材料力学教察第16讲教学方案提高弯曲强度的措施、薄壁截面的弯曲中心基本内容提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。1、从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。2、理解等强度梁的概念。教学3、确定薄壁杆件切应力流的方向。目的理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。重点本节重点：提高弯曲强度的若干措施。、难点本节难点：确定弯曲中心
材 料 力 学 教 案 1 第 16 讲 教学方案 ——提高弯曲强度的措施、薄壁截面的弯曲中心 基 本 内 容 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 教 学 目 的 1、从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 2、理解等强度梁的概念。 3、确定薄壁杆件切应力流的方向。 4、理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方 法。 重 点 、 难 点 本节重点：提高弯曲强度的若干措施。 本节难点：确定弯曲中心
讲六sS5-5提高弯曲强度的措施如前所述，弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件M≤[0](a)mxW.上式可以改写成内力的形式(b)Mmx≤[M]=W.[o]（b）式的左侧是构件受到的最大弯矩，（b）式的右侧是构件所能承受的许用弯矩由（a）和（b）两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1.减小最大弯矩1）改变加载的位置或加载方式人和AT首先，可以通过改变加载位置或加载方式达到减小最大弯矩的目的。如当集中力作用在简支梁跨度中间时（6-13a），其最大弯矩为PI：当载荷的作用点移到梁的一侧，如距(a)副左侧=1处（图6-13b），则最大弯矩变为七+专+#P1，是原最大弯矩的0.56倍。当载荷的-P位置不能改变时，可以把集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为(c)b)两个集中力（图6-13c），而使最大弯矩降低为图6-13改变加载的位置或加载方式以减小最大弯矩Pl。利用副梁来达到分散载荷，减小最大弯矩是工程中经常采用的方法。2）改变支座的位置其次，可以通过改变支座的位置来减小最大弯矩。例如图6-14a所示受均布载荷的简支梁，Mmxql2=0.125ql2。若将两端支座各向里移动0.21（图6-14b)，则最大弯矩减小为40932
第 十 六 讲 2 §5-5 提高弯曲强度的措施 如前所述，弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件 [ ] max max = Wz M （a） 上式可以改写成内力的形式 [ ] [ ] Mmax M = Wz （b） （b）式的左侧是构件受到的最大弯矩，（b）式的右侧是构件所能承受的许用弯矩。 由（a）和（b）两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯 矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。 1．减小最大弯矩 1）改变加载的位置或加载方式 首先，可以通过改变加载位置或加载方式 达到减小最大弯矩的目的。如当集中力作用在 简支梁跨度中间时（6-13a），其最大弯矩为 Pl 4 1 ；当载荷的作用点移到梁的一侧，如距 左侧 l 6 1 处（图 6-13b ），则最大弯矩变为 Pl 36 5 ，是原最大弯矩的 0.56 倍。当载荷的 位置不能改变时，可以把集中力分散成较小的 力，或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。 例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为 两个集中力（图 6-13c）,而使最大弯矩降低为 Pl 8 1 。利用副梁来达到分散载荷，减小最大 弯矩是工程中经常采用的方法。 2）改变支座的位置 其次，可以通过改变支座的位置来减小最大弯矩。例如图 6-14a 所示受均布载荷的简支 梁， 2 2 max 0.125 8 1 M = ql = ql 。若将两端支座各向里移动 0.2l （图 6-14b），则最大弯矩减 小为 2 40 1 ql
材料力学教察Mm = qr =0.025grp只及前者的。图6-15a所示门式起重机的大梁，图6-15b所示锅炉简体等，其支承点略向NH(a)(b)图 6-15 减小最大变矩的工程实例中间移动，都是通过合理布置支座位置，以减小M的工程实例。2.提高抗弯截面系数更发M开分0210.210.6MO(b)(a)图 6-14 改变支座的位置以减小最大考矩1）选用合理的截面形状在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数W愈大，则梁的承载能力就愈高。例如对截表6-1常见裁面的W/A值环形工字钢矩形槽钢圆形内径80.167A0.125h0.205h(0.27-0.31）万(0.29-0.31)
材 料 力 学 教 案 3 2 2 max 0.025 40 1 M = ql = ql 只及前者的 5 1 。图 6-15a 所示门式起重机的大梁，图 6-15b 所示锅炉筒体等，其支承点略向 中间移动，都是通过合理布置支座位置，以减小 Mmax 的工程实例。 2．提高抗弯截面系数 1）选用合理的截面形状 在截面积 A 相同的条件下，抗弯截面系数 W 愈大，则梁的承载能力就愈高。例如对截
面高度h大于宽度b的矩形截面梁，梁竖放时W，=bh2；而梁平放时，W,hb2。两者之比是※=么>1，所以竖放比平放有较高的抗弯能力。当截面的形状不同时，可以用比值兴来衡量截面形状的合理性和经济性。常见截面的兴值列于表6-1中。表中的数据表明，材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下梁会发生扭曲，从而使梁过早的丧失承载能力。对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用T字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。2）用变截面梁对于等截面梁，除M所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的格重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化(a)的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材TA料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他(b)(c)工艺要求，工程实际中只能作成近图6-16变裁面梁的工程实例似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴（图6-16a)，摇臂钻床的摇臂（图6-16c）及工业厂房中的鱼腹梁（图6-16b）等。3.提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅速，如16Mn、15MnTi钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长
第 十 六 讲 4 面高度 h 大于宽度 b 的矩形截面梁，梁竖放时 2 1 6 1 W = bh ；而梁平放时， 2 2 6 1 W = hb 。两者 之比是 1 2 1 = b h W W ，所以竖放比平放有较高的抗弯能力。当截面的形状不同时，可以用比值 A W 来衡量截面形状的合理性和经济性。常见截面的 A W 值列于表 6-1 中。 表中的数据表明，材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是 因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作 用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工 程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板， 道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高 抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下梁会发生扭曲，从而使梁过早的 丧失承载能力。 对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用 T 字形等中性轴距上 下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应 力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。 2）用变截面梁 对于等截面梁，除 Mmax 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应 力均小于，甚至远小于许用应力。 因此，为了节省材料，减轻结构的 重量，可在弯矩较小处采用较小的 截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化 的梁称为变截面梁。若使变截面梁 每个截面上的最大正应力都等于材 料的许用应力，则这种梁称为等强 度梁。考虑到加工的经济性及其他 工艺要求，工程实际中只能作成近 似的等强度梁，例如机械设备中的 阶梯轴（图 6-16a），摇臂钻床的摇 臂（图 6-16c）及工业厂房中的鱼腹梁（图 6-16b）等。 3．提高材料的力学性能 构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅速，如 16Mn 、 15MnTi 钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长
费店江大桥广泛的采用了16Mn钢，与低碳钢相比节约了15%的钢材。铸铁抗拉强度较低，但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。$5-6薄壁截面的弯曲中心对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作用在对称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯典虫心，且平行于形心主轴时，梁才能发生平面弯曲。否则，梁在发生弯曲的同时，还将发生扭转。确定弯曲中心的方法是，先假定在横向力作用下梁发生平面弯曲，研究此时横截面上的剪应力分布，求出剪应力的合力作用点，此即弯曲中心。再根据内外力的关系，确定产生平面弯曲的加载条件。-b-(a)(c)(b)图6-10薄壁截面的水平剪应力现以图示的槽形截面悬臂梁为例，说明确定弯曲中心的方法。设横向力P通过点A.且平行于形心主轴y，梁发生平面弯曲而没有扭转（6-10a)。此时梁的横截面上不但有正应力，还有剪应力。除腹板上有垂直剪应力外，在翼缘上还将产生水平剪应力。由于翼缘很薄，对水平剪应力T，同样假定：（1）剪应力平行于翼缘的周边，（2）沿翼缘厚度均匀分布（图6-10b)。为了分析水平剪应力，以相距为dx的两横截面及垂直于翼缘中线的纵截面自翼缘上截取一微段，微段横截面上作用有正应力的合力N,、N2，在截开的纵截面上作用有剪应力T（图6-10c)。其中
材 料 力 学 教 案 5 江大桥广泛的采用了 16Mn 钢，与低碳钢相比节约了 15% 的钢材。铸铁抗拉强度较低，但价 格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸 铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。 §5-6 薄壁截面的弯曲中心 对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作用在对 称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯曲中心，且平行于形心主轴时，梁才 能发生平面弯曲。否则，梁在发生弯曲的同时，还将发生扭转。 确定弯曲中心的方法是，先假定在横向力作用下梁发生平面弯曲，研究此时横截面上的剪应 力分布，求出剪应力的合力作用点，此即弯曲中心。再根据内外力的关系，确定产生平面弯曲的 加载条件。 现以图示的槽形截面悬臂梁为例，说明确定弯曲中心的方法。设横向力 P 通过点 A ， 且平行于形心主轴 y，梁发生平面弯曲而没有扭转（6-10a）。此时梁的横截面上不但有正应力， 还有剪应力。除腹板上有垂直剪应力外，在翼缘上还将产生水平剪应力。由于翼缘很薄，对水平 剪应力 1 同样假定：（1）剪应力平行于翼缘的周边，（2）沿翼缘厚度均匀分布（图 6-10b）。为 了分析水平剪应力，以相距为 dx 的两横截面及垂直于翼缘中线的纵截面自翼缘上截取一微段， 微段横截面上作用有正应力的合力 N1 、N2 ，在截开的纵截面上作用有剪应力 ' （图 6-10c）。 其中