华侨大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿，机电版）第3章 连续信号的频域分析

3.1.1周期信号傅里叶三角级数展开式 x()=a+∑ an cos n@ot+∑ 6. sin no 系数an、b待定 n=0,1,2, ······ 利用正余弦函数的正交性求待定系数 1)展开式在一个周期(,内积分,得: ∫3x()=∫3an+0=a ∫3x()h信号的均值,直流分量 02

X 0 0 0 1 1 ( ) cos sin n n n n x t a a n t b n t     = = = + +   ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 T T T T x t dt a dt a T − − = + =   •系数an、bn待定，n=0,1,2,…… 1) 展开式在一个周期 0 0 , 内积分，得： 2 2   T T −    ( ) 0 0 2 0 0 2 1 T a x t dt T T − =  —信号的均值，直流分量 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 •利用正余弦函数的正交性求待定系数

3.1.1周期信号傅里叶三角级数展开式 x(t=ao+>(an cosnat+b, sin n@ot 2)展开式两边同乘以 cos not,积分,得余弦分量: ao x(0 cos no,tdt= a, cos nO, t. cosnootdt 1+cos 2no,t t 2 2 an,=to x(t) cosnaotdt n=1,2,3 余弦分量的幅度

X 余弦分量的幅度 ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 cos cos cos T T T T n x t n tdt a n t n tdt    − − =    2) 展开式两边同乘以 cos n t 0 ，积分，得余弦分量： 0 2 2 0 2 1 2 1 cos 2 0 0 dt a T n t a n T T n = + = −  ( )cos 1,2,3 2 0 2 0 2 0 0  = = − x t n tdt n T a T n T  ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + +  3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式

3.1.1周期信号傅里叶三角级数展开式 x(t)=ao+2(a, cos n@ot+bm, sin not) 3)展开式两边同乘以 sinno t,积分,得正弦分量 Box(osin nO,dt= b, sin n@,-@,tdt b bn=Tox(e)sin na tdtn=1,2,3 正弦分量的幅度

X ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 sin sin sin T T T T n x t n tdt b n t n tdt    − − =    3) 展开式两边同乘以 sin n t 0 ，积分，得正弦分量： 正弦分量的幅度 0 2 1 = bn T ( )sin 1,2,3 2 0 2 0 2 0 0  = = − x t n tdt n T b T n T  ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + +  3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式

3.1.1周期信号傅里叶三角级数展开式 所以有: 1 To x(t t ∫2x() )cos n@tdt b 2(3 x(tsinnootdt n=1.2.3. 注 an是n的偶函数,当x0是奇函数时 0 b是n的奇函数,当x是偶函数时bn=0

X ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 1 2 cos 2 sin 1, 2,3 T T T n T T n T a x t dt T a x t n tdt T b x t n tdt n T   − − − = = = =    所以有： an 是 n 的偶函数，当 0 x(t)是奇函数时 an = 0 是 n 的奇函数，当 0 x(t)是偶函数时 = 0 n b bn 注 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式

3.1.1周期信号傅里叶三角级数展开式 x(t)=ao+(a, cos not+bm, sin n@ot 将展开式中同频率分量合并,可得傅氏级数余弦形式: x(t)=A+>A, cos(n@t+n) 式中:A=a0直流分量 幅频特性(偶函数) A=√a2+b2n=12,3…n次谐波分量的幅值 arctan n次谐波分量的相位 相频特性(奇函数)

X 相频特性(奇函数) 0 0 ( ) 1 ( ) cos n n n x t A A n t    = = + +  将展开式中同频率分量合并，可得傅氏级数余弦形式： 式中： A a 0 0 = 直流分量 2 2 1,2,3 A a b n n n n = + = n次谐波分量的幅值 arctan n n n b a    = −     n次谐波分量的相位 幅频特性(偶函数) ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + +  3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式