D01:10.13374/i.issn1001t63x.2010.03.018 第32卷第3期 北京科技大学学报 Vol 32 No 3 2010年3月 Journal of Un iversity of Science and Technology Beijing Mar.2010 升降法试验CRS曲线及疲劳极限研究 边新孝李威邱丽芳谈嘉祯 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要为获得安全可靠的疲劳极限，提出了处理升降法试验数据置信限可靠度应力(CR~S)曲线方法·把升降法的应 力水平和可靠度作为随机变量，进行了最优分布检验和参数估计，确定置信限，按三参数We如分布、采用最小二乘法拟合 C-R-S曲线，获得具有一定置信限和可靠度的疲劳极限.通过38sMMo调质齿轮弯曲疲劳强度升降法试验，获得置信限为 95%、可靠度为99%的弯曲疲劳极限应力为283.76MPa位于GB3480极限应力框图内，表明该方法是可行的. 关键词齿轮；疲劳极限；升降法；可靠度：置信限 分类号TB114 Study on C RS curves of up and -down test and fatigue lim it stress BIAN Xin xiao LIWei QIU Li-fang TAN Jia-heng School ofMechanical Engineering University of Science and Technology Beijing 100083 China ABSTRACT A technique for dealing w ith confidence li itreliability"stress (CRS)curves of up-and-down test was presented to ob- tain a more accurate endurance li it Firstly a distrbution hypothesis was tested and its parmeters were estmated w ith regand to the random variables of stress level and reliability Accomding to 3parmeter W eibull distribution CRS curves were fitted by the least square method Lastly the endurance li it was obtained conceming reliability The endurance lm it with a confidence li it of 95% and a reliability of 99 was deduced as 283.76MPa frm up and-down test of gear tooth bending tests on the quenched and tempered alloy steel 38SMnMo This result falling into the square chart of Chinese standan GB3480 can verify the technique presented KEY WORDS geag endumnce limn it up-down method reliability confidence lin it 材料或零件的疲劳极限是机械设计所必需的基 闭合”，闭合条件实际上是假设终止试验后续点与 础数据，一般由升降法试验获得，是一个概率统计 起始试验点具有重复性，在随机取样的条件下，闭合 值，升降试验方法及数据处理一直受到国内外的关 条件也不容易满足， 注，如文献[1一4等，大子样升降法较精确，已写入 本文提出的方法不必假设疲劳极限按正态分 一些国家和国际标准化组织的试验标准]，大子 布，试验中所有数据都是有效数据，也不必满足闭合 样试验成本高，Dixon和Mood提出了小子样升降 条件，而是把升降的应力水平和可靠度作为随机变 法，简称DM法，广泛用于材料疲劳极限的测定，没 量，采用最优分布，确定置信限，拟合CRS疲劳曲 有考虑置信限和可靠度·后来发展成多种方法，如 线，获得具有一定置信限和可靠度的疲劳极限， Zhang和Kecec iogh法[、局部Basquin关系法和 目前我国应用较普遍的常规升降法).它们在应用 1置信限的确定 条件和对疲劳极限分布的假设各有不同，如DM法 设样本容量为n有个试件失效，第个次序 和常规升降法都假设疲劳极限为正态分布·常规升 观察值为y低于此观察值的母体失效概率为P,即 降法还要求有效数据必须配成对子，并且升降图要 P,=F(x)由于s为随机变量，P,也为随机变量. 收稿日期：2009-07-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。50375018) 作者简介：边新孝(l965)男，副教授，博士，Email biar@me ustb edu cn
第 32卷 第 3期 2010年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．3 Ｍａｒ．2010 升降法试验 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线及疲劳极限研究 边新孝 李 威 邱丽芳 谈嘉祯 北京科技大学机械工程学院北京 100083 摘 要 为获得安全可靠的疲劳极限提出了处理升降法试验数据置信限--可靠度--应力 （Ｃ--Ｒ--Ｓ）曲线方法．把升降法的应 力水平和可靠度作为随机变量进行了最优分布检验和参数估计确定置信限按三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布、采用最小二乘法拟合 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线获得具有一定置信限和可靠度的疲劳极限．通过 38ＳｉＭｎＭｏ调质齿轮弯曲疲劳强度升降法试验获得置信限为 95％、可靠度为 99％的弯曲疲劳极限应力为 283∙76ＭＰａ位于 ＧＢ3480极限应力框图内表明该方法是可行的． 关键词 齿轮；疲劳极限；升降法；可靠度；置信限 分类号 ＴＢ114 ＳｔｕｄｙｏｎＣ-Ｒ-Ｓｃｕｒｖｅｓｏｆｕｐ-ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔａｎｄｆａｔｉｇｕｅｌｉｍｉｔｓｔｒｅｓｓ ＢＩＡＮＸｉｎ-ｘｉａｏＬＩＷｅｉＱＩＵＬｉ-ｆａｎｇＴＡＮＪｉａ-ｚｈｅｎｇ ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ａｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｄｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｉｍｉｔ-ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ-ｓｔｒｅｓｓ（Ｃ-Ｒ-Ｓ） ｃｕｒｖｅｓｏｆｕｐ-ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｏｂ- ｔａｉｎａｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｅｎｄｕｒａｎｃｅｌｉｍｉｔ．Ｆｉｒｓｔｌｙａｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｗａｓｔｅｓｔｅｄａｎｄｉｔｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗｅｒｅｅｓｔｉｍａｔｅｄｗｉｔｈｒｅｇａｒｄｔｏｔｈｅ ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓｏｆｓｔｒｅｓｓｌｅｖｅｌａｎｄｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏ3-ｐａｒａｍｅｔｅｒＷｅｉｂｕｌｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＣ-Ｒ-Ｓｃｕｒｖｅｓｗｅｒｅｆｉｔｔｅｄｂｙｔｈｅｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ．Ｌａｓｔｌｙｔｈｅｅｎｄｕｒａｎｃｅｌｉｍｉｔｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｅｅｎｄｕｒａｎｃｅｌｉｍｉｔｗｉｔｈａｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｉｍｉｔｏｆ95％ ａｎｄａｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆ99％ ｗａｓｄｅｄｕｃｅｄａｓ283∙76ＭＰａｆｒｏｍｕｐ-ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔｏｆｇｅａｒｔｏｏｔｈｂｅｎｄｉｎｇｔｅｓｔｓｏｎｔｈｅｑｕｅｎｃｈｅｄａｎｄｔｅｍｐｅｒｅｄ ａｌｌｏｙｓｔｅｅｌ38ＳｉＭｎＭｏ．ＴｈｉｓｒｅｓｕｌｔｆａｌｌｉｎｇｉｎｔｏｔｈｅｓｑｕａｒｅｃｈａｒｔｏｆＣｈｉｎｅｓｅｓｔａｎｄａｒｄＧＢ3480ｃａｎｖｅｒｉｆｙｔｈｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｇｅａｒ；ｅｎｄｕｒａｎｃｅｌｉｍｉｔ；ｕｐ-ｄｏｗｎｍｅｔｈｏｄ；ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ；ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｉｍｉｔ 收稿日期：2009--07--10 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （Ｎｏ．50375018） 作者简介：边新孝 （1965— ）男副教授博士Ｅ-ｍａｉｌ：ｂｉａｎ＠ｍｅ．ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ 材料或零件的疲劳极限是机械设计所必需的基 础数据一般由升降法试验获得是一个概率统计 值．升降试验方法及数据处理一直受到国内外的关 注如文献 ［1--4］等．大子样升降法较精确已写入 一些国家和国际标准化组织的试验标准 ［5--6］．大子 样试验成本高Ｄｉｘｏｎ和 Ｍｏｏｄ ［7］提出了小子样升降 法简称 Ｄ--Ｍ法广泛用于材料疲劳极限的测定没 有考虑置信限和可靠度．后来发展成多种方法如 Ｚｈａｎｇ和 Ｋｅｃｅｃｉｏｇｌｕ法 ［8］、局部 Ｂａｓｑｕｉｎ关系法 ［1］和 目前我国应用较普遍的常规升降法 ［2］．它们在应用 条件和对疲劳极限分布的假设各有不同如 Ｄ--Ｍ法 和常规升降法都假设疲劳极限为正态分布．常规升 降法还要求有效数据必须配成对子并且升降图要 “闭合 ”．闭合条件实际上是假设终止试验后续点与 起始试验点具有重复性在随机取样的条件下闭合 条件也不容易满足． 本文提出的方法不必假设疲劳极限按正态分 布试验中所有数据都是有效数据也不必满足闭合 条件而是把升降的应力水平和可靠度作为随机变 量采用最优分布确定置信限拟合 Ｃ--Ｒ--Ｓ疲劳曲 线获得具有一定置信限和可靠度的疲劳极限． 1 置信限的确定 设样本容量为 ｎ有 ｊ个试件失效第 ｊ个次序 观察值为 ｘｊ低于此观察值的母体失效概率为 Ｐｊ即 Ｐｊ＝Ｆ（ｘｊ）．由于 ｘｊ为随机变量Ｐｊ也为随机变量． DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2010．03．018
第3期 边新孝等：升降法试验CR~S曲线及疲劳极限研究 ,381. 设母体具有累积分布函数F(x),x为连续变 现规定w.2和wm-2如下： 量，则第次序观察值x的失效概率P,也为连续变 量，且P,=F(x)将母体划分为如表1所示的三个 g(P,)D,受 区域 1se)e号 表1母体划分区域 Tabl1 Partitioning of population 因此 区域 区域界限 在区域中得到一个结果的概率 (3) 0x 式中，a为显著度，wa2和w1-。称为100(1一a)% 的非参置信限， F(x)dx 随机变量P:的概率密度函数是B分布，可变换 得到F分布的随机变量，由式(2)代入式(3)，确定 wa和m-ab置信限[： n-t1) 因为第个结果发生在区域2所以j一1个结 Wa F-a2-*十j(n-jtI)' c≥0.50(4) 果必然发生在区域1，n一j个结果发生在区域3假 或 设三个区域为互斥的，且每个观察值落在一个特定 i/n一t1)F。22=t) 区域的概率为常数，显然，这种情况可以采用多项 w.1+F.a*j认n-十 ,&<0.50(5) 式分布，略去(12)dx量级的项，并对照多项式分布 的标准形式，便可得到厂1个结果落在区域1,1个 式中，F。心为分子自由度为m、分母自由度为e 的F分布， 结果落在区域2n一j个结果落在区域3的概率 为 2统计分布检验和参数估计 y（a-(]P. 由式(4)、式(5)得到的w.就是样本容量为n F(x)dx[1-F(x)]"j (1) 有个样本失效、置信限为1一α的失效概率F(S), 由P,=F(x),微分得dP,=F(x)dx代入式(1)，得 以w。和升降法试验的应力水平S为随机变量，进行 到发生个样本失效的概率元 统计分布检验，齿轮试验较常用分布有三参数 W eibull吩布、两参数W eibu吩布、正态分布和对数 g(P,)a,y（n.1-P,)'a, 正态分布，其累积频率函数都可写为 (2) Y-BX+A (6) 式中，0P1 直线方程的形式，式中，AB、X和Y的含义见表2 表2概率分布的线性回归函数 Table 2 Linear rgression finctions of pmbabilistic distribution 分布 X B 三参数W eibull h(s-) h(h(11-F(s)) -bh(S,-So) 6 二参数W eibull hS n(h(1(1-F(s)) -bhS 6 正态 Φ-1(1-F(s) 对数正态 hs φ-(1-F(s) 表2中，S,为W eibull分布的最小应力，S为特 定义，求出各分布参数的估计值， 征参数，b为形状参数，④1(1一F(S)为可靠度为 最小二乘法回归只能估计两个参数，而三参数 1一F(S)的标准正态偏量，“和。分别为母体平均 W eibull吩布有三个待估参数，估计困难.三参数 值和标准差. W eibull分布具有非零参数S,更适合于机械零件的 在第个应力水平，获得(X,Y)数据后，利用 强度问题.很多文献如文献[10-12]关注了三参数 最小二乘法回归形如式(6)的直线方程，得到AB Webu吩布参数估计.本文采用相关系数优化法， 的点估计值和相关系数[).再根据表2中对AB的 即在0到最小试验应力内全局搜索S,使相关系数
第 3期 边新孝等： 升降法试验 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线及疲劳极限研究 设母体具有累积分布函数 Ｆ（ｘ）ｘ为连续变 量则第 ｊ次序观察值 ｘｊ的失效概率 Ｐｊ也为连续变 量且 Ｐｊ＝Ｆ（ｘ）．将母体划分为如表 1所示的三个 区域． 表 1 母体划分区域 Ｔａｂｌｅ1 Ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ 区域 区域界限 在区域中得到一个结果的概率 1 0ｘ— 1 2 ｄｘ Ｆ ｘ— 1 2 ｄｘ 2 ｘ— 1 2 ｄｘｘ＋ 1 2 ｄｘ Ｆ（ｘ）ｄｘ 3 ｘ＋ 1 2 ｄｘ∞ 1—Ｆ ｘ＋ 1 2 ｄｘ 因为第 ｊ个结果发生在区域 2所以 ｊ—1个结 果必然发生在区域 1ｎ—ｊ个结果发生在区域 3假 设三个区域为互斥的且每个观察值落在一个特定 区域的概率为常数．显然这种情况可以采用多项 式分布略去 （1／2）ｄｘ量级的项并对照多项式分布 的标准形式便可得到 ｊ—1个结果落在区域 11个 结果落在区域 2ｎ—ｊ个结果落在区域 3的概率 为 ［9］ ｎ！ （ｊ—1）！ （ｎ—ｊ）！ ［Ｆ（ｘ） ］ ｊ—1· Ｆ（ｘ）ｄｘ·［1—Ｆ（ｘ） ］ ｎ—ｊ （1） 由 Ｐｊ＝Ｆ（ｘ）微分得 ｄＰｊ＝Ｆ（ｘ）ｄｘ代入式 （1）得 到发生 ｊ个样本失效的概率元 ｇ（Ｐｊ）ｄＰｊ＝ ｎ！ （ｊ—1）！ （ｎ—ｊ）！ Ｐ ｊ—1 ｊ ·Ｐｊ·（1—Ｐｊ） ｎ—ｊｄＰｊ （2） 式中0≤Ｐｊ≤1． 现规定 ｗα／2和 ｗ1—α／2如下： ∫ ｗ1－α／2 0 ｇ（Ｐｊ）ｄＰｊ＝ α 2 ∫ 1 ｗα／2 ｇ（Ｐｊ）ｄＰｊ＝ α 2 ． 因此 ∫ ｗα／2 ｗ1－α／2 ｇ（Ｐｊ）ｄＰｊ＝1—α （3） 式中α为显著度ｗα／2和 ｗ1—α／2称为 100（1—α）％ 的非参置信限． 随机变量 Ｐｊ的概率密度函数是 β分布可变换 得到 Ｆ分布的随机变量由式 （2）代入式 （3）确定 ｗα／2和 ｗ1—α／2置信限 ［9］： ｗα＝ ｊ／（ｎ—ｊ＋1） Ｆ1—α2（ｎ—ｊ＋1）2ｊ＋ｊ／（ｎ—ｊ＋1） α≥0∙50（4） 或 ｗα＝ ｊ／（ｎ—ｊ＋1）Ｆα2ｊ2（ｎ—ｊ＋1） 1＋Ｆα2ｊ2（ｎ—ｊ＋1）·ｊ／（ｎ—ｊ＋1） α＜0∙50（5） 式中Ｆαｎ1ｎ2为分子自由度为 ｎ1、分母自由度为 ｎ2 的 Ｆ分布． 2 统计分布检验和参数估计 由式 （4）、式 （5）得到的 ｗα 就是样本容量为 ｎ、 有 ｊ个样本失效、置信限为 1—α的失效概率 Ｆ（Ｓ） 以 ｗα和升降法试验的应力水平 Ｓ为随机变量进行 统计分布检验．齿轮试验较常用分布有三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布、两参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布、正态分布和对数 正态分布其累积频率函数都可写为 Ｙ＝ＢＸ＋Ａ （6） 直线方程的形式．式中Ａ、Ｂ、Ｘ和 Ｙ的含义见表 2． 表 2 概率分布的线性回归函数 Ｔａｂｌｅ2 Ｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 分布 Ｘ Ｙ Ａ Ｂ 三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ ｌｎ（Ｓ—Ｓ0） ｌｎ（ｌｎ（1／（1—Ｆ（Ｓ）））） —ｂｌｎ（Ｓａ—Ｓ0） ｂ 二参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ ｌｎＳ ｌｎ（ｌｎ（1／（1—Ｆ（Ｓ）））） —ｂｌｎＳａ ｂ 正态 Ｓ Φ—1（1—Ｆ（Ｓ）） μ σ 对数正态 ｌｎＳ Φ—1（1—Ｆ（Ｓ）） μ σ 表 2中Ｓ0为 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布的最小应力Ｓａ为特 征参数ｂ为形状参数Φ —1 （1—Ｆ（Ｓ））为可靠度为 1—Ｆ（Ｓ）的标准正态偏量μ和 σ分别为母体平均 值和标准差． 在第 ｉ个应力水平获得 （ＸｉＹｉ）数据后利用 最小二乘法回归形如式 （6）的直线方程得到 Ａ、Ｂ 的点估计值和相关系数 ［2］．再根据表 2中对 Ａ、Ｂ的 定义求出各分布参数的估计值． 最小二乘法回归只能估计两个参数而三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布有三个待估参数估计困难．三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布具有非零参数 Ｓ0更适合于机械零件的 强度问题．很多文献如文献 ［10--12］关注了三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布参数估计．本文采用相关系数优化法 即在 0到最小试验应力内全局搜索 Ｓ0使相关系数 ·381·
,382 北京科技大学学报 第32卷 的绝对值最接近于1 表3各应力水平的失效概率（置信限为95%） Table 3 Danage pmobability of each stress level confidence lim it 3 齿轮弯曲疲劳强度试验和CR-S曲线 95) 试验齿轮材料为38sMMo化学成分和力学性 应力水平MPa样本数，n失效子样数，j失效概率，F(S)% 303.37 1 1 95.000 能均符合GB3077-1988规定，按文献[13-14]中 298.71 3 90.239 有关规定进行设计制造，为标准直齿圆柱齿轮.齿 294.06 77.468 轮参数为：模数m=4.5mm,齿数z=38齿宽b= 289.40 5 2 65.741 14mm齿轮制造工艺为：毛坯锻造一正火处理一粗 284.75 0 2.532 车毛坯一调质处理一滚齿，其中正火工艺为：加热 870℃保温1h空冷.调质工艺为：加热850℃保温 表4分布检验、，参数估计和疲芳极限 Tabl 4 Distrbution hypothesis tests parmeters estimnation and fatigue 40min油淬，500~520℃回火.齿根处平均硬度 linits 282HBS(所测部位为轮齿端面齿根处)，齿根表面 相关 ‘m/ 粗糙度R,=30m材料的强度极限ob=795MPa 分布 参数估计值 系数MPa 屈服极限o,=510MPa全部试验齿轮均经超声波 三参数Webull S=292.58s=282.75b=2.0280.9621283.76 探伤，无缺陷 二参数Webull 5。=295.11=0b=65.49 0.8406275.09 试验机采用英国产STRON1603型电磁谐振疲 正态 平均值1=295.19，方差σ=4.5240.8354284.82 劳试验机.该试验机加载精度<士2%，试验数据能 对数正态平均值=5.6873方差o=0.01520.8406284.68 自动显示与记录，加载频率140~150H:试件夹具 如文献[13]中C2图所示，具有自动均载功能，使载 可以看出，三参数Webu分布的相关系数最接近 荷均布在被试验的两齿及齿宽方向， 于1，表明极限应力最符合三参数Webu分布，把 采用双齿脉动加载法，被试轮齿在所有试验齿 表4中三参数W eibull分布的参数估计值代入方程 轮中随机抽取，失效判据为：轮齿折断或轮齿裂纹 (6),并按表2的变量说明，得到C-R-S疲劳曲线 扩展致使试验机声音突变时为失效，此时的应力循 方程： 环次数为该轮齿的失效寿命，轮齿疲劳寿命小于循 n(h(1/1-F(S)))= 环基数N,记为“失效”：大于No仍未失效，终止试 2.028n(S-282.75)-4.635 (7) 验，记为“超越”，取齿轮弯曲疲劳循环基数N,= 如图2所示，在W ebull分布概率纸上为直线，取失 3×10次 效概率F(S)=1%,即可靠度R=1一F(S)=99%, 根据文献[13]估计齿轮疲劳极限，确定升降法 代入方程(7)，得到S=283.76MPa即弯曲疲劳极 的几个应力水平，如图1所示.从294.06MPa应力 限应力 水平开始试验，“X表示失效“0表示越出”， In((S-S VMPal 升降图谱参见图1根据图1列出各应力水平下的 0.20.61.01.418222.63.0 样本数n失效子样数渗见表3 10.15 303.37 号 0.05 298.71 7 294.060 50 -0.05 289.40 .30 -0.15 284.75 10 280.15 -0.25 95%C 图1升降图谱 Fig I Chart of up and-down test -0.45 2.5 5 10152025 由样本数n失效子样数查文献[9]附录Ⅷ， (S-S.yMPa 置信限为9%（即α=5%）的失效概率F(S)见 图2Webu吩布概率纸上的C-R-s曲线 Fig 2 CR$cunve in a W ebull paper 表3284.75MPa应力水平的失效子样数为0，即存 活数为2，查附录Ⅷ的存活率为97.468%，所以失效 同理，把二参数Weul正态和对数正态代入 概率F(S)=1-97.468%=2.532%. 方程(6)，得到形如式(7)的C-R-S疲劳曲线方程， 以应力水平和失效概率（或可靠度）为随机变 取失效概率F(S)=1%,即可靠度R=99%,分别求 量，进行分布检验和参数估计，结果见表4.从表4 出疲劳极限，见表4
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 的绝对值最接近于 1． 3 齿轮弯曲疲劳强度试验和 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线 试验齿轮材料为 38ＳｉＭｎＭｏ化学成分和力学性 能均符合 ＧＢ3077—1988规定．按文献 ［13--14］中 有关规定进行设计制造为标准直齿圆柱齿轮．齿 轮参数为：模数 ｍ＝4∙5ｍｍ齿数 ｚ＝38齿宽ｂ＝ 14ｍｍ．齿轮制造工艺为：毛坯锻造—正火处理—粗 车毛坯—调质处理—滚齿．其中正火工艺为：加热 870℃保温 1ｈ空冷．调质工艺为：加热 850℃保温 40ｍｉｎ油淬500～520℃回火．齿根处平均硬度 282ＨＢＳ（所测部位为轮齿端面齿根处 ）齿根表面 粗糙度 Ｒｚ＝30μｍ．材料的强度极限 σｂ＝795ＭＰａ 屈服极限 σｓ＝510ＭＰａ．全部试验齿轮均经超声波 探伤无缺陷． 试验机采用英国产 ＳＴＲＯＮ1603型电磁谐振疲 劳试验机．该试验机加载精度 ＜±2％试验数据能 自动显示与记录加载频率 140～150Ｈｚ．试件夹具 如文献 ［13］中 Ｃ2图所示具有自动均载功能使载 荷均布在被试验的两齿及齿宽方向． 采用双齿脉动加载法．被试轮齿在所有试验齿 轮中随机抽取．失效判据为：轮齿折断或轮齿裂纹 扩展致使试验机声音突变时为失效此时的应力循 环次数为该轮齿的失效寿命．轮齿疲劳寿命小于循 环基数 Ｎ0记为 “失效 ”；大于 Ｎ0 仍未失效终止试 验记为 “超越 ”．取齿轮弯曲疲劳循环基数Ｎ0＝ 3×10 6次． 根据文献 ［13］估计齿轮疲劳极限确定升降法 的几个应力水平如图 1所示．从 294∙06ＭＰａ应力 水平开始试验“ ×”表示 “失效 ”；“Ｏ”表示 “越出 ” 升降图谱参见图 1．根据图 1列出各应力水平下的 样本数 ｎ、失效子样数 ｊ参见表 3． 图 1 升降图谱 Ｆｉｇ．1 Ｃｈａｒｔｏｆｕｐ-ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔ 由样本数 ｎ、失效子样数 ｊ查文献 ［9］附录Ⅷ 置信限为 95％ （即 α＝5％ ）的失效概率 Ｆ（Ｓ）见 表 3．284∙75ＭＰａ应力水平的失效子样数为 0即存 活数为 2查附录Ⅷ的存活率为 97∙468％所以失效 概率 Ｆ（Ｓ）＝1—97∙468％ ＝2∙532％． 以应力水平和失效概率 （或可靠度 ）为随机变 量进行分布检验和参数估计结果见表4．从表4 表 3 各应力水平的失效概率 （置信限为 95％ ） Ｔａｂｌｅ3 Ｄａｍａｇｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆｅａｃｈｓｔｒｅｓｓｌｅｖｅｌ（ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｉｍｉｔ 95％ ） 应力水平／ＭＰａ 样本数ｎ 失效子样数ｊ失效概率Ｆ（Ｓ）／％ 303∙37 1 1 95∙000 298∙71 4 3 90∙239 294∙06 7 4 77∙468 289∙40 5 2 65∙741 284∙75 2 0 2∙532 表 4 分布检验、参数估计和疲劳极限 Ｔａｂｌｅ4 Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｔｅｓｔｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｎｄｆａｔｉｇｕｅ ｌｉｍｉｔｓ 分布 参数估计值 相关 系数 σｌｉｍ／ ＭＰａ 三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ Ｓａ＝292∙58Ｓ0＝282∙75ｂ＝2∙028 0∙9621 283∙76 二参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ Ｓａ＝295∙11Ｓ0＝0ｂ＝65∙49 0∙8406 275∙09 正态 平均值 μ＝295∙19方差 σ＝4∙524 0∙8354 284∙82 对数正态 平均值 μ＝5∙6873方差 σ＝0∙0152 0∙8406 284∙68 可以看出三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布的相关系数最接近 于 1表明极限应力最符合三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布．把 表 4中三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布的参数估计值代入方程 （6）并按表 2的变量说明得到 Ｃ--Ｒ--Ｓ疲劳曲线 方程： ｌｎ（ｌｎ（1／（1—Ｆ（Ｓ））））＝ 2∙028ｌｎ（Ｓ—282∙75）—4∙635 （7） 如图 2所示在 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布概率纸上为直线．取失 效概率 Ｆ（Ｓ）＝1％即可靠度 Ｒ＝1—Ｆ（Ｓ）＝99％ 代入方程 （7）得到 Ｓ＝283∙76ＭＰａ即弯曲疲劳极 限应力． 图 2 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布概率纸上的 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线 Ｆｉｇ．2 Ｃ-Ｒ-ＳｃｕｒｖｅｉｎａＷｅｉｂｕｌｌｐａｐｅｒ 同理把二参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ、正态和对数正态代入 方程 （6）得到形如式 （7）的 Ｃ--Ｒ--Ｓ疲劳曲线方程 取失效概率 Ｆ（Ｓ）＝1％即可靠度 Ｒ＝99％分别求 出疲劳极限见表 4． ·382·
第3期 边新孝等：升降法试验CR-S曲线及疲劳极限研究 ,383. [5]BS3518-1966 Methods of Fatigue testing Part 5 Guile to the 4结论 Applica tion of Sta tistics [6]012107-2003 M eta llic M a teria ls-Fatigue Testing-Sta tisti (1)按本文方法，弯曲疲劳极限应力为 cal P lanning and Ana lysis of Data 283.76MPa处于GB3480中线偏下，与国家标准较 [7]D ixon W J Mood A M.A method for obtaining and analyzing sen- 符合 sitivity data J Am Stat Assoo 1948 43.109 (2)本文提出的处理升降法试验CR~S曲线 [8]Zhang J Kececiogh D B New appmoaches to detem ine the en 方法没有常规方法要求严格，如升降图不需要“封 dumnce strength distribution/Proceedings of the4th SSAT Inter 闭”、应力水平不限定是正态分布以及试件数量不 nationalConfemnce Reliability Qua lity Design Seattle 1998.297 [9]Kapur K C Lanberson L R.Reliability in Engineering Design 多，只需分布检验时相关系数到达最小相关系数即 New York:John W iley and Sons Ine 1977:486 可，说明本文方法适应性广， [10]Xu X L W ang R H.DaiZ H.et al The estination of parme- (3)通过对38 SMnMo调质齿轮升降法试验，获 ters of three parameterW eibull distrbution based on gmouped da- 得置信限为95%、可靠度为999%的弯曲疲劳极限应 a CollMab200824(3):121 (徐晓岭，王蓉华，戴正华，等.分组型数据三参数W ebull吩 力为283.76MPa 布的参数估计.大学数学，200824(3)：121) 参考文献 [11]BartolucciA A.Singh K P.Bartohicci A D.et al Applying medical surv ival data to estmnate the three panmeterW ebull dis- [1]Zhao Y X.Yang B.Pmbabilistic measumments of the fatigue li it tribution by the method of pmbabilityweighted momnents Math data fmm a small sampling up and down est method Int J Fa- Camput Siul 1999 48.385 gue200830.2094 [12 Markovic D.Jukic D.Bensic M.Non linear weigh ted least [2]Gao Z T.Applied Statistics n Fatigue Beijing Defense Industrial squares estmnation of a three panmeter W ebull density with a Pes51986,336 nonparmetric start J Camnput ApplMath 2009 228 304 (高镇同.疲劳应用统计学.北京：国防工业出版社，1986 [13]GB/T14230-1993 Test Method of Gear Tooth Bend Fatigue 336) [3]Bian X X.Wang X Q Tan JZ The detem ination of fatigue Beijing Standand Press of China 1993 stress lmn it estimated by 3parmeter W eibull distrbution n up (GB/T14230-1993齿轮弯曲疲劳强度试验方法，北京：中 and down test Mach Des M anuf 2002(1):4 国标准出版社，1993) (边新孝，王小群，谈嘉祯·用三参数威布尔分布求升降法试 [14]GB3480-1997 Calculation Methods of Load Capacity for Involute 验的数劳极限.机械设计与制造，2002(1)：4) CylindricalGears Beijng Standan Press of China 1997 [4]Chamn is CC Pmobabilistic smulation ofmulti-scale camposite be- (GB3480一1997（渐开线）圆柱直齿和斜齿轮承载能力计算 havior Theor Appl F ractMech 2004.41(13):51 北京：中国标准出版社，1997)
第 3期 边新孝等： 升降法试验 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线及疲劳极限研究 4 结论 （1） 按 本 文 方 法弯 曲 疲 劳 极 限 应 力 为 283∙76ＭＰａ处于 ＧＢ3480中线偏下与国家标准较 符合． （2）本文提出的处理升降法试验 Ｃ--Ｒ--Ｓ曲线 方法没有常规方法要求严格如升降图不需要 “封 闭 ”、应力水平不限定是正态分布以及试件数量不 多只需分布检验时相关系数到达最小相关系数即 可说明本文方法适应性广． （3）通过对 38ＳｉＭｎＭｏ调质齿轮升降法试验获 得置信限为 95％、可靠度为 99％的弯曲疲劳极限应 力为 283∙76ＭＰａ． 参 考 文 献 ［1］ ＺｈａｏＹＸＹａｎｇＢ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅｆａｔｉｇｕｅｌｉｍｉｔ ｄａｔａｆｒｏｍ ａｓｍａｌｌｓａｍｐｌｉｎｇｕｐ-ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔｍｅｔｈｏｄ．ＩｎｔＪＦａ- ｔｉｇｕｅ200830：2094 ［2］ ＧａｏＺＴ．ＡｐｐｌｉｅｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓｉｎＦａｔｉｇｕｅ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｐｒｅｓｓ1986：336 （高镇同．疲劳应用统计学．北京：国防工业出版社1986： 336） ［3］ ＢｉａｎＸＸＷａｎｇＸＱＴａｎＪＺ．Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｏｆｆａｔｉｇｕｅ ｓｔｒｅｓｓｌｉｍｉｔｅｓｔｉｍａｔｅｄｂｙ3-ｐａｒａｍｅｔｅｒＷｅｉｂｕｌｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｉｎｕｐ- ａｎｄ-ｄｏｗｎｔｅｓｔ．ＭａｃｈＤｅｓＭａｎｕｆ2002（1）：4 （边新孝王小群谈嘉祯．用三参数威布尔分布求升降法试 验的疲劳极限．机械设计与制造2002（1）：4） ［4］ ＣｈａｍｉｓＣＣ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉ-ｓｃａｌｅｃｏｍｐｏｓｉｔｅｂｅ- ｈａｖｉｏｒ．ＴｈｅｏｒＡｐｐｌＦｒａｃｔＭｅｃｈ200441（1-3）：51 ［5］ ＢＳ3518—1966ＭｅｔｈｏｄｓｏｆＦａｔｉｇｕｅｔｅｓｔｉｎｇ：Ｐａｒｔ5．Ｇｕｉｄｅｔｏｔｈｅ ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ ［6］ ＩＳＯ12107—2003ＭｅｔａｌｌｉｃＭａｔｅｒｉａｌｓ－ ＦａｔｉｇｕｅＴｅｓｔｉｎｇ－ Ｓｔａｔｉｓｔｉ- ｃａｌＰｌａｎｎｉｎｇａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＤａｔａ ［7］ ＤｉｘｏｎＷ ＪＭｏｏｄＡＭ．Ａｍｅｔｈｏｄｆｏｒｏｂｔａｉｎｉｎｇａｎｄａｎａｌｙｚｉｎｇｓｅｎ- ｓｉｔｉｖｉｔｙｄａｔａ．ＪＡｍＳｔａｔＡｓｓｏｃ194843：109 ［8］ ＺｈａｎｇＪＫｅｃｅｃｉｏｇｌｕＤＢ．Ｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｅｎ- ｄｕｒａｎｃｅｓｔｒｅｎｇｔｈｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ∥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ4ｔｈＩＳＳＡＴＩｎｔｅｒ- ｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＱｕａｌｉｔｙＤｅｓｉｇｎ．Ｓｅａｔｔｌｅ1998：297 ［9］ ＫａｐｕｒＫＣＬａｍｂｅｒｓｏｎＬＲ．ＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＤｅｓｉｇｎ． ＮｅｗＹｏｒｋ：ＪｏｈｎＷｉｌｅｙａｎｄＳｏｎｓＩｎｃ1977：486 ［10］ ＸｕＸＬＷａｎｇＲＨＤａｉＺＨｅｔａｌ．Ｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｐａｒａｍｅ- ｔｅｒｓｏｆｔｈｒｅｅ-ｐａｒａｍｅｔｅｒＷｅｉｂｕｌｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｇｒｏｕｐｅｄｄａ- ｔａ．ＣｏｌｌＭａｔｈ200824（3）：121 （徐晓岭王蓉华戴正华等．分组型数据三参数 Ｗｅｉｂｕｌｌ分 布的参数估计．大学数学200824（3）：121） ［11］ ＢａｒｔｏｌｕｃｃｉＡＡＳｉｎｇｈＫＰＢａｒｔｏｌｕｃｃｉＡＤｅｔａｌ．Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｍｅｄｉｃａｌｓｕｒｖｉｖａｌｄａｔａｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｔｈｒｅｅ-ｐａｒａｍｅｔｅｒＷｅｉｂｕｌｌｄｉｓ- ｔｒｉｂｕｔｉｏｎｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ-ｗｅｉｇｈｔｅｄｍｏｍｅｎｔｓ．Ｍａｔｈ ＣｏｍｐｕｔＳｉｍｕｌ199948：385 ［12］ ＭａｒｋｏｖｉｃＤＪｕｋｉｃＤＢｅｎｓｉｃＭ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｗｅｉｇｈｔｅｄｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆａｔｈｒｅｅ-ｐａｒａｍｅｔｅｒＷｅｉｂｕｌｌｄｅｎｓｉｔｙｗｉｔｈａ ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃｓｔａｒｔ．ＪＣｏｍｐｕｔＡｐｐｌＭａｔｈ2009228：304 ［13］ ＧＢ／Ｔ14230—1993ＴｅｓｔＭｅｔｈｏｄｏｆＧｅａｒＴｏｏｔｈＢｅｎｄＦａｔｉｇｕｅ． Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｔａｎｄａｒｄＰｒｅｓｓｏｆＣｈｉｎａ1993 （ＧＢ／Ｔ14230—1993齿轮弯曲疲劳强度试验方法．北京：中 国标准出版社1993） ［14］ ＧＢ3480—1997ＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓｏｆＬｏａｄＣａｐａｃｉｔｙｆｏｒＩｎｖｏｌｕｔｅ ＣｙｌｉｎｄｒｉｃａｌＧｅａｒｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｔａｎｄａｒｄＰｒｅｓｓｏｆＣｈｉｎａ1997 （ＧＢ3480—1997（渐开线 ）圆柱直齿和斜齿轮承载能力计算． 北京：中国标准出版社1997） ·383·