.3.2不确定度的分类测量不确定度的大小表示测量结果的可靠程度，按其数值的来源和评定方法，不确定度可分为A，B两类.(1)A类不确定度用测量列的统计分析评定的不确定度，也称统计不确定度，用ua（r）表示。(2)B类不确定度用非统计方法估计出的不确定度，又称非统计不确定度，用uB（工）表示A类不确定度和B类不确定度均能用标准差进行评定，所以有时亦分别称为A类标准不确定度和B类标准不确定度将不确定度分为A，B两类评定方法的目的，仅仅在于说明计算不确定度的两种不同途径，并非它们在本质上有什么区别.它们都基于某种概率分布，都能够用标准差定量地表达.因此，不能将它们混淆为随机误差和系统误差，简单地将A类不确定度对应于随机误差导致的不确定度，把B类不确定度对应于系统误差导致的不确定度的做法是不妥的
比较密集,但偏离靶心较远,说明随机误差小而系统误差大,即精密度高而正确度较差;(b)表 示子弹着靶点比较分散,但没有明显的固定偏向,说明系统误差小而随机误差大,即正确度高 而精密度较差;(c)表示子弹着靶点比较集中,且都接近靶心,说明随机误差和系统误差都小, 即精密度和正确度都很高,亦即准确度高. 1灡3 测量的不确定度 由于测量误差是普遍存在且不可避免的,因而,对测量结果进行评价,以便提供测量结果 的可靠程度的信息是十分必要的.无质量评价的测量结果是毫无意义的.过去人们习惯于用误 差来评定测量质量,而误差是测量结果与被测量真值之差,可是,被测量真值在大多数情况下 是未知的,这使得误差概念和误差分析在用于评定测量结果时显得既不完备,也难于操作,因 而受到广泛质疑.因此,国际上现在越来越多的地区已不用误差来评价测量质量,而是用另一 个物理概念 ——— 不确定度来对测量结果进行质量评价. 1灡3灡1 不确定度的概念 实验不确定度,又称测量不确定度(uncertaintyofmeasurement),简称不确定度,是与测 量结果相关的一个用于合理地表征测量结果离散性的参数,其含义是,被测量值由于测量误差 的存在而不能确定的程度,它是对被测量真值在某一范围内的一个评定. “不能确定的程度暠是通过“置信区间暠和“置信概率暠来表达的.如果不确定度为u,根据 其含义可知,误(偏)差将以一定的概率出现在区间(-u,+u)之中,或者表示被测量u的真值 以一定的概率落在置信区间(x-u,x+u)之中.显然,在相同置信概率的条件下,不确定度越 小,其测量结果的可靠程度越高,即测量质量和使用价值也越高;反之,不确定度愈大,其测量 结果的可靠程度愈低,即测量质量和使用价值也愈低.由此可见,测量结果的可靠性在很大程 度上取决于其不确定度的大小,用不确定度来评价测量结果的质量比误差评价更合适.因此, 在给出测量结果时,必须附加不确定度的说明才是完整和有意义的. 1灡3灡2 不确定度的分类 测量不确定度的大小表示测量结果的可靠程度.按其数值的来源和评定方法,不确定度可 分为 A,B两类. (1)A 类不确定度 用测量列的统计分析评定的不确定度,也称统计不确定度,用uA(x)表示. (2)B类不确定度 用非统计方法估计出的不确定度,又称非统计不确定度,用uB(x)表示. A 类不确定度和 B类不确定度均能用标准差进行评定,所以有时亦分别称为 A 类标准不 确定度和 B类标准不确定度. 将不确定度分为 A,B两类评定方法的目的,仅仅在于说明计算不确定度的两种不同途 径,并非它们在本质上有什么区别.它们都基于某种概率分布,都能够用标准差定量地表达.因 此,不能将它们混淆为随机误差和系统误差,简单地将 A 类不确定度对应于随机误差导致的 不确定度,把 B类不确定度对应于系统误差导致的不确定度的做法是不妥的. ·10· 大学物理实验
第1章测量误差与不确定度.111.3.3直接测量不确定度的评定1.A类不确定度的计算对一直接测量量进行多次测量就存在A类不确定度.A类不确定度可直接用测量列的算术平均值的标准偏差表示，即1UA=SI-SZ(ri-)*,(1-3-1)Nn(n-1)Vn式中n为测量次数，一般要求n≥6.2.B类不确定度的估算（1）用近似标准差估算B类不确定度是用不同于统计方法的其他方法计算的.在物理实验中，一般采用等价标准差的方法，便用该方法时，首先要估计一个误差极限值公，然后确定误差分布规律，利用关系式△=CuB(1-3-2)就可算出近似标准差，式中就是用近似标准差表示的B类不确定度，C为置信系数其值因误差分布规律不同而异：对于均匀分布，C=/3；对于三角分布，C=/6；对于正态分布C=3：对于其他分布，可以查找有关书籍获得其值在物理实验中，若B类不确定度只包括实验仪器误差，并将其近似视为估计误差极限值△，即△△仅，且将误差分布视作均匀分布，则有仅uB=(1-3-3)3下面对（1-3-3）式的来历作一简要说明均勾分布如图1-3-1所示，误差的概率密度分布函数为f(o)t724F(8)=[a, 8≤ /Aα /.(1-3-4)[0, 8>[△夜1.由概率密度分布函数的归一性f(8)=1有a=0+仅8△仪图1-3-1均匀分布六.由此可得到等价标准差满足2△仅六-2(8)d8=(1-3-5)32△仪等式两边开方后即为（1-3-3）式（2）实验仪器误差△仅实验中所用仪器不可能是绝对准确的，它会给测量结果带来一定的误差，这种误差称为仪器误差.仪器误差的来源很多，与仪器的原理、结构和使用环境等有关.在物理实验中，仪器误差公，是指在正确便用仪器的条件下，仪器的示值和被测量真值之间可能产生的最大误差，亦称仪器的最大允许误差或仪器误差限.通常仪器出厂时要在检定书中或仪器上注明仪器误差，注明方式大体有如下两种情况：①在仪器上直接标出或用准确度表示仪器的仪器误差.如标出准确度为0.05mm的游
1灡3灡3 直接测量不确定度的评定 1.A 类不确定度的计算 对一直接测量量进行多次测量就存在 A 类不确定度.A 类不确定度可直接用测量列的算 术平均值的标准偏差表示,即 uA =Sx = Sx n = 1 n(n-1)暺 n i=1 (xi -x)2 , (1灢3灢1) 式中n为测量次数,一般要求n曒6. 2.B类不确定度的估算 (1)用近似标准差估算 B类不确定度是用不同于统计方法的其他方法计算的.在物理实验中,一般采用等价标准 差的方法.使用该方法时,首先要估计一个误差极限值 殼,然后确定误差分布规律,利用关系式 殼=CuB (1灢3灢2) 就可算出近似标准差.式中uB 就是用近似标准差表示的 B类不确定度,C 为置信系数,其值因 误差分布规律不同而异:对于均匀分布,C= 3;对于三角分布,C= 6;对于正态分布,C=3; 对于其他分布,可以查找有关书籍获得其值. 在物理实验中,若 B类不确定度只包括实验仪器误差 殼仪 ,并将其近似视为估计误差极限 值 殼,即 殼=殼仪 ,且将误差分布视作均匀分布,则有 uB = 殼仪 3 . (1灢3灢3) 下面对(1灢3灢3)式的来历作一简要说明. 图1灢3灢1 均匀分布 均匀分布如图1灢3灢1所示,误差的概率密度分布函数为 f(毮)= a, 毮 曑 殼仪 , {0, 毮 > 殼仪 . (1灢3灢4) 由概率 密 度 分 布 函 数 的 归 一 性曇 +曓 -曓 f(毮)d毮 =1,有 a= 1 2殼仪 .由此可得到等价标准差满足 u2 B =曇 +曓 -曓 毮2f(毮)d毮=曇 +殼仪 -殼仪 毮2 1 2殼仪 d毮= 殼2 仪 3 , (1灢3灢5) 等式两边开方后即为(1灢3灢3)式. (2)实验仪器误差 殼仪 实验中所用仪器不可能是绝对准确的,它会给测量结果带来一定的误差,这种误差称为仪 器误差.仪器误差的来源很多,与仪器的原理、结构和使用环境等有关.在物理实验中,仪器误 差 殼仪 是指在正确使用仪器的条件下,仪器的示值和被测量真值之间可能产生的最大误差,亦 称仪器的最大允许误差或仪器误差限.通常仪器出厂时要在检定书中或仪器上注明仪器误差, 注明方式大体有如下两种情况: 栙 在仪器上直接标出或用准确度表示仪器的仪器误差.如标出准确度为0灡05 mm 的游 第1章 测量误差与不确定度 ·11·