14 Bo,5) 图1.3捷线问题 0,当x=0 1.32 b,当 设P(x,y)是曲线上一点,重物在P点处的速度为U。由能 量守恒原理可得 1mu2=mgy,→U=v29y 其中9是重力加速度。 再令ds为曲线的微弧长,则有 S 以及 1+y' dx 因而可得 2 dx 29y 这样,重物从A点滑到R点所需的时间为 y. de (1.33) 2gy 当前的问题在于在所有满足条件(1.32)的函数y(x)中 寻找使由式(133)定义的T取最小值的那个函数。 由于泛函(1.33)是泛函(1.10)的一个特例,由欧拉方程 (1.18),使T取最小值的函数y(x)必须满足条件
15 aT aT dx ay y 29 yy(1 2 十 +y 2 y 经化简后可得一个y对y的微分方程 2yy 1 +y dy 1=0 积分一次有 1+y 2c 亦即y′ 2c 这里c是积分常数。再积分一次,有 x =x+ y 2cy yo y2cy +Ccos +v2cyo y-c y 考虑到条件x=0时y=0,上式成为 Y2cy-y2+ccs1、c 再由条件x=a时y=b可确定积分常数c。 一般情况下,要求得欧拉方程的分析解是十分困难的。在泛 函(1.10)中的函数L(x,y,y)取某些特殊形式时,欧拉 方程存在第一积分,使欧拉方程的积分可以略微简单一些 1.L=L(y,y),即它不显含x。此时 dl aL al 由欧拉方程(1.18),有
16 dL d aL a d/ aL dx。y)y dx ay' 对x积分一次,得 E、0 ay y'=c=const 这种情况下,相应于x和x自由的横截条件分别为 K C。 0x0 C以及 8 2.L=L(x,y),即它不显含y。此时 ay 由歇拉方程(1.18)得 d dx ay 0 因而有 L ov=C s const 这种情况下,相应于(x)和y(x)自由的横截条件分 别为 aK ak=C以及ay(x,) ay(x,) C 3.L=(x,y),即它不显含y′。此时 L 0 ay 由欧拉方程(1,18)得 ay 它是一↑代数方程,一般情况下可解得函数y(x)。如果此函数 满足要求的端条件,它就可能是极值函数。否则,如果此函数不 满足要求的端条件,则极值函数不存在
s1.4角条件 为书写椅单起见,这里只对泛函(1.10)进行讨论。在§1.2 中推导欧拉方程时,假定了dx(ay)是有意义的,因而可进行 分部积分。由于一般情况下 aL ay 是x,y,y前斷数, 因而在那里事实上要求y 存在。但在某些实际阿题中, 极值曲线yx)上可能有 角点存在,即如图1.4所示 的那种形式。此时,在角点 处,y没有意义。显然,用 疼1.1.有角点的极值幽线 欧拉方程是不能求得这种含有角点的极值曲线的。我们假定,极 值曲线上只有有限个角点 从直观上看,极值曲线在角点处所需满足的必要条件与端点 处的情况无关,为简沽起见,假定端点是固定的。此时可将泛函 (1.10)进一步简化为 T〔y)= L(x, y, y')d (1.34) 当L是y和y的可微函数时,可求得上述泛函的变分为 rx1「如:8y+6 6 6y′d (1.35 OL 和51.2中推导欧拉方程时不同,由于。y7一般说来不再可 微,不能进行分部积分来把y′转换为δy。替代的办法是引进 个函数 q(x) xo ay u3, (1.36)
18 因而有 (x) aL ay d〔q(x)6y)= al dy+q(x)dy 将这些关系式代入式(1.35),得 JELA aL dx 〔q(x)8y)+ (x))y′{dx ay 〔q(x)6y)+ x0(。y-q(x))8ycx (1.37) 由定理1.1,对于极值曲线而言必须有b=0。考虑到8y是 任意的,必须满足下述两个条件 (1)q(x)~可 ay C =const (2)〔(q(x)+C)8y 0 由q(x)的定义有q(x)=0,因而由上述条件(1)可定出 C ay (x0),而此条件本身成为 OL L al x (1.38) 上式左边是个积分,其被积函数最多有有限个第一类间 y 断点,可见此积分即使在角点处也是连续的,因而上式右边在角 点处也必须是连续的。或者说,对于极值曲线而言,函数。在 角点处必须连续,这称为外尔斯特拉斯( Weierstrass)第一角 条件 现在讨论极值曲线上存在角点时所必须满足的另一条件。假 定y(x)是极值曲线,其上可以有角点。再考虑它附近的一条 曲线 y(x)=y"(