再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3的区域,在这种区域上,平行于y轴的直线与D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域 D,与D,(D的边界为曲线ABMA,D,的边界为曲线ANBA)。因此可以 应用 Green公式得到 a0 aP Pdx +ody dxd D, Ox Oy Pdx +ody ag aP OX B D N 图143.3
再证区域 D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将 D分割成两个标准区域 D1与D2（D1的边界为曲线 ABMA，D2的边界为曲线 ANBA）。因此可以 应用 Green 公式得到 ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D1 D1 dxdy yP xQ QdyPdx , ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D2 D2 dxdy yP xQ QdyPdx 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3
注意D1与D2的公共边界AB,其方向相对于∂D而言是从A到B, 相对于ωD2而言是从B到A,两者方向正好相反,所以将上面的两式 相加便得 Pdx+ ody ag aP dxdy ax ay 对于 Green公式一般情形的证明比较复杂,这里从略
注意D1与D2的公共边界 AB ，其方向相对于 D1 ∂ 而言是从 A到B ， 相对于 D2 ∂ 而言是从B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式 相加便得 D Q P Pdx Qdy dxdy x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略
Green公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去 以只有一个洞为例(见图1434),用光滑曲线连结其外边界L上一 点M与内边界I上一点N,将D割为单连通区域。由定理14.3.1得到 图1434 ag aP dxdy Pdx +Od ax ay L MN +∫|Pa+Qy=∫Par+hy 其中L为逆时针方向,1为顺时针方向,这与aD的诱导定向相同
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L 上一 点M 与内边界l上一点N ，将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 , MN NM Q P dxdy Pdx Qdy x y Pdx Qdy Pdx Qdy ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = + ++ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D L l L l D 其中L 为逆时针方向，l为顺时针方向，这与∂D的诱导定向相同。 D l L M N
Gren公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论: 1.记取诱导定向的∂D上的单位切向量为τ,单位外法向量为n (见图1435),那么显然有 cos(n, y)=-cos( t, x), cos(n, x)=sin( t, x) 因此得到 Green公式的另一种常用表示形式 ①+的=的==mx-h [Fcos(n, x)+G cos(n, y)]ds 这个形式便于记忆和推广。 aD D 图143.5
Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的∂D 上的单位切向量为τ ，单位外法向量为n （见图 14.3.5），那么显然有 n y = −cos(),cos( τ x), ， n x),cos( =sin( τ x), 。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ =−= ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ D D D dxdy GdxFdy yG xF τ − τ )],cos(),sin([ dsxGxF ∫ ∂ = D n + n )],cos(),cos([ dsyGxF ， 这个形式便于记忆和推广。 ∂D τ n D 图14.3.5
2. Green公式是 Newton- Leibniz公式的推广。设f(x)在[a,b]上具 有连续导数,取D=[ab×01(见图1436)。在 Green公式中取P=0, Q=f(x),就得到 f'(x)dxdy= f(x)dy 利用化累次积分的方法,等式左边就是4(xk=(x。而等 式右边等于 ∫+++八(对h=+/x)=/(bb+∫1a)h=f(b-a)。 这就得到 Newton- Leibniz公式 f(xdx=f(b)-f(a O 图1436
2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 xf )( 在 ba ],[ 上具 有连续导数，取D = ba × ]1,0[],[ （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取P = 0， = xfQ )( ，就得到 ∫∫∫ ∂ ′ = D D )( )( dyxfdxdyxf 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 ∫∫∫ ′ = ′ ba ba )()( dxxfdxxfdy 10 。而等 式右边等于 )( )()()()()( 0 1 1 0 afbfdyafdybfdyxfdyxf DACDBCAB DABC +++ += = + −= ∫∫∫∫∫∫∫∫ 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ∫ ′ ba )( dxxf = − afbf )()( 。 a b x 1 D y O 图14.3.6