Karman方程现对该式进行近似处理并整理1忽略高阶无穷小量do,dy；方程两边同时乘以ydx：ds = dx/cos0 =dy/sing ;3do则得p dy-0dxydxy dxydox-dyp-o.=0Idx(1)dxyy口近似屈服条件由假定④，知i=-x,=-,=-p，这里p是单压02=-0,=-0m2力而非静水压力
Karman方程 现对该式进行近似处理并整理 ① 忽略高阶无穷小量 ； ② 方程两边同时乘以 ； ③ ； 则得 (1) p 近似屈服条件 由假定④，知 ，这里 是单压 力而非静水压力。 d dy x ydx ds dx cos dy sin 0 dx dy y p dx y dy dx y d x x f 0 dx y dy y p dx d x x f p 1 x , 2 z m , 3 y p
Karman方程根据屈服条件,,-，=2k=K，即-αx-(-p)= Kp-o,=Kx=p-Kdo = dp将其代入(1)式中，得p_d=0dxydxy同理，前滑区的Karman方程为__=0dxydxy这就是著名的Karman微分方程式
Karman方程 根据屈服条件， ，即 将其代入(1)式中，得 同理，前滑区的Karman方程为 这就是著名的Karman微分方程式。 1 3 2k K d dp p K p K p K x x x x ( ) 0 y τ dx dy y K dx dp f 0 y τ dx dy y K dx dp f
Karman方程口Karmann微分方程式的第二种表达形式将高阶无论穷小略去后，式dy+o,dy+trdscos-pdssin=0可写成如下的形式do,y + o,dy = -t rds cos 0 + pds sin 0d(o,y)= -t rds cos 0+pds sin 9根据屈服条件，o,=p-K，而y=ho/2，ds=Rdo代入上式，%0l(- )-2rpsin0 , o0)Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较
Karman方程 p Karmann微分方程式的第二种表达形式 将高阶无论穷小略去后，式 可写成如下的形式 根据屈服条件， ，而 代入上式， Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比 较。 d x y xdy f ds cos pdssin 0 d x y xdy f ds cos pds sin d x y f ds cos pdssin x p K y h 2， ds Rd 2 sin cos f h p K R p d d
卡尔曼方程的求解条件口单位摩擦力T，沿接触弧的分布规律①全滑动：(f =const)tf=f·p其中f为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多P分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。②全粘着：T =k=K/2接触面上的摩擦切应力tf已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律
卡尔曼方程的求解条件 p 单位摩擦力 沿接触弧的分布规律 ① 全滑动： 其中 为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规 律是适合的。很多 分布式的求解都应用了该规律，如采利柯 夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。 ② 全粘着： 接触面上的摩擦切应力 已达剪切屈服应力，所以该式适于 接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律。 f f ＝f p ( f const) f p f k K 2 f
卡尔曼方程的求解条件③混合摩擦：接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区滑动区： =f·p粘着区： T, =k=K/2这一摩擦规律为陈家民公式所采用。④液体摩擦：dvdy即摩擦切应力t，与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系数n称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用
卡尔曼方程的求解条件 f f p f k K 2 ③ 混合摩擦： 接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区 滑动区： 粘着区： 这一摩擦规律为陈家民公式所采用。 ④ 液体摩擦： 即摩擦切应力 与流体的速度梯度成正比，这一规律称为 Newton定律，比例系数 称为液体的粘度系数。该规律仅适于 冷轧，为Nadai公式所采用。 dy dvx f f