《数学分析》习 题 12. 1 偏导数与全微分

第十二章多元函数的微分学 习题12.1偏导数与全微分 1.求下列函数的偏导数: (1)z=x5-6x4y2+y6 (2)=xl(x2+y2) (3)z=x+x; (4)==sin(xy)+cos (xy) (5)==e(cos y+xsin y) (6)==tan y (8 :=In(x+In y); (10)==arctan xt y (1)=ex+y+32); (12)M=x (13)t= (14) y (15)=∑ax,a为常数;(16)u=∑axy,an=a为常数。 解( 12x4y (2) a: 2x2y 2xIn ax =1+ (4)5=y(cos(ry)-sin(2xy) x(cos(ry)-sin(2xy) (5)-=e(cos y+xsin y+sin y), =e"( xcos)-sny)。 oy (6 ()C==Icos - I+sin Isin 2, G==-xcosI-cos 1-I sin -I-sin2

第十二章 多元函数的微分学 习 题 12. 1 偏导数与全微分 1． 求下列函数的偏导数： （1） z = x 5 − 6x 4 y 2 + y 6 ； （2） z = x 2 ln(x 2 + y 2 )； （3） y x z = xy + ； （4） z = sin(xy) + cos 2 (xy) ； （5） z = ex (cos y + xsin y)； （6） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y)； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ( ) ； （12） 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x ; （13） 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ， 为常数； （16） 为常数。 1 n i i i u a = = ∑ x ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 解 (1) 4 3 2 5x 24x y x z = − ∂ ∂ ， y x y y z 5 4 = 6 −12 ∂ ∂ 。 (2) 2 2 3 2 2 2 2 ln( ) x y x x x y x z + = + + ∂ ∂ ， 2 2 2 2 x y x y y z + = ∂ ∂ 。 (3) y y x z 1 = + ∂ ∂ ， 2 y x x y z = − ∂ ∂ 。 (4) y[ ] cos(xy) sin(2xy) x z = − ∂ ∂ ， x[ ] cos(xy) sin(2xy) y z = − ∂ ∂ 。 (5) e (cos y x sin y sin y) x z x = + + ∂ ∂ ， e (x cos y sin y) y z x = − ∂ ∂ 。 (6) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x y x x z 2 2 sec 2 ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∂ ∂ y x y x y z 2 2 2 2 sec 。 (7) x y y x x y z cos cos 1 = ∂ ∂ x y y x x y sin sin 2 + ， x y y x y x y z cos cos 2 = − ∂ ∂ x y y x x sin sin 1 − 。 1

(1+xy) 02 ax x+Iny ay y(x+In y) (10)注意z= arctan x+ arctan y, az 1 ay 1 (12) au au Inx vInx (13) (2+y2+2) Ixy" ln In x In ay (15) 1.2 (16)2= aij y 分%x1,j=1,2,…n 2.设f(x,y)=x+y-√x2+y2,求/(34)及,(34) 解因为=1--x=,f ,所以 034)=5,1(34=° 3.设:=e2,验证2x2+y=0 证由于9=12,9=-2x,所以

(8) 2 1 (1 ) − = + ∂ ∂ y y xy x z ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + ∂ ∂ xy xy xy xy y z y 1 (1 ) ln(1 ) 。 (9) x x y z ln 1 + = ∂ ∂ ， ( ln ) 1 y y x y z + = ∂ ∂ 。 (10) 注意 z x = + arctan arctan y， 2 1 1 x x z + = ∂ ∂ ， 2 1 1 y y z + = ∂ ∂ 。 (11) (3 ) 2 2 2 x y z x u = + + ∂ ∂ ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ y u 2xy ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ z u 2xz ( ) 2 2 2 x x y z e + + 。 (12) −1 = ∂ ∂ z y x z y x u ， = ∂ ∂ y u z y x z ln x ， = ∂ ∂ z u z y x z y x 2 ln − 。 (13) ( )2 3 2 2 2 x y z x x u + + = − ∂ ∂ ， = ∂ ∂ y u ( )2 3 2 2 2 x y z y + + − ， = ∂ ∂ z u ( )2 3 2 2 2 x y z z + + − 。 (14) −1 = ∂ ∂ z z y y x x u ， = ∂ ∂ y u zy x x z z y ln −1 ， = ∂ ∂ z u y x x y z z y ln ln 。 (15) a i n x u i i = , = 1,2,", ∂ ∂ 。 (16) a y i n x u n j ij j i , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = ， a x j n y u n i ij i j , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = 。 2. 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4)。 解 因为 2 2 2 2 1 , 1 x y x y f f x y x = − = − + + y ，所以 5 2 f x (3,4) = ， 5 1 f y (3,4) = 。 3. 设 2 e y x z = ，验证2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 证 由于 2 2 2 3 1 e , e x x y y z z x y y y ∂ ∂ = = − ∂ ∂ 2x ，所以 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 2

4.曲线2= 在点(2,45)处的切线与x轴的正向所夹的角度是 多少? 解以x为参数,曲线在点(245)处的切向量为女在=0 设它与x轴的正向所夹的角度为,则 cos=(.0. (1,0.0)=, 所以0 5.求下列函数在指定点的全微分: (1)f(x,y)=3x2y-xy2,在点(12) (2)f(x,y)=ln(1+x2+y2),在点(2,4) (3)f(x,y) 在点(0,1)和 解(1)因为d(x,y)=(6x-y2)d+(3x2-2xy)d,所以 df(1,2)=8ax- (2)因为d(x,y) 2 dhy,所以 x2+y2 df(2,4)=-x+,dy 21 (3)因为(x,y2=0x-2mxb,所以 df(0,1) 6.求下列函数的全微分 (2) (3) x+ 1 (4):=x (5) (6)u=ln( 解(1)d + x1 (2)dz=e(1+xy)(dx+ xdy)

4. 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点 处的切线与 轴的正向所夹的角度是 多少？ (2,4,5) x 解 以 x 为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为 2 ( , , ) (1,0,1 x dx dy dz dx dx dx = = )， 设它与 x轴的正向所夹的角度为θ ，则 (1,0,1) 1 cos (1,0,0) 2 2 θ = ⋅ = ， 所以 4 π θ = 。 5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f (x, y) = 3x 2 y − xy 2，在点(1,2)； （2） f (x, y) = ln(1+ x 2 + y 2 )，在点(2,4)； （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 解 (1) 因为df ( , x y) = − (6xy y 2 2 )dx + (3x − 2xy)dy ，所以 df (1,2) = 8dx − dy 。 (2) 因为 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 1 x y df x y dx dy x y x y = + + + + + ，所以 df dx dy 21 8 21 4 (2,4) = + 。 (3) 因为 2 3 cos 2sin ( , ) x x df x y dx dy y y = − ，所以 df (0,1) = dx , df dx dy 8 2 8 2 ,2) 4 ( = − π 。 6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （2） z = xy exy； （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6）u = ln(x 2 + y 2 + z 2 )。 解 (1) dz = y x ln ydx + xy x−1 dy 。 (2) dz = e xy (1+ xy)( ydx + xdy) 。 3

2 (3)d= d x dy (5)du= xax+ ydy+Ed2 6)d=2( xdx+ ydy+zd。 7.求函数z=xe2在点P(10)处的沿从点P(1,0)到点Q(2-1)方向的方 向导数 解由于p=P=2-1)-(.0 PQ|(2.-)-01,0)5(1-1)=(n,),且 =2xe2, 所以 8.设z=x2-x+y2,求它在点(1)处的沿方向v=(cosa,sina)的方向 导数,并指出: (1)沿哪个方向的方向导数最大? (2)沿哪个方向的方向导数最小? (3)沿哪个方向的方向导数为零? 解由于 =coS a+sin a=(2x-y)cos a+(2y-xsin a, 所以 Ovlo )=cosa +sin a =sin(--a)+sin a= 2sin--cos( (1)当a=z时,沿v=(osz,sinz),方向导数最大

(3) dy x y x dx x y y dz 2 2 ( ) 2 ( ) 2 − + − = − 。 (4) dx x y xy dz 2 3 2 2 ( + ) = − dy x y x 2 3 2 2 2 ( + ) + 。 (5) 2 2 2 x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 (6) 2 2 2 2( ) x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 7. 求函数 在点 处的沿从点 到点 方向的方 向导数。 y z x 2 = e P(1,0) P(1,0) Q(2,−1) 解 由于 1 2 (2, 1) (1,0) 1 (1, 1) ( , ) | | | (2, 1) (1,0) | 2 PQ v v PQ − − = = = − = − − JJJG v ，且 2 2 e , 2 e z z y y x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， 所以 1 2 1 2 z z z v v x y ∂ ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ v ∂ 。 8. 设 z = x 2 − xy + y 2，求它在点(1,1)处的沿方向v = (cosα,sinα)的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解 由于 cos sin (2 ) cos (2 )sin z z z x y y x x y α α α ∂ ∂ ∂ = + = − + − ∂ ∂ v ∂ α ， 所以 (1,1) cos sin z α α ∂ = + ∂v sin( ) sin 2sin cos( ) 2 4 4 π π π = −α + α α = − , (1) 当 4 π α = 时，沿 ) 4 ,sin π π 4 v =(cos ，方向导数最大。 4

(2)当a=5时,沿 V=(COS ),方向导数最小 (3)当a=3z,x时,沿y=(0s3z,sm3z)或 V=(COS ),方向 导数为零。 9.如果可微函数∫(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向 导数为2,从点(1,2)到点(.1)方向的方向导数为-2。求 (1)这个函数在点(12)处的梯度 (2)点(12)处的从点(12)到点(46)方向的方向导数。 解"=(2,2)-012)=(.0),=21+2.0=2= 2=(,1)-(12)=(0-1),z_az oy 所以在(1,2)处 (1) grad f(1,2)=(2,2)。 (2)因为(46)-012)=(134),p=-34)2=3.4),所以 +425 10.求下列函数的梯度: z=x+y sin(xy) (3)u=x2+2y2+3x2+3xy+4y+6x-2y-5,在点(1 AF(1)grad:=(2x+y'cos(xy), 2ysin(ry)+xy2 cos(xy)) (2)grad== (3) grad u=(2x+3y+6,4y+3x+4x-2,62+4y-5), grad u(11)1=(1,9,5) 1l.对于函数f(x,y)=x,在第I象限(包括边界)的每一点,指出 函数值增加最快的方向

(2) 当 5 4 π α = 时，沿 ) 4 5 ,sin 5π π 4 v =(cos ，方向导数最小。 (3) 当 3 7 , 4 4 π π α = 时，沿 ) 4 3 ,sin 3π π 4 v =(cos 或 ) 4 7 ,sin 7π π 4 v =(cos ，方向 导数为零。 9． 如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向 导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) （1）这个函数在点(1,2)处的梯度； （2）点(1,2)处的从点(1,2)到点(4,6)方向的方向导数。 解 v =1 (2, 2) − = (1, 2) (1,0)， 1 1 0 z z z z x y x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = = ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 2 v = (1,1) − = (1, 2) (0,−1) ， 2 0 ( 1) z z z z x y y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ − = − = − ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 所以在(1,2)处， 2 z z x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 。 (1) grad f (1,2) = (2,2)。 (2) 因为(4,6) − = (1, 2) (3, 4) ， 2 2 (3, 4) (3, 4) 3 4 5 = = + v ，所以 (1,2) 3 4 1 2 2 5 5 ∂f 4 5 = ⋅ + ⋅ = ∂v 。 10. 求下列函数的梯度： （1） z = x 2 + y 2 sin(xy)； （2） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 3xy + 4yz + 6x − 2y − 5z ，在点(1,1,1)。 解 (1) grad z = ( 2x + y 3 cos(xy), 2y sin(xy) + xy 2 cos(xy)) 。 (2) ) 2 , 2 grad ( 2 2 b y a x z = − − 。 (3) grad ( u x = + 2 3y + 6, 4y + 3 4 x + z − 2,6 4 z + y − 5)，grad u(1,1,1) = (11,9,5)。 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。 f (x, y) = xy 5