第3章失量积分运算 27 再来谈论热流，让我们来看那种热量守恒的特殊情况.比方，设想有某件材料加热以后 就再没有热量产生或吸收了.此后，如有净热量从一个闭合面流出去，该体积内的热容量就 一定会诚少、由于热量应该守恒，因此我们便说： ∫，：ha=-昭 (3.13) 式中？是表面S内的热量.从8面流出来的热通量等于8面内总热量Q相对于时间的负 变率.这一种解释是可行的，因为我们正在谈论热流，而且也因为我们已假定了热量守恒， 当然，假如热量继续产生，则无从谈论在该 体积内的总热量了 现在我们要来指出一个关于任一矢量 的通量的有意义的事实.你如果愿意，可 以想象这矢量即是热流矢量，但我们所要 讲的是对任一矢量场C都将适用的.设 想有一包周体积乊的闭合面S,再通过某 种如图3-4所示的那种“剖面”将体积分成 两部分.这样，我们就有两个闭合面和体 积了.体积V1被81面包围，由原来表面 的一部分S。和剖面S构成的.体积V2图34在8丽内 被S,面包围，由原来表面的其余部分8 再加上剖面S构成的.现在考虑下述问 在S,-6+S面内的体积2 题：假设要计算通过S,面的向外通量，再加上通过S,面的向外通量.这个总和是吞会等于 通过我们开始时那个完整表面的通量呢？答案是肯定的。通过8和S,所共有的8面那 部分面积的通量恰好互相抵消.关于矢量C从V流出的通量，我们可以写成。 通过8，的通量-C~nda+∫Cna, (3.14) 而从V,流出的通量，则是： 通过，的通量-Cnda+∫Cna, (3.15) 注意！在第二个积分中，是代表当S属于S时它的向外法线，而n,则代表当S属于 S,时它的向外法线，分别如图3-4所示.显然，九1=一，因而 Cnda=-∫Cn,da (3.16) 现在若(3.14)和(3.15)两式相加，则通过S,和S2两通量之和恰好等于那两个积分之和，而 这两个积分合在一起，就是通过那个原来的8=S。+8面的通量. 我们看到，通过整个外表面8的通量，总可以认为是该体积分成两部分后通过它们的两 呢 通量之和。还可以照样再分割下去一 一比如把”再分成两部分.你会看到同一些论据仍 然适用.因此，不管将原来体积按何种方式分割，普遍正确的结果应该是：代表那原来积分 的通过外表面的通量，等于出自所有内部各小部分的各通量之和
28 费曼物理学讲义（第二卷） §3-3来自小立方体的通量；离斯定理 现在考虑一个小立方体*的特殊情况，并将找出来源于它的通量的一个重要公式.设想 各边都与坐标轴平行如图35所示的一个立方体.假设最接近于原点的那一角落的坐标为 ,y,:.令红为该立方体在x方向上的长度，w 为y上的长度，而血即为在云上的长度.我们是希 望求出矢量场C通过该立方体表面的通量.这将 分别算出每个面的通量再求出六个面之和而获得。 首先，考虑在图上标明为1的那个面.在这一个面 上，向外通量等于C的云分量的负值遍及该面的积 分.这一通量是 0. 图3-5来自一小立方体的通量的计算 -0,dd 既然我们考虑的是一个小立方体，便可用该面中心一我们称之为点()一的C,值乘以 该面面积y血来对这一积分作一近似： 出自面1的通量=-0，()y 同理，出自面2的通量，也可以表达为： 出自面2的通量=C.(②)刨：. 以上两式中的C,(1)和C,(②)，一般说来，是有点差别的.但如果血足够小，则可以写成 0,阅-0，d+警血 当然，还有更多的项，不过它们将涉及（血）？和更高次项，因而如果只考虑微小比的极限， 那便都可以忽略.因此，通过面2的通量就是： 出自面2的通量-[C,()+器4个]4 把通过面1和面2的通量相加，得： 出自1和2两个面的通量=没血g4 上式中的微商，确切的应是在面1的中心处，也即在点[x,y+(4g/2),:+(/2)]处计算. 但对于一个无限小的立方体来说，即使是在角点（它，头，2）上算出它，所造成的误差也是可以 忽略的 依此类推，对其他每一对面，我们也会得到： 出自而8与面4的通量-9血y丝 出自圆5与面6的通量-警血勾丝 而通过所有表面的总通量则是这些项之和。我们得出： ∫Cn血-（器+号+0恤血 下面的推导也同样适用于任一个直角平行六面体
第3章失蛋积分运养 29 这些微商之和恰好就是VC.并且，山y=P,即该立方体的体积.所以对于一个无限 小立方体，我们可以讲 JC.nda-(v.C)dv. 3.17) 这就证明了，一小立方体表面向外的通量等于该矢量的散度乘以立方体的体积.现在我们 已经看到了一个矢量的散度的“意义”.在P点处一个矢量的散度就是从在P点附近每单 位体积的通量 一C的向外“流量” 我们已把C的散度与C从每一无限小体积向外流出的通量联系起来了.对于任一有 限体积来说，我们可引用上面已经证明过的事实 一从某一体积出来的总通量等于从其中 每一部分出来的各通量之和.这就是说，我们可遍及整个体积对散度进行积分，它向我们 供了这样一个定理：对于任一矢量的法向分量的遍及任一闭合面的积分，也可以写成该 量的散度遍及由该面积所包围的体积的积分.这个定理以高斯(Gus)命名. 高斯定理 C.nda-v.Cdv, (3.18) 式中S是任一闭合面而V是这个面内的体积. §3-4热传导扩散方程 ,仅仅为了熟悉高斯定理，让我们利用上述定理来考虑一个实例.仍然例举金属中的热 流，假定其中所有热量都已预先输入，而此刻正在冷却的那种简单情况。这里没有任何热 源，所以热量是守恒的.那么，在任一时刻存在于某一特定体积里的热到底有多少呢？它所 减少的量必须恰好等于从该体积流出来的量。如果我们的体积是一个小立方体，则根据式 (3.17)就应该写成： 流出的热量-hnda-又，h (3.19) 这必然要等于立方体内部热量的损失率.设9为每单位体积内的热量，则在该立方体内的 热量为q4,其损失率则为： -是g)-器4. (3.20) dt 比较(3.19)和(3.20)两式，我们见到： (3.21) 仔细注意一下这一方程的形式，它是物理学中经常出现的形式，即表达了一个守恒定律 这里则是热量守恒.我们曾经在式(3.13)中以另一种方式表达过这同一物理事实这 里是守恒方程的微分形式，而式(3.13)则是一种积分形式. 已经通过把式(3.13)应用于一无限小立方体而获得了式(3.2).我们也可反过来做 对于一个由8面包围着的大体积P,高斯定理表达为： h.nda=v.hdy. (3.22) 应用式(3.21)，得出右边的积分恰是一dQ/,因而我们又一次得到了式(3.13). 现在让我们考虑一个不同的情况。想象在一大块材料中有一个很小的洞，里面正在进
30 费她物理学讲义（第二卷） 行某种会释出热量的化学反应.我们也可以这样设想，用导线连接一个小小的电阻器，然后 通电使之发热.我们并将假设热量实际上是在一点上产生的，并令W代表在该点处每秒释 放出来的能量.我们还假定在体积的其余部分热量始终守恒，而且该项热量的产生也已持 续了足够长的时间一使得现在任何一处的温度都不再发生变化了，同题是：金属里各处 的热流矢量飞是什么样子？在每一点上有多少热量流 过？ 我们知道，如果对九的法向分量遍及包围着该热 源的闭合面进行积分，则始终会得到W.所有在该点 源上陆缕产生之热都必须通过该表面流出，因为我们 金属块 已假定其流动是稳定的.这里有一个困难问题，即要 找出一个矢量场，这矢量场在遍及任一表面取积分之 图3-6在接近一个点热源的区域中， 后总要得到同一个结果W.然而，我们可以取一个稍 热流沿径向朝外 微有点特殊的表面而使场相当易于找出.比如取一个 半径为R而其中心在源处的球面，并假定热流是沿径向的（图3-6）.直觉告诉我们，如果该 块材料足够大，而我们又不至于太接近边缘，则应该是径向的，而且，球面上所有一切点的 值大小均应相同你看，我们正在加入某种分量的错工作一常被称为“物理直觉”一 于数学方面，以便获得答案. 当九沿着径向而又具有球对称性时，对的法向分量遍及该面积的积分将会十分简单， 因为法向分量恰好就是h的大小而且又是不变的.我们积分时所覆盖的面积为4x,这 样就有 h.nda-h-4R (3.23) (式中是的大小).这一积分应该等于W,即在源处热量的产生率.因而获得： h= (3.24) 式中，照例代表在径向上的单位矢量.我们的结果说明，九与W成正比而与从源至该点 的距离的平方成反比。 才所得到的结果，仅适用于点热源附近的热流.现在让我们试试，寻找那种仅在热量 守恒的条件下，对最普遍的热流也都能适用的方程式。这样，我们将只与在任何热源或热吸 收体之外的那些地方所发生的情况打交道. 关于热传导的微分方程，曾在第二章中推导过了.根据式(2.44) h=一xVT (3.25 (应记住这一关系式是近似的，不过对于金属之类材料近似得相当之好.）当然，它只是对于 在材料里那些没有热量产生或吸收的区域内才适用.我们也已在上面导出了另一个关系， 即式(3.21)，那是在热量守恒情况下适用的.如果把该方程与(3.25)相结合，则可得： -竖-h-(四. 若%是一常数，则
第3章失量积分运算 31 竖-7-7 (3.26) 你会记起，g是每单位体积内的热量，而VV=7,则是拉普拉斯算符 -+那+ 如果我们再作一个假设，便可得到一个十分有趣的方程式.试假定材料中的温度与每 单位体积的热容量成正比 一即是材料有某一确定的比热.当这一假设有效时（往往如此）， 我们就可以写成： 4g=co4T, 竖-%密 (3.27) 热量的变率正比于温度的变率.这里的比例常数，就是每单位体积材料的比热。应用 (3.27)和(3.26)两式，便可以得到： (3.28) 我们已找出了，每一点上T的时变率与T的拉普拉斯算符—卫的空间依存性的二阶微商 一成正比.这样，我们就有一个在、、：和处的关于温度T的微分方程。 微分方程(3.28)称为热扩散方程.它经带被写成： (3.29) 式中D叫扩散常数，在这里等于x/c。 这个扩散方程在许多物理问题中都会出现一 一气体扩散、中子扩散以及其他各种扩 散，我们曾在第一卷第四十三章中讨论过这类现象的物理学.现在你就有一个在最可能普 遍情况下描述扩散的完整方程。往后某一时候我们还将讲到一些求解该微分方程的方法， 以便找出在特定条件下温度是怎样变化的.现在我们又将回来考虑有关矢量场的其他一些 定理 §3-5矢量场的环流 现在，我们想用有点类似于对付散度的办法来看待旋度.通过考虑遍及一个表面的积 分，我们已经得到高斯定理，尽管当初与散度的联系还不太明显。我们当时怎么会知道要假 定进行一个遍及面积的积分以便获得散度呢？根本不清楚会引导出这么一个结果。而现在 也同样缺乏明显的保证，我们将计算矢量的另一件东西从而证明它是与旋度有关的.这回 我们所计算的将是所谓矢量场的旋度。如果C是任一个矢量场，我们取其沿一曲线的分量 并对这一分量绕行一整条回线进行积分，·这一积分称为该矢量场绕行该回线的环流在本 章的开头，我们管经讨论过关于7少的线积分.现在我们将对任二种矢量场C求线积分. 设曲线工为空间中任意一条闭合回线—一当然是在想象中的.有一个例子如图3-7 所示。C的切向分量绕行该回线的线积分被写成： $nC,ds-中nCds (3.30) 你应该注意，这积分是绕行一周时取的，并不象以前那样从一点至另一点.在积分符号上的