不大于它在y·邻近的任一函数y(x)上的值,则称泛函U〔y〕 在y(x)上达到了极小谊,而称y"(x)为泛函v〔y)的极小 函数 在上述定义中,若两个函数y1(x)与y2(x)相邻近只 是指 suply, (x)-n(x) 是小量,则相应的板小值称为强极小值;若相邻近是指 suply,(x)-y(x)l, suply(x)-y?(x) 均为小盘,则相应的极小值称为弱极小值。 类似地可以定义泛函的最大值、最大函数、极大值、极大函 数等 变分法的基本任务就是在容许函数类中找出使给定泛函取极 值的函数。显然,一个变分法问题的提出依赖于给定泛函是什么 以及容许函数类是什么。对同样的泛函,如果容许函数类不同, 所得结果往往也是不一样的。 变分法的基本引理设y(x)是定义在区间〔xx1)上的 连续函数,n(x)为定义在同一区间上的一阶连续可微的任意 函数,且q(x0)=?(x1)=0,若对于任何这样的7(x)均有 (x)n(x)dx 则在〔x。x1上y(x)=0。 证明用反证法。设y(x)在某一点x∈〔x,x)处不等 于零,不妨设y(x)=a>0。由y的连续性可在〔x,x内选 出x'的邻域(x,x1),当x∈(0,)时有y(x) 2再取 (x-xo (x-x, xE(xe x,, 7(x) 其 则有
y(x)n(x)dx (x一元)2(x-x:)4dx>0, 与假设矛盾,因而必有y(x)≡0。 推论1上述基本引理中的(x)可进一步限制为K阶连 续可微的任意函数。 推论2上述基本引理可推广到多元函数的情况。此时积分 区间应变更为积分区域D,同时应要求函数n在区蛾D的边界 aD上取零值。 定理1.1如果泛函U〔y(x)在y°(x)上达到极值,且它 的变分8存在,则在y“(x)上必有 证明由泛函极值的定义,若Uy在y上达到极值,则存 在y的一个邻城,对于该邻域内的任一赛许函数y,泛函增量 △U=[y]一U〔y不变号。再由泛函变分的定义,当变分 存在时,泛函的变分87与函数的变分8y=y一y°之间具有线性关 系。显然,这种情况下若要求对任意的足够小的By,相应的 泛函增量(即泛函的变分)均不变号,则必须有8=0。 §1.2欧拉方程 现在考虑这样的问题,即寻找函数y°(x)使泛函 Ufy〕=K[x0,y(x)yx1,y(x1)〕 L(x, y, y')dx (110) 在其上取极小。这里初始值x8,y(x)以及终端值x,y(x1)可 以是给定的,也可以是自由的 假定已经得到了y(x),现在来推导它应该满足哪些条件。 考虑一个单参数的函数族y(x,e),且令y(x,0)=y”(x 忠义(弱变分与强变分)对于给定的小量,西数类
6 y(x,E)}中满足条件 y(x,2)-y·(x)≤ (1.11) 以及 e)-y"(x)≤8 的函数y(x,)与y“(x)构成的变分称为弱变分。如果放 弃条件(1.12),即满足条件式(1.11)而不要求满足条件式 (1.12)的那些函数y(x,g)与y"(x)构成的变分称为强 变分 另外,y(x)间断的地方称为y(x)的角点。如果y·(x) 具有角点,或者允许y(x,e)上具有角点,在组成变分8y时 均将产生强交分。 本节只讨论弱变分的情况,在§1.4中再讨论强变分的 情况 将函数y(x,E)作为的函数在e=0附近展开成泰勒 ( Taylor)级数: )=y“(x) y 记q(x)= y e 。只考虑到e的一阶项时有 y(x,e)=y“(x)+en(x)。 可见,这时函数y(x)的变分是e(x)=y(x,E)-y"(x), 记为ay(x),这里x参数。 现在来求由式(1.10)给出的泛函v「y〕的变分。当L是y 及y的可微函数时,用类似于微分运算的变分运算法则可以 得到 0=dK+(dx)x+「xfL J /8v+/aL (1.13 由于δy=,而By′=y(x,2)-y(x)=,因而 y (6y) x
这样,由分部积分规则可得 ∫n2(2)y4-(数) xi d/ aL dx d 将上式代入式(1.13)得到 8v=dK+ Ldx_/aL oy'/oy s d/ aL dx (ay y 图1.1中画出了函数y(x)在终端处的变分与微分之间的 关系。可以出,如果终端x是自由的,那末考虑到-阶小量 时有 ay .dxt de=y()dx+dy(xi). oe (1.15) -d 图1.1终端处函数y(x)的变分与微分的关系 类似地,若初始端x是自出的,就有 dy(xo=y'(p)dx,+8y(x) (1.16) 将式(1.15)以及(1.16)代入式(1.14),有
du=dK+Lay y')+.d x1(d/ aL aL xui dxav y Syax, 对于极值解y°(x)而言,变分对所有的变分by说来均 必等于零。当然,对于具有固定端点的那一类变分它也必须等 丶于零。这时,由于dx,∝x,dy(x),dy(x1)均为零,因爾有 -「2a()-8y dx(ay Syd= 0 由变分法的基本引理可得使泛函〔y取极值的必要条件为 d/ L al d y 这就是欧拉方。 欧拉方程(1.18)是泛函(1.10)在L对y及y可微,且 只考虑固定端点的弱变分时取极值的必要条件。显然,如果泛函 形式不同,上述推导过程必须重新进行,一般说来,将得到不同 形式的欧拉方。另外,欧拉方程是在只考虑弱变分的情况下, 即假定容许函数不存在角点的情况下导出的。媽果允许取强变分 即允许存在角点,则在角点处,欧拉方程不是必要的。最后,欧 拉方程只是泛画取极值的必要条件,它不是充分的。类似于函数 极值理论中的驻点,有时也称满足欧拉方程的函数为驻值函数 驻值函数不一定是极值函数,但極值函数一定是驻值函数,因而 驻值函数是极值凶数的候选函数。 在推导上述欧拉方程时,假定了端点是定的。对于端点可 变的情况,为使由式(1.17)给出的变分等于零,在满足欧 拉方程后,还必须有 dk+[(z-ayy )dx+ 8y dy 由于