2 的,而把除了这两种显然要满足的条件外还必需要满足的条件称 为对原有变分问题附加的约束条件。 在经典变分法中,常用拉格朗日( Lagrange)乘子法来将有 约束极值问题转化为无约束极值问题。 拉格朗日乘子法的基本思想如下:考虑泛函(y)以及约 束条件b(y)=0,为使v(y)在约束b(y)=0下的极值问 题与新泛函(y,A)的无约束极值问题相当,6(y,λ)应满 足如下两个条件 (1)泛函(y,A)对变量λ的欧拉方程为b(y)=0。 (2)在满足约束条件,即b(y)=0时,B〔y,4〕 y 为简洁起见,本节中仍只考虑形如式(1.34)的泛函,即 υ〔y)=「3L(x,y,y)d (1.44) 下面讨论几种常见的约束形式。 、釣束条件为 f;(x,y,y)=0,i=1,2 (1.45) 用拉格朗日乘子法,此有约束的泛函极值问题等价于泛函 〔y,λ〕 F(x, y, y, Ada 1.46) 的无约束板值问题,其中 F(x, y, y, A)=L(x, y, y' +∑从(x)fK(x (1.47) 这里A是拉格朗日乘子,它是x的函数。 由于 (1)泛函y,λ〕相对于A的欧拉方程为 d「aFF dx L a ai f;(x,y,y)=0 i=1,2
25 即约束方程 (2)在满足约束条件时有 y,1)=L(x,y,y)dx=v〔y 可见上述论述成立。 例15求单位球而上两点之间的最短路径。 以S表示单位球表面上弧长,点的坐标为〔x1,x2,x)。 因而要求极小的泛函为 0=s=lds, 而相应的约束条件是 x+x2+x3=1 以及 ds2=dx1+dx3+dx即好+刘+=1, 其中 表示 用拉格朗日乘子法,上述有约束极值问题等价于 λ]=|F( 的无约束极值问题,其中 F=1+A1(x+x+x-1)+λ2(对++对-1) 相应的欧拉方程为 2x;-d(2x;12)=0,i=1,2,3, 以及两个约束方程。经适当变换后,这五个方程成为 λ1+A2=0, x 0,=1,2,3 由此解得 /= A; coss +B sin s, i=1,2,3 飞它应对最短路径上所有的S均成立,为此必须有
26 4A4 B B.=0 B 亦即最短路径应处于通过原点的一个平面内。它又在球面上,因 而它是通过给定的两点的一条大圆弧。 二、约束条件为 q;(x,y,y)≤0,讠=1,2,…,r。(1.48) 对于这一类约束,可以引入松弛变量;使它转换为等式约東 十9,=0,i=1 (1.49) 然后就可以按前述方法处理。相应的 F( y′,λ,w)=L ∑(m十)。(1.50) 因而对应于的欧拉方程是 2A;=0,i=1,2, 如果切;=0,表明极值曲线处于约束边界上。如果λ=0,表明 约束实际上没起作用,亦即极值曲线在约束的内部。 应该注意的是,当极值曲线可以处于约束边界上的时候,对 应于自变量的欧拉方程可能不再成立。或者说,当极值曲绒从约 束内部到达约束边界或从約束边界进入约束内部时可能产生角 点,因而在这些地方必须考虑角条件。 例16求一个圆环上的两点之间的最短路径 仍以弧长S为参数,点的坐标为(x1,x2)。要求极小的泛 函为 约束条件为 x+x≤b,x2+x2≥a, 刘十刘=1 引入松弛变量τs1及U2以及拉格朗日乘子λ,A,k3后,依照式
(1.50)可得 F=1+,(u2+x2+x3-b2)+l2(-02+x2+x2-a2) +入3(x十一I)。 相应的欧拉方程是 2x1+2A2x1d-(2)=0, 2A1x2+22x2-ds(2x)=0, A2;=0,A2z2= 可见极值曲线可能由三种曲线段组成: (1)A1=A2=0,对应于圆环内的一条直线段, (2)λ1=0,2=0,是内圆上的一段弧, (3)t;=0,A2=0,是外圆上的一段弧 如果圆环上的两点可以用圆环内的一直线段来连接,那末此 直线段就是极值曲线。否则,必须考虑角条件。这里,由外尔斯 特拉斯第一和第二角条件,对于极值曲线而言, 以及 1+1(u2+x2+x2-b2)+λ2(-2+x2+x2-a2) (+x-1)-23元+文2 在角点处必须连续。考虑到约束 条件后,上述最后…式的连续性 也就是的连续性。这样,对于 极值曲线而言,角点处dx必须 连续,亦即如果极值曲线由一些 B 直线段和圆弧构成,则它们在相 接处必须相切。所以,所要求的 最短路径必定是图1.6所示的两 图1.6圆环上两点同的 条路径中的一条 最短距离
28 三,约束条件为 ∫(x,y,y)dx=0,i=1,2 m。(1.51) 用拉格朗日乘子法,此有约束的泛函极值问题等价于泛函 y,A〕 F(x,y,y, A)dx (1.52) 翁无约束极值问题,其中 F(x, y, y, A)=L(x f,( y),(1.53) 这里A是拉格朗日乘子,它是常数 由于 (1)泛函y,A〕相对于A的欧拉方程为 d r aF aF dx Lan f;(x,y,y)=0 x∈〔xx 因雨有 f,(x,y,y)dx=0,i=1,2 f4 即约束方程 (2)在满足约束条件时有 〔y,λ〕 L(x,y,y)dx=〔y〕 可见上述论述成立。 四、约条件为 f;(x,y,y)dκ≤a;i=1,2 在引入松弛变量,后,它转变为 f,( 通常,还将它改写成