22 费曼物理学讲义（第二卷） 使得D=7×C. (2.61) 在检查由两个口算符的可能结合中，我们已经找出了其中有两种结合总是等于零的 现在要来看看那些不等于零的结合.考虑表上所列的第一个结合，V·(T).我们把它写 成分量式， VT-(VT,VT,VI). 于是 .(四-.(+，，2+-器+器+梁。 (2.52) 上式一般应给出某一数值.它是一个标量场. 你会看到，式中无需保留那个括号，因而可以在不会引起混乱的情况下写成： (r)=7.7T-(7)T-77. (2.53) 这里我们把看成一个新的算符：这是一个标量算符.由于经常出现在物理学中，因而它 被赋予一个专用名称，即拉普拉斯算符. 拉普拉斯算符+哥+品。 (2.54) 由于拉普拉斯算符是一个标量算符，就可以用它来对一矢量进行运算—一这意味者对 在直角坐标系的每一个分最进行同一种运算： Vh=(7h,7h,7h). 让我们再来看另一个可能性：V×(仅×)，那是表上的第（©）个.原来如果我们应用矢 量等式2.6)： A×(B×C)=B(AC)-C(AB), (2.55) 便可以把一个旋度的旋度写成另一种不同形式。为了使用这一公式，我们应当把其中的A 和B都代以算符V,并令C-飞.若我们这样做，就可以得到： ×(W×h)=(.h)-h(.)…?? 但请等一等！有点不对头了.前两项不错，那都是矢量（算符都给满足了），可是末项就不知 会产生出什么名堂来.它仍然是一个算符.麻烦乃在于，我们曾经不够小心以保持各项的次 序正确.然而，若你再看一看式(2)，就会见到我们本来也尽可以写成 A×(B×C)=B(AC)-(AB)C (2.56) 这几项的次序看来要好些.现在就把上述各种符号代入式(2.6)中，便得： ×(×)=7(h)-()h. (2.57 这个形式看来不错.事实上，它是正确的，正如你能够通过分量运算以对它核实的那样.末 项就是拉普拉斯算符，因而我们也同样可以写成： ×h)-v(v,h)-vh, (2.58) 除了第（⊙）个V()以外，我们对列于表上的双V的结合都已多少谈过了.它可能是 一个矢量场，但对它却没有什么特殊情况可说的.那不过是偶尔会出现的一种矢量场罢了， 把我们的结论都列成一表将很方便： (a)7(T=7T=标量场： (b)V×(T)-0 (o)()=矢量场； (d).(×h)=0 (2.59)
第2章矢量场的微分运算 23 (e)又×（仅×）=7(.h)-7h (f)(V)h-7h-矢量场. 你可能会注意到，我们从未试图发明一个新的矢量算符（仅×）.这点你能看得出个所以然 来吗？ §2-8陷阱 我们刚才正在把关于一般矢量代数的知识应用到算符又的代数上来.可是还必须当 心，因为有可能会误入歧途的。存在两个即将提到的陷阱，虽然它们并不会出现于本课程 中.对于含有两个标量函数中和中的下列表式 ()×(b), 你该说些什么呢？你也许会说：它必然等于零，因为它恰好象 (Aa)x(Ab) 那样等于零的，因为两个相同矢量的叉积始终是零.但是在我们的例子中那两个算符？却 并不相同前一个算符运算于函数中上；而另一个则运算于一个不同的函数中上.所以尽 管我们所用的是同一个符号V,但它们仍应被认为是不同的算符。很明显，中的方向取决 于函数中，因而它不大可能平行于V中.因此， ()×(中)中0（一般地）. 幸而，我们今后无需用到这些表式。（刚才所说的不会改变这么一个事实，即对于任一标量 扬中，7×中=0，因为这里两个口都是对同一函数运算的.) 第二号陷阱（这也是我们在这一门课程中不必要掉进去的）是这样：当上述法则用于直 角坐标系时既简单而又美妙.比方，若我们有了Vh,而希望获得它的x分量，那便是 (.-(证+证+-v% (2.60) 但如果我们所要求的是的径向分量，这同一表式则不行了.Vh的径向分量并不等于 7,.原因是，如果我们同矢量代数打交道，矢量的方向就都是十分明确的.但当我们与失 量场打交道时，它们的方向则处处不同。如果我们试图用比如说极坐标来描述一个矢量场， 则所称为“径向”的那个方向便会逐点不同.因此，当我们开始对它的分量进行微分时，就会 陷入一大堆麻烦之中.例如，甚至对一恒定不变的矢量场，它的径向分量仍然会逐点变化 的. 仅仅坚持用直角坐标系从而避免困难，往往是最保险而又最简单的做法，但有一个例外 值得一提：由于拉普拉斯算符V是一个标量，便可以把它写成在随心所欲的任一个坐标系 上（比如说在一个极坐标系上）.但由于它是一个微分算符，就应该把它只用到其分量各保 持在固定方向上一即在直角坐标上一的那些矢量。因此，当我们要用分量来写出矢量 微分方程时，就必须把所有的矢量场都用它们的么、y、?分量来表达. ·两个算符虽然都是，但对不同函数运寡的结果则可以不同。这样的说法似子较妥当些。一一泽者注
3 矢量积分运算 83-1矢量积分：V地的线积分 在第二章中，我们曾找出对场取微商的各种方法，结果有的得出矢量场：有的得出标量 场。虽然我们曾导出许多不同公式，但从第二章所得的一切中可以归纳成一个法则：算符 a/z、/和a/z就是一个矢量算符口的三个分量.现在我们希望对场的微商的意义获 得某种理解.然后我们才会对矢量场方程的意思有更深的体会。 我们已讨论过陡度运算(作用于一标量上)的意义，现在将转到散度和旋度运算的意 义上来.对于这些量的解释最好是用某些失量积分及与这些积分有关的方程来进行，可惜 这些方程并不能通过某种简单的代入法从矢量代数中获得，因而只得将其当作新的事物来 学习.在这些积分公式中，有一个实际上是无关繁要的，但其他两个则不是这样，我们将把 它们导出并解释其涵义.下面将要研究的方程其实都不过是数学定理.它们不但对于解释 散度与旋度的意义及其内容将会有用，而且对作一般的物理理论工作也同样有用.这些数 学定理对于场论的作用，正如能量守恒定理对于质点力学一样.象这一类的普遍定理对更 深刻地理解物理学是很重要的。然而，你将会明白，它们对于解答问题一一除去那些最简单 情况一用处并不大.但令人高兴的是，在我们这一课程的开头，就有许多简单问题可用我 们即将打算处理的三个积分公式来解决.可是，我们也将见到，当问题变得越发复杂时，便 不能再用这些简单方法了. 首先者手处理涉及陡度的一个积分公式。这个关系式含有一个十分简单的概念.既然 陡度代表一个场量的变化率，则如果我们对这一变化率进行积分，应该获得其总变化。假设 有一标量场(，，)，在任意两点(1)和（②）上，函数中将分别取值(1)和中（②）.[我们采 用一种方便的记法，用(2②)代表(，4，），即(2)的意义就和(x,,)的意义相同.] 如果T是连接()和（②）两点间的任一曲线，如图3-1所示的那样，则下述关系就是正确的. 线 图3-1式31)中的各项.矢量刚是在 线元处计算出来的 图32线积分是和的板限 定理1 ②)-四-（w)s. (3.1) 这积分是一线积分，它是对矢量和另一个代表沿曲线T一个无限小线元的失量[从
第3章矢量积分运算 25 点(1)指向点（②）]两者的点积，即沿若由点(1)至点（②）的曲线T而进行积分的. 首先，我们应该复习一下所谓线积分的含义是什么.试考虑一个标量函数f(红，y,)和 一条连结（①和（②）两点间的曲线工.在曲线上划分出许多点，再用直线段连接这些点，如图 3-2所示.每段具有长度，其中是依次取1,2,3，…等值的下角标所谓线积分 是指这么一个和 Σf 其中f是在第段上的函数值.极限值就是当所分节段无限增加时（说得明显些，就是使 得其中连最大的都是4s一0)这个和所趋近的数值. 在上述定理中的积分，即式(3.1)，也是指这一种东西，虽然看起来稍为有点不同.这里 并非了，而是另一个标量，即中在48方向上的分量.如果我们把这一分量写成()，则 很清楚， 7山)tg=7w)8 (3.2) 式(3.1)中的积分就意味着对这一类的项求和. 现在让我们看看为什么式(3.1)是正确的.在第一章中，我们曾经证明，沿一小位移4R 的中分量乃是在4R方向上中的变率.考虑图3-2上由点(1)至点（®）间的线段48.按照 我们的定义， 4=(a)-(1)=(7)4s1. (3.3) 同样，我们也有 (6)-(a)=()z482 (3.4) 当然，上式中的()1是指在线段8：上计算出来的陡度，而(V),则是在4s,上计算出来 的陡度.如果我们把(3.3)和(3.4)两式相加，便得： (b)-(1)=()148+()48, (3.5) 你可以看到，若继续加进这样的项，就能获得这一结果 (②)-(1)=()48 (3.6) 左边并不与我们所选取的间隔有关 一如果()和（②）两点始终保持固定不变的话 一所以 我们可以取右边的极限.这样，我们就已经正明了式(3.1). 你可从上述的证明中看到，正如该等式并不依赖于那些点4、、、…的选取方式那样 它也不依赖于我们所选取的用以连接(1)和（②）间的曲线T究竟如何。对于任二由点(1)至 点（②）间的曲线，我们的定理都是正确的 关于记法方面的一点注释：你将会看到，如果为了方便起见，可写成 (ψ)d8=ψds, (3.7) 将不致引起任何混乱.利用这一记法，上述定理就是 定理1 (2)-(1)- (3.8)
费曼物理学讲义（第二卷） §3-2矢量场的通量 在讨论下一个积分定理一关于散度方面的定理一之前，我们想学习一下物理意义 较明显的关于热流的某种概念。我们曾定义过矢量九，它代表单位时间内流经单位面积的 热量.假设在一块材料内部，有一个包围着体积P的某闭合面8（图3-3）.我们希望找出从 这一个体积里流出去的热量有多少.当然，我们可 h 以由计算通过麦面8而流出去的总热量来求得它的 闭合面8 我们用da来代表一个面积元的面积.这符号 代表一个二维微分.比方，若该面积碰巧是在y面 上，应有 dada dy. 以后还将有对体积进行的积分，为此，考虑一个小立 图33闭合词8规定了体积P.单位 方体的微分体积将很方便.这样，当我们写出P 矢量n是面积元G的向外法线，而h则 时，指的就是 是该面积元处的热流矢量 dy-da dy de. 有些人不喜欢写成da,而喜欢写成a以提醒人们注意那是一个二维量.他们也不想 用少而却要用平.我们则将采用那种较简单的记法，并假定你确能记住一个面积总具 有二维，而体积总是具有三维 流经面积元da的热量等于该面积乘以垂直于da的h分量.我们已把n定义为从该 面积以直角指向外的单位矢量（图8-3）。希望得到的h分量为： ha=h.n. (3.9) 这样，流经da的热量就是 h.nda (3.10) 要求得流经任一面积的总热量，应对来自所有各面积元的贡献都加起来.换句话说，将遍及 整个表面对(3.10)式取积分： 向外流经8的总热量-，hnda, (3.11) 我们将把这个面积分称为“h通过该表面的通量”、通量这个词的原有意义是流量，因 而面积分就只意味着h通过该表面的流量.可以这么设想：五是关于热量流动的“热流密 度”，而它的面积分则是指向表面之外的总热流，也就是每单位时间流出的热能（每秒焦耳 我们希望把这一概念推广到矢量并非代表任何流动东西的那种情况。例如，它或许是 电场.如果我们乐意的话，肯定也能对电场的法向分量沿一个面积积分、尽管这并不是任 何东西的流动，但我们仍称之为“通量”。我们说， E通过S面的通量=Enda, (3.12) 这就把“通量”这一词推广到指一矢量的“法向分量的面积分”了，即使所考虑的表面不是闭 合的情况，我们也将运用这同一定义，就象这里讨论闭合面时那样