222微分方程的类型2212222 非线性系统:用非线性微分方程描述。 ∫+ky2+y=F(t) dt 。线性系统:用线性微分方程描述。 线性定常系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数 dy dt +ky=F() 线性时变系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是 随时间而变化的。 f+k(oy=F(t) dt 线性系统的重要性质:满足叠加性和均匀性(齐次性)。即: 如果输入r(t→>输出y(,输入r2(t)>输出y2(t) 则输入ar1()+br2(t)>输出ay1(t)+by2(t)
• 非线性系统：用非线性微分方程描述。 ( ) 2 ky y F t dt dy f + + = ky F(t) dt dy f + = k(t) y F(t) dt dy f + = 2.2.2 微分方程的类型 • 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。 • 线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1 (t)—>输出y1 (t)，输入r2 (t)—>输出y2 (t) 则输入a r1 (t)+b r2 (t) —>输出a y1 (t)+by2 (t) • 线性系统：用线性微分方程描述。 • 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是 随时间而变化的。 2.2.1 2.2.3 2.2.4
223非线性元件微分方程的线性化2.112.2124 °严格地说,实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性,而 非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工 作范围内,可以用线性系统模型近似,称为非线性模型的线性化。 小偏差线性化:用台劳级数展开,略去二阶以上导数项。 假设:xy在平衡点(x0yo)附近变化,即 x=x0+△x,y=y0+△y 近似处理△ df(x) △v 数学方法 y=f(r y=+4y=f(x)+(x △x+ X=x dfe (△x)2+ 2!d X=x 略去高阶无穷小项 y=yo+△y=f(xn)dr(x) △x dx 0
x dx df x y x x = = 0 ( ) + = + = + + = = 2 2 2 0 0 ( ) ( ) 2! 1 ( ) ( ) 0 0 x dx d f x x dx df x y y y f x x x x x x dx df (x) y y y f(x ) x x0 = 0 + = 0 + = 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、假设：x,y在平衡点（x0 ,y0 )附近变化，即 x=x0+△x, y=y0+△y 二、近似处理 略去高阶无穷小项 • 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而 非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工 作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。 三、数学方法 2.2.1 2.2.2 2.2.4
22.4线性定常微分方程的求解2.12.212.2.3 求解方法:经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。 拉氏变换法求解步骤 1.考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换, 得到变量s的代数方程; 2.求出输出量拉氏变换函数的表达式; 3.对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达 式,即为所求微分方程的解。 R 例23已知R1=1,C1=1F,u(0)=0.1v, u(t)=1(t),求ut u(t) C= u(t) 解:RC1m+a= RC1SU(3)-RC12(0)+U2(3)=U(S) sU(s)-0.1+U((S)=U,(J) 0.1 s(S+1)s+1 l2(t=1-e+0.1e 零初始条件下取拉氏变换:R,C1sU(s)+U(s)=U(S) U,(s) U(S)R,CS+l
• 求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。 c r c u u dt du R1 C1 + = ( ) (0) ( ) ( ) 1 1 1 1 R C sU s R C u U s U s c − c + c = r sU (s) 0.1 U (s) U (s) c − + c = r 1 0.1 ( 1) 1 ( ) + + + = s s s U s c t t c u t e e − − ( ) = 1− + 0.1 2.2.4 线性定常微分方程的求解 R1 C1 i 1 (t) ur (t) uc (t) 例2.3 已知R1=1，C1=1F，uc (0)=0.1v, ur (t)=1(t)，求 uc (t) 拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达 式，即为所求微分方程的解。 解： R C sU (s) U (s) U (s) 1 1 c + c = r R C s 1 1 U (s) U (s) r 1 1 c + = 零初始条件下取拉氏变换： 2.2.1 2.2.2 2.2.3
23传逼函教 2.12.22.412.5 231传递函数的定义2.32233|23.4 线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比,称为传递函数。 d" c(t d" c(t) dc(t) dt 在1+…+n-1 +a,c(t) dt d rlt +b1 +…+b +bmr(t) dt dt dt (aos"+a,s+.+a-S+a,C(s) +b,s +.+bm-S+ BR(s) s+b G(S)= C(s)b0s"+b1s"+…+b n-1 R(S) H-1 0S+a1S+…+an1S+a
2.3.1 传递函数的定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G S + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 b s b s b s b R s a s a s a s a C s m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − − 2.3 传递函数 • 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比，称为传递函数。 2.1 2.2 2.4 2.5 2.3.2 2.3.3 2.3.4
例24如图RLC电路,试列写网络传递函数U(s)/U(s) 参见LCn2+h( +u2(t)=u1() (t)R L dt 解:1)零初始条件下取拉氏变换: ur(t) C (t) LCSU(S)+RCSU (s)+U(S=U(s) 传递函数:G(s)= U(s) (((((((s)R_ mY U (s) LCS+RCs+1 2)变换到复频域来求。 U(s) 1/sC=U(s) 23.2、传递函数的性质 1)传递函数是复变量S的有理真分式函数,分子多项式的次数 m低于或等于分母多项的次数n,所有系数均为实数; 2)传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关; 3)传递函数与微分方程有相通性,可经简单置换而转换; 4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5)传递函数是在零初始条件下定义的,它只反应系统的零状态 特性;零初始条件含义要明确
试列写网络传递函数Uc (s)/Ur (s). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC c r c c + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 LCs U s RCsU s U s U s c + c + c = r 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = U s LCs RCs U s G s r c 例2.4 如图RLC电路， R L C i(t) ur (t) uc (t) R Ls 1/sC I(s) Ur (s) Uc (s) 1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数 m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态 特性；零初始条件含义要明确。 参见 解:1) 零初始条件下取拉氏变换： 传递函数： 2) 变换到复频域来求。 2.3.2、传递函数的性质