其中v是x的可微函数,是小量,x2是新的自变量。考虑到y 是连续的,作变量替换后有 (y) Lix, y dy dx dx d du .(x十eU, k 以 表示。,进行泰勒展开后得 (y) L(x aL ay (1+c)dx2+O(e2)。 因而,在y(x)上计算的v与在y·(x)上计算的0之间的 改变量是 △≈B L+ x +O( (1.39) 类似于前面的处理手法,不进行分部积分,而引入函数 L Q(x) 因而有 aL ax alL (Q) +& ax 将这些关系式代入式(1.39),得 L (axr()-Qi+-吵ay dx +o(e) Qv) ∫x(Q-L+·影)+0 按定义泛函v的变分为
20 Q一L+j 由定理1.1,对于极值曲线而言,必须有8=0。考虑到v的 任意性,必须满足下述两个条件: L (1)Q一L+y C=corst (2)〔(Q-C)v〕=0 由Q(x)的定义有Q(x)=0,因而由上述条件(1)可定出 H(x),这星函数H(x)为 H(X)=L-yr oL (1.40) y 面条件(1)本身成为 aL dx=F(x)-H(xo) 1.41 O 上式左边是个积分,其被积函数°最多有有限个第一类间断 点,可见此积分即使在角点处也是连续的,因而上式右边在 角点处也必须是连续购。或者说,对于极值曲线丽言,函数 H(x)在角点处必须是连续的。这称为外尔斯特拉斯第二角条件。 最后,考虑强变分的情况,亦即只假定6y是小量,而不再 假定6y是小量。如图1.5所示,设O,P,S,Q,是极值曲 线y(x)上的一些点,而 OPRQV是另一条可能的幽线,它在 P,R处出现两个角点。 在图1.5中,E是小量。在区间〔x1,x+e〕上y(x)与 y(x)之差为小量,但y(x)与Y(x)之差不再是小量。在区 间〔x1+ε,x2)上,y(x)与y(x,ε)之差以及y(x)与 y(x,t)之差均为小量。因而,在各段曲线上计算的泛函值 分别为 U(PR)=JPP L (x, y, Y')dx=L(x,y,Y')
2x c) 图1.5强变分的情况 PS)=L(x (RQ)=矿(SQ) OL aL sQ、ay 8y+0 x 类似于前面的处理手法,引入函数 q(U) aL, dx, su ay 因而有 (gay) v 这样,就可得到如下关系式 (RQ)=”(SQ)+[q8y〕 aL q y ax sQ 由q(U)的定义知q(S)=0,再由Q点处的边条件有6y(Q) 0,因厕 v(RQ)=v (sQ) V aK 由于SQ在极值曲线上,”(RQ)必大于或等于υ(SQ),考虑到By 是任意的,因而在SQ上q、M必须是常量,它是0L ay av(s) 这样就有
22 U(RQ (SQ) (S) d SQ U(SQ)+ al (S) S (SQ) al (Says) U(SQ)-aL oy (S)( 综合以上结果,得到 U(PRQ)=U(PR)+U(RQ) L(x, y.Ype+ U(sQ) L (S)(Y U (PSQ (PS)+U(SQ L(x, y, ype+ U(SQ 因而 (PRQ)-U(PSQ)=L(x,y,Y L(x,y,y′)p-( (s) L(a, y, Y)-L(x, y, y) OL ay e。 这里P点是极值曲线上的任意一点。由于PSQ是极值曲线上的 段,上式左端是大于或等于零的,因而上式右端也必须大于或等 于零。考虑到E>0,可见在极值曲线上的任一点处,对于所有 可能的Y而言,函数 E(x, y, y, y)=L(x, y,r)-L(x,y, y) 都必须大于或等于零。这称为强变分的外尔斯特拉斯必要条件
23 在只考虑弱变分的情况,可令y=y+by,其中by′为小 量。此时外尔斯特拉斯必要条件成为 E(x,y,y,勹)=L(x,y,Y) L(x,y,y′) oL-sy y aL y 02L 2(6y)2+ L(x, y, y') BL a way l02 (6y′)≥0, 亦即 a2L ay 0 这称为对于弱变分的勒让德( Legendre)必要条件。 在按式(1.42)引进了外尔斯特拉斯E函数后,由外尔斯特 拉斯第一、第二角条件容易看出,对于极值曲线y”(x)前言,若 令y是角点前的斜率,Y是角点后的斜率,则有 E( )=0 当然,这与强变分的外尔斯特拉斯必要条件是一致的。 §1.5有约東的情况 在前而几节的讨论中,假定了变分8y是任意的,也就是说, 所讨论的泛函的自变量y(x)可以任意变化。当然,这里所说 的“任意”并不表示可以不考虑任何条件。事实上,y(x)只 能在容许函数类中选取。另外,还可能要满足某些指定的端条 件。不过这些要求在推导欧拉方程和横截条件时不会增加新的困 难,因而在变分学发展的早期,认为这种情况下变分δy是任意