2.3控制系统的复域数学模型 2.31传递函数 Ⅺ无法显示该图片 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念 微分方程是在时城中描述系统动态性能的数学模型,在给 定外 微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦 用拉氏变化法求解微分方程时,可以得到控制系统在复数 域的数学模型-传递函数。 定义:线性定常系统的传递函数,定义 初使条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 传递函数。输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换 初始条件() 6
6 2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 ( ) ( ) R s C s = = 输入信号的拉氏变换 零初始条件 输出信号的拉氏变换 传递函数
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: c(t)+a11nc(t)+…+an1C()+an2() dt =bo,()+、m1 r(t)+.+bm-r(t)+br(t) dt ■式中c()是系统输出量,r(t)是系统输入量,和是 与系统结构和参数有关的常系数。 ■设r(t)和c()及其各阶系数在t=0是的值均为零,即 零初始条件,则对上式中各项分别求拉氏变换, 并令R(S)=L[c(t],R(S)=L[rt,可得的代数方 程为 aos"+a1s"+…+an③S+anJC(③s)=[bs"+bs"+…+bm-S+amn]R(s) ■于是,由定义得系统传递函数为:
7 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是 与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即 零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方 程为： 于是，由定义得系统传递函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 r t b r t dt d r t b dt d r t b dt d b c t a c t dt d c t a dt d c t a dt d a m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − [ ] ( ) [ ] ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 a s a s a s a C s b s b s b s a R s m m m m n n n n + + + + = + + + − + − − − 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
C(s)b。s"+b3s″+…+bnS+bnM(Ss) R(s) aoS"+a,s"++an-5+an N(S) M(S)=b05+b, s+.+bm-S+6m N(s)=aos"+a,s-+ .+as+a 例2-5 求例2机械系统与电路系统的传递函数料乙 解 (B+B2)X+(Ki+K2)X=B,x+KX (B1+B2)SX(s)+(K1+k2)X(S)=B1SX(3)+K1X(s) x(5=(B+B)5+k,+机械系统传递函数 (R+ r2)Uc(+U=r,Ur+U
8 求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 和 解： --》机械系统传递函数 m m m m M s = b s + b s + + b − s + b − 1 1 0 1 ( ) n n n n N s = a s + a s + + a − s + a − 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) X s X s r c ( ) ( ) U s U s r c B1 B2 Xc K1 K2 Xc B1 Xc K1 Xr ( + ) + ( + ) = + • • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 B B SX s K K X s B SX s K X s + c + + c = r + r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) B B s K K B s K X s X s r c + + + + = r r c c U C U R U C C R R U 1 1 1 2 1 2 1 ) 1 1 ( + ) + ( + = + • • 例2-5