例2.新产品销售模型 种新产品刚面世,厂家和商家总是采取各种 措施促进销售,比如不惜血本大做广告等等他们都 希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家 用于组织生产,商家便于安排进货 怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲) 推销速度,并由此分析出一些有用的结果以指导生 想一想:此问题与我们遇到的哪一个建模问 题相类似? 重新分析 Logistic人口模型,t时刻的人口数 为 N Ke N(t) K K+N(e”-1)1+(-1) 0。 将上式改写为 N()=1+ceA,t≥0, 其中 S K 数学分析 1.若r<0,则S<0,随着t→+∞,则
例 2．新产品销售模型 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种 措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都 希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家 用于组织生产，商家便于安排进货. 怎样建立一个数学模型描述新产品（电饭煲） 推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生 产。 想一想: 此问题与我们遇到的哪一个建模问 题相类似？ 重新分析 Logistic 人口模型，t 时刻的人口数 为 r t N r t K r t e K K N e N Ke N t − + − + − = = ( 1) 1 ( 1) 0 0 0 ( ) , t≥ 0。 将上式改写为 KSt ce K N t − + = 1 ( ) ，t≥0， 其中 1 = N0 − K c , K r S = 数学分析 1. 若 r＜ 0，则 S＜ 0，随着 t → + , 则
N()→0; 2.若r>0时,讨论 Logistic曲线的曲线特征 CK Se KSt x(t)= >0 (1)有 (1+Ce KSt、2 即x(t)是单调上升函数 K (2) lim x()=lim t→01+Ce~K9 注意K是使得人口净增长率r(K)=0的人口 数,可理解为该地区能容纳的人口上限 (3)4r(os CK'se(Ce KSt-1)_S +Ce-KSr 可得t,使x"(t0)=0,有x(t0) K 并且 2 当t<to时,x"(m)>0,x(t)单调上升; 当t>to时,x"(t)<0,x'(t)单调下降;
N(t) → 0 ; 2. 若 r>0 时, 讨论 Logistic 曲线的曲线特征 (1) 有 0 (1 ) ( ) 2 2 + = − − KSt KSt Ce CK Se x t ； 即 x(t) 是单调上升函数. （2） K Ce K x t KSt t t = + = − → → 1 ( ) lim lim ； 注意 K 是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口 数，可理解为该地区能容纳的人口上限. （3）令 0 (1 ) ( 1) ( ) 3 2 = + − = − − − KSt KSt KSt Ce CK S e Ce x t ， 可得 t0, 使 x(t 0 ) = 0 ，有 2 ( ) 0 K x t = ，并且 当 t＜t0 时， x(t) 0 ， x(t) 单调上升； 当 t＞t0 时， x(t) 0 ， x(t) 单调下降；
N K K/2 0 说明人口不会无限增长,存在一个转折时间点 to,过此点以后增长速度会减缓。 logistic模型特点:初期高速增长,过一个特 定时间点后增长速度减缓,且有上界控制 对原问题的分析: (1)一般每户只需用1~2只电饭煲就足够,个 地区的需求量是有限的; (2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快 商品趋于饱和时销售速度会减缓 电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利 用类比方法建立模型 记x(t)为t时刻已售出的电饭煲总数,市场的 饱和量(最大需求量)为M利用 Logistic模型:
说明人口不会无限增长，存在一个转折时间点 t0 ，过此点以后增长速度会减缓。 Logistic 模型特点：初期高速增长，过一个特 定时间点后增长速度减缓，且有上界控制. 对原问题的分析： （1）一般每户只需用 1～2 只电饭煲就足够,一个 地区的需求量是有限的； （2）初期在广告之类推销作用下销售速度较快, 商品趋于饱和时销售速度会减缓. 电饭煲的销售情况类似于人口增长情况，可利 用类比方法建立模型. 记 x(t)为 t 时刻已售出的电饭煲总数，市场的 饱和量（最大需求量）为 M,利用 Logistic 模型： N0 0 t K/2 K N t0
M X(t)= 1+ce kMt ≥0 来描述电饭煲的销售速度变化情况 (1)当销售量小于最大需求量的一半时,销售 速度增长很快,产品最为畅销,其后销售速度将开始 下降 (2)实际情况与 Logistic销售曲线十分吻合。 结论:对一种新产品应采取以下措施可以取得较 高的经济效益, (1)初期采取小批量生产并加以广告宜传; (2)销售量处于最大需求量的20%~80% 时,是该产品正式大批量生产的较适合时期 (3)当销售量超过最大需求量的80%,应考 虑适时转产 思考 (1)请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述? (2)仔细阅读教材p14的例2.,2.6,分析在建模 方法上有什么区别?
kMt ce X t M − + = 1 ( ) , t≥0 来描述电饭煲的销售速度变化情况. (1) 当销售量小于最大需求量的一半时，销售 速度增长很快，产品最为畅销,其后销售速度将开始 下降. （2）实际情况与 Logistic 销售曲线十分吻合。 结论：对一种新产品应采取以下措施可以取得较 高的经济效益， （1）初期采取小批量生产并加以广告宣传； （2）销售量处于最大需求量的 20%～80% 时，是该产品正式大批量生产的较适合时期； （3）当销售量超过最大需求量的 80%，应考 虑适时转产. 思考： （ 1）请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic 模型进行描述？ （2） 仔细阅读教材 p14 的例 2.2.6，分析在建模 方法上有什么区别？