傅里叶三角级数小结 ●an是偶函数,bn是奇函数;an=an,bn=-bn ●An是偶函数,是奇函数An=An,On=- An与gn总称为频谱——反映信号的频率结构 An称为幅频特性——反映各谐波分量的幅值 >φ称为相频特性—反映谐波的相位 周期信号由无穷多各谐波分量组成 ⑩n b
X 傅里叶三角级数小结 ⚫an是偶函数，bn是奇函数； ⚫An是偶函数，φn是奇函数 ➢An与φn总称为频谱——反映信号的频率结构 ➢An 称为幅频特性——反映各谐波分量的幅值 ➢φn称为相频特性——反映谐波的相位 , n n n n a a b b = = − − − , A A n n n n = = − − − 周期信号由无穷多各谐波分量组成 an -bn φn An
3.1.2周期信号傅里叶复指数级数展开式 利用完备正交集{emn=0±1,+2,… 由欧拉公式: 表示周期信号的频谱 cos(n@ot+pn)=(ejfna'+in)+e J0mao'+n) 2 x(t)=Ao+>A,3(e(mool+n)+e j( ndol+% A+∑(e-e Jon x()=4+∑4,cos(no+9)
X 利用完备正交集 3.1.2 周期信号傅里叶复指数级数展开式 0 0 ( ) 1 ( ) cos n n n x t A A n t = = + + 0 0 j j j j 0 1 1 (e e e e ) 2 n n n t n t n n A A − − = = + + 0 0 j( ) j( ) 0 1 cos( ) (e e ) 2 n t n t n n n t n + − + + = + 0 0 j( ) j( ) 0 1 1 ( ) (e e ) 2 n t n t n n n n x t A A + − + = = + + 0 { } 0, 1, 2, jn t e n = 由欧拉公式： 表示周期信号的频谱
x()=4+∑A,(ee%+elen) A4+∑4,eme+a∑Ae Jnaote-Jon Ae 0o4j0 ∑4e A n)Oot 1= =Ae/tejo I e JnooeJgn n=0 令:X(mo)=1A 得X(02)=4 e n≠0 X(nO)=A1,m≠0 x()=∑X(mo)e 1=-00
X 0 0 j j j j 0 1 1 1 1 e e e e 2 2 n n n t n t n n n n A A A − − = = = + + 0 j e n t An 0 j j 0 0 0 0 1 1 1 1 e e 2 2 n j t n t j n n n A e e A − = =− = + + 0 0 0 0 j t j A e e = + 0 j( ) j 1 1 e e 2 n n t n n A − − − − = − − − 0 j j 1 1 e e 2 n n t n n A = + j e n 0 j 0 ( ) ( )e n t n x t X n =− = 0 0 0 , 0 ( ) , 0 2 n j n j A e n X n A e n = = 令： 得 0 0 0 | (0 ) | 1 | ( ) | , 0 2 n X A X n A n = = 0 0 j j j j 0 1 1 ( ) (e e e e ) 2 n n n t n t n n x t A A − − = = + +
x()=∑Y(no)em 式中X(mO)称为傅里叶系数,计算: x(t)·e Jm@ot =[∑X(mO)e Jn@ot 正交 T/2 /2 e dt Jm@ot e 70/2 T/2 ∑X(me 2().m moot 70/2 dt X(moo dt=To X(moo) 70/2 1c7/2 X(noo) x()emth以n代m 70 0
X • 式中 称为傅里叶系数，计算： 0 0 0 j 0 ( ) [ ( )e ] n t n jm t jm t x t e e X n = − − − = 0 j 0 ( ) ( )e n t n x t X n =− = 0 X n( ) 0 0 = T X m( ) 0 0 0 0 0 0 0 j 0 / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) [ ( )e ] jm t n t jm t T n T T T x t e X e dt d n t − − − − =− = 0 0 0 0 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 ( ) ( ) T T jm t T T x t e dt X m dt − − − = 0 0 0 / 2 j 0 / 2 0 1 ( ) ( )e T n t T X n x t dt T − − = 正交 以n代m
傅里叶复指数小结 一般情况下X(nO)为复数周期信号的频谱 X(m为幅频特性,x(non)=Tx2t(km 1c/2 ∠X(m)为相频特性。 1c7/2 X(no) L(tcos noot-j x(tsin not dt X(no=(a,, 2 X(nOo) a+b2=4,∠X(mO )=-arctan(b, /a,) 周期信号由无穷多各谐波分量组成
X 0 0 / 2 0 0 0 / 2 0 1 ( ) [ ( )cos ( )sin ] T T X n x t n t j x t n t dt T − = − 傅里叶复指数小结 0 0 0 / 2 j 0 / 2 0 1 ( ) ( )e T n t T X n x t dt T − − = ⚫ 为幅频特性， ⚫ 为相频特性。 ⚫ 一般情况下 X n( ) 0 为复数——周期信号的频谱 0 X n( ) 0 X n( ) 周期信号由无穷多各谐波分量组成 0 ( ) arctan( / ) = − X n b a n n 0 1 ( ) ( ) 2 X n a jb = − n n 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 X n a b A = + = n n n