9 dk=ak-dx,+ ak dx,+aK 0: a(x.dy(xJ dy() 考虑到微分变量dxp,dx1,dy(x),dy(x)都是独立的,可以 得到泛函v取极值的另一些必要条件: aK aL L 0 (1.19) aK L ay (1.20) ac, aK (x。y 0 (1.21) 0y(x)×/aL ak 0 ay (1.22) 它们分别对应于x自由,x自由,y(x)自由和y(x1)自由 的情况。这些条件通常称为横截条件。 为书写方便起见,上述推导均是在假定x及y为标量的情况 下进行的。但不难推广到x是矢量(多元函数)以及y是矢量 (多个自变函数)的憤况。 现考虑x为二维,y仍为标量的情况。设在x1x平面上有 区域Ω2,其边界为B。要求在区域Ω中找一个函数y(x1,x2), 使重积分 u〔y〕=L(x1,x2,y,y1,y)dx,dx2 (1.23) 0y y 取驻值,其中y“”“x。,相应的边界条件是: y,(x1;,x2)∈H1 (1.24) 由,(x1,x2)∈B2 这里y是给定的,且B:∪B2=B
10 B 图1.2泛函的积分区域及其边界 求的一阶变分,得到 aL 8yF, aL 6y, ay dy2 )dx, dx2 (1.25) y 下面用格林( Green)公式来简化上述积分式。对于任意两个 函数P(x,x2)和q(x1,x),格林公式指出 ∫2+a)x:=Jn (p+mg)ds (1.26) 其中(I,m)是边界法线n(以向外者为正)的方向余弦,8 是边界曲线的弧长,(,8)的转向应与(x1x2)的转向 致 若取p=p1(x1,x2)P2(x1,x2),q=q2(x1,x2)q2(x1,x2), 式(1.26)成为 十P + g2 G,dx (p: P2+mq: q: )ds, 亦即
Il Ser apz+1 8x2 6p1 x. ax p2 6q1 d +「(pA+m)d (1.27) 在上式中取A,P=8y,41-02=6y便有 L ay, aLly,x'ay2 aL 0y dy2 darda ∫ OLay a/aL 16x;(ay1 ay dxdx a.c. ay L y 将此式代入式(125)并考虑到在B1上6y=0,得到 0/6 t ay ax, ay,/0x,\ay &ydx, dx L aL ay 下面的论证与推导欧拉方程及相应的横截条件时完全相同, 得到泛函v取极值的必要条件为2 0/a a/ aL oyax1、y1 、ay2 (1,29) 以及 aL aL 在B2上 类似地可以考虑x的维数大于2以及y也是矢量的情况“。 相应的工作留给读者来完成。 还有一种经常遇到的情况是所考虑的泛函中还含有y的高阶 导数2。设所考虑的泛函为 L(x, y)dac, (1.31)
12 式中y代表y对x的n阶导数。求泛函的变分,有 L dy ay y ) L oy 接连多次进行分部积分,可以把上式积分号内所有的dy)(k ,n)都化为8y,得到 al d/aL d2/ aL ay xay′)ax2\ay 1)dx只oy byd L d /aL ta x\ a +…+(-1)"1 aL dx y aL i ayu dx\a L oy …}.0 ay 由定理1.1,极值函数必须满足的必要条件是b=0。由此 容易求出这种情况下的欧拉方程为: OL al ay dx ay dx"\a 0 而相应的横截条件为 al d/ aL ay-dx'oyw dx ay al d oy d ay 8) L dx-2ay(o al
13 aL d aL +(-1)”1 ay E 8y d ay alL +(-1) ay d 它们分别对应于y,y,…,y(”在x处以及在x1处自由的 情况 例1.3求泛函 /4 〔y 4y/)dx 的极值曲线所需满足的条件,假定y及y在端点处是自由的 首先,必须满足欧拉方程,它是 +4y=0 另外,还必须满足相应的横截条件,它们是 〔y"+4y +4y〕 以及 §1.3欧拉方程的积分 通过欧拉方程,把变分问题(即泛函的极值问题)转变成了 微分方程(常微分方程或偏微分方程)的求解问题。 例1.4捷线问题 如图1.3所示,给定两个点A与B,A高于B。要求在这两 点间连一条曲线,使得有重物从A点沿此曲线以零初速自由下滑 射,到达B点所需的时间最小。 通过A,B两点作一垂直平面,在此平面上取如图13所示 的笛卡尔坐标系(x,y)。设所求曲线的函数表示式为y(x 且有