第五章机械振动 5-1解:取固定坐标xOy,坐标原点O在水面上(图题所示) 设货轮静止不动时,货轮上的A点恰在水面上,则浮力为Spga这时 Ag= sogo 往下沉一点时 心1平 合力F=Mg-sng(a+y) spy 习题5-1图 又F=M 故M,+Sp8y=0 spg 0 故作简谐振动 T===2丌 23=2x、2×104×103 2×103×103×9 =635(s) 5-2解:取物体A为研究对象,建立坐标Ox轴沿斜面向下,原点取在平衡位置处,即在 初始位置斜下方距离l处,此时 mosin 6 0.1(m) (1) k (1)A物体共受三力;重mg,支持力N,张力T不计滑轮质量时,有 列出A在任一位置x处的牛顿方程式 gsin 0-T=mgsin 8-k(o +x)=m 将(1)式代入上式,整理后得 d x k 故物体A的运动是简请振动,且O=k=7(mds)
38 第五章 机械振动 5-1 解：取固定坐标 xOy，坐标原点 O 在水面上（图题所示） 设货轮静止不动时，货轮上的 A 点恰在水面上，则浮力为 Sρga.这时 Mg = sga 往下沉一点时， 合力 F = Mg − sg(a + y) = −sgy . 又 2 2 d d t y F = Ma = M 故 0 d d 2 2 + s gy = t y M 0 2 2 + y = M s g dt dy 故作简谐振动 M sg = 2 6.35( ) 2 10 10 9.8 2 10 10 2 2 2 3 3 4 3 s s g M T = = = = 5-2 解：取物体 A 为研究对象，建立坐标 Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在 初始位置斜下方距离 l0 处，此时： 0.1( ) sin 0 m k mg l = = (1) (1) A 物体共受三力；重 mg, 支持力 N, 张力 T.不计滑轮质量时，有 T=kx 列出 A 在任一位置 x 处的牛顿方程式 2 2 0 d d sin sin ( ) t x mg −T = mg − k l + x = m 将（1）式代入上式，整理后得 0 d d 2 2 + x = m k t x 故物体 A 的运动是简谐振动，且 = = 7(rad/s) m k 习题 5-1 图
由初始条件 求得 A=l0=0.1m ,故物体A的运动方程为 q x=0. Icos(7t+ I )m (2)当考虑滑轮质量时,两段绳子中张力数值不等,如图所 示,分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式 gsin 8-T 对滑轮列出转动方程为 习题5-2图 Tr-tr=JB 242/a d-x 式中,T2=k(0+x) (4 由式(3)、(4)知T=k(a+x)+M2代入(2)式知 ngsin8-(o+x)=5M+m 又由(1)式知 mg sin B=kl d2x 故(M+m)2+kx=0 k 0 (+m k k 可见,物体A仍作简谐振动,此时圆频率为:O= 5.7(rad/s) 2 由于初始条件:x0=-10,vo=0 可知,A、q不变,故物体A的运动方程为 x=0.cos(5.7t+T)m 由以上可知:弹簧在斜面上的运动,仍为简谐振动,但平衡位置发生了变化,滑轮的质量改 变了系统的振动频率
39 由初始条件 , 0 0 0 = = − v x l 求得 , 0 0.1 = = = A l m 故物体 A 的运动方程为 x=0.1cos(7t+π)m (2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所 示，分别为 T1、T2,则对 A 列出任一位置 x 处的牛顿方程式 为: 2 2 1 d d sin t x mg −T = m (2) 对 滑 轮 列 出 转 动 方 程 为 ： 2 2 2 1 2 d d 2 1 2 1 t x Mr r a T r T r J Mr = − = = (3) 式中,T2=k(l0+x) （4） 由式（3）、(4)知 2 2 1 0 d d 2 1 ( ) t x T = k l + x + M 代入(2)式知 2 2 0 2 1 sin ( ) dt d x mg k l x M m − + = + 又由（1）式知 0 mgsin = kl 故 0 d d ) 2 1 ( 2 2 + + kx = t x M m 即 0 ) 2 ( d d 2 2 = + + x m M k t x m M k + = 2 2 可见，物体 A 仍作简谐振动，此时圆频率为： 5.7(rad/s) 2 = + = m M k 由于初始条件： x0 = −l 0 ,v0 = 0 可知，A、 不变，故物体 A 的运动方程为: x = 0.1cos(5.7t + )m 由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改 变了系统的振动频率. 习题 5-2 图