费受物理学讲义（第二卷〉 那个小圈圈便是为了提醒人们，该积分是指环绕-一周的线积分.这一积分叫做该矢量场绕 行曲线T的环流。这个名称原本是从考虑液体的环 回线r 流而得的.但这一名字—一正如同通量一样一已 被推广至即使没有任何物质在“环流”的那些情况 可见对于任何一种场都适用. 如同对待通量那种方法一样，我们现在可以证 Ct 明，绕行一条回线的环流等于绕行两部分回线的环 流之和.假设我们通过在原来曲线上的(1)和（②）两 点间用某一示如图3-8的割线来连结，这样就可以 图3-7 即是C4 将图37上的曲线分成两个回线。现在存在两条回 线T1和T2.T是由处在(1)和（②）左边那部分原 有曲线T。再加上“捷径”T而构成的.T,则是由原有曲线的其余部分加上该捷径而构成 的. () 绕行T的环流等于沿T,和沿T两积分之 和。同理，绕行工，的环流也是两部分之和，其一沿 Ta Fab T而另一沿T.对于曲线T2来说，沿T的积 分具有与对曲线工：取同一积分时相反的符号，因 为它们的取向相反 必须按同一旋转“指向”来取 (2) 该两项线积分 回线的环等于 按照我们沿用过的同一种论据，你可以看出，该 两个环流之和将恰好给出绕行原有曲线厂的线积分.那来自T的部分互相抵消了.绕 行其中一部分的环流再加上绕行第二部分的环流等于绕行整条外线的环流.我们可以重复 这一过程，把原有回线割裂成任一数目的小回线 回线 当将这些小回线的环流都相加起来时，在它们的相 邻部分总会互相抵消，从而使其总和相当于绕行那 原有单一回线的环流 现在让我们假设那原有回线就是某一个表面的 边缘，当然，会有无限多个面全都以该原有回线为 西39 边缘的.然面，我们的结果将与所选取的表面无关 近似于 流就等于绕 首先，将原有回线分割成若干条全都落在所选取的 行各小回线的环液之 面上的小回线，如图39所示.不管该面形状如何 如果我们选取的小回线足够小，则可以假定每一小回线将包围一个基本上是平坦的面积.并 且，我们也能选取那些小回线使得每条都几乎构成正方形.现在就可以通过求绕行所有小 回线的环流，再取其和，从而算出绕行该回线T的环流了 §36绕行一个正方形的环流；斯托克斯定理 我们将怎样得出沿每一小正方形的环流呢？首先就要问，这一正方形在空间中的取向 如何？要是它有一个特殊取向，那计算起来就会方便得多.例如，假使它是在一个坐标面 上，既然对坐标轴的取向我们还从未假设过什么，那么就可以选取这样的坐标轴，使我们正
第3章矢量积分运算 33 在全力注意的那个小正方形正好落在面上，如图3-10所示.如果我们的结果要用矢量 记法来表达，那就可以说，不管该面的特殊取向如了 何，结果都是一样的. 现在我们希望来找出绕行该小正方形的C场的 环流.如果令该正方形足够小，使得矢量C在沿它 的任一边上都不会改变得很多，这样进行线积分就 将十分方便.（正方形越小，这个假定越好，而实际 所谈的正是无限小的正方形.)从位于图的左下角 那一点(，)出发，按照箭头所指的方向环行一周， 沿标明为()的那第一条边，切向分量为C(1)而距 离为4血.该积分的第一部分就是C,(1)血.沿那 第二条边，我们获得C,(2).沿第三条边，得 -0(3):,而沿第四条边，得一0，(4)g.这些负 图3-10计算绕行一个小正方衫的C的环流 号是需要的，因为这里要求的是沿环行方向的切向分量。因此，整个线积分就是： 中Cd8=C,(1)c+C,(2)4y-C(3)c-C,(4)4y. (3.31) 现在让我们注意那第一和第三部分.它们合起来就是 [0.(1)-0.(③)14c. (3.32) 你也许会想到，对我们的近似程度来说这个差值该等于零.这对于第一级近似是对的.然 而，仍可以更为精确一些，即算进C,的变率.如果我们这样做，便可以写成： ca(8图-c,(+a4y. (3.33) 假如把次一级的近似也包括进去，则会牵涉到()那一些项，但既然我们最终将取当 4y→0时的极限，那么象这样的项便可以忽略.将(3.3)和(3.32)两式结合起来，会得出 [.）-c,8倒1=-a0k. (3.34) 在我们的近似程度内，上式中的微商可以在(：，)点上算出来， 同理，环流中的其他两项，也可以写成： C,24g-0,(④4y=2血4， (3.35) 于是，绕行上述那个小正方形的环流就是： (-9）4. (3.36) 这很有趣，因为括号内两项恰好就是旋度的z分量.并且，我们还注意到，血y就是该正方 形的面积.因此，可以将环流(3.36)写成： (7x.4a 这个：分量实际上就是该表面元的法向分量.因此，还可以将绕行一个微分正方形的环流 写成一种不变的矢量形式： bCds=(×C4a=(×C)nda (3.37) 我们的结果是：任一矢量C绕行一个无限小正方形的环流，等于C的旋度垂直于表面
34 曼物理学讲义（第二卷） 的分量乘以该正方形面积 现在，绕行任一条回线T的环流，便可以轻而易举地同矢量场的旋度联系起来了.采用 画线 任一个方便的8面将回线盖满，如图3-11所示， 并把这个面上的一组无限小正方形的环流都相加 起来.这个总和可以写成一个积分.结果将是以 斯托克斯(Stokes)命名（为纪念斯托克斯先生的 一个十分有用的定理。 斯托克斯定理： $nC-ds=。(xC.da, (3.38 图31绕行 的C 环流等于×C 式中S是以T为边的任一个面， 的法向分量的面积分 现在必须谈谈关于符号的一个惯例.在图 3-10中，如果采用一种“常用”的一也即“右手”的 一坐标系统，：轴便应指向你们.当 按照旋转的“正”指向取线积分时，我们会找出环流即等于V×C的：分量.要是我们走的 是相反方向，即该获得一个相反符号.那么，一般说来，我们怎么会知道应选取哪个方向作 为了×C的法向分量的正向呢？正法线总必须与旋转的指向联系起来，如图310所示的. 对于普遍情况，则如图3-11所示 “右手法则”是记住这个关系的一种办法.如果你用右手手指将曲线T围绕起来，指尖 指向s的正方向，那么你的大拇指就会指向S面的正法线方向， §3-7无旋度场与无散度场 现在我们要来讨论上述新定理的某些结果.首先，考虑旋度处处为零的一种矢量场。 这里由斯托克斯定理说明，绕行任一回线的环流将等于零， 现在若在一闭合曲线上选取(1)和（②）两点（图312），则从 (2 (I)至（②）的切向分量的线积分将与这两条可能路线中选取 哪一条无关.我们可以断定，从(1)至（②）的积分只取决于 这两点的位置 一也就是说，它只是位置的函数。这同 种逻辑也曾在第一卷第十四章中使用过，在那里我们证明 1) 了如果某量绕行一闭合回路的积分总是零，则这种积分可 以表达为两端点位置的某一函数之差.这一事实使我们建 合曲线下的环流等于零 立了势的概念.而且，我们也证明了该矢量场就是这一势 @,Cds的线积分沿a线取与沿b 线取的果相同 函数的陡度[见第一卷中式(14.13)]， 由此可见，任一旋度为零的矢量场等于某一标量函数的陡度.这就是说，如果处处 V×C=0,便会有某一个中，使得C= 这是一个有用的概念如果我们愿意，这一特 殊类型的矢量场，可以用一个标量场来描述。 让我们再来证明另一件事.假设有任一个标量场中.如果取它的陡度即中，那么这 个矢量绕行任一闭合回线的积分就必然为零.从点()至点（②）这矢量的线积分则等于 [中（②）一中(1)].如果(1)和（②）是同一点，那么定理1、即式(3.8)，就会告诉我们该线积分 等于零：
第3章矢量积分运算 35 5-0 应用斯托克斯定理，我们可以断定：遍及任一个面， [又×（中）da=0. 但如果遍及任一个面的积分都等于零，则其被积函数一定是零了.所以， V×(φ)=0， 总是如此.我们在§2-7中也曾应用矢量代数证明过这同一结果 现在让我们有意用一个大面S来铺盖一个小回线工，如图？-13所示的那种特殊情况。 我们希望看看，当该回线缩小至一点，使得表面的边缘消失不见而成为一闭合面时，究竞会 发生什么情况.现在，如果矢量C处处有限大，则当我 们缩小该回线时，绕行的线积分应该趋于零一该积 分大体上正比于T的周长，而周长已等于零了.按照斯 托克斯定理，（口×C)。的面积分也应等于零.莫明其妙 世线 地，当我们把表面关闭时，就会加进一些将已经存在那里 的东西抵消掉的贡献因而我们得到一个新的定理： 年(×C)nda=0. 图3-13 个闭合玉的 (3.39) 这看来很有意思，因为我们已经有一个关于矢量场的面积分的定理.按照高斯定理，即 式(3.18)，这样的一个面积分等于该矢量的散度的体积分.当运用于7×C上时，高斯定理 就申述： SxC).x (3.40) 所以我们断言，第二个积分也应等于零，即 JV.(VxC)av-0. (3.41) 这对于无论哪一种失量场C都正确。既然式(3.41)对于任一体积都正确，即在空间每一点 上该被积函数为零就必然是正确的了.因此，我们就有 7.(VXC)=0. 总是如此.但这是；2-7中我们曾从矢量代数方面得到过的同一结果.现在开始来审察一 下，如何把一切东西都互相配合起来。 §3-8总结 让我们把从矢量微积分那里得到的结果作个总结。这些结果，实际上就是第二和第三 两章的要点： 1.算符a/x、/a以、a/:可以认为是一个矢量算符V的三个分量，而把这一算符当作 矢量看待，即 -(品品品》 则从矢量代数方面所获得的那些公式都是正确的
费受物理学讲义（第二卷） 2.标量场中，两点的差值等于该标量的陡度的切向分量沿任一条连结该(1)、（②）两点 间的曲线取的线积分 2-四-m4de (3.2) 3.一任意矢量的法向分量遍及一个闭合面的面积分等于该失量的散度遍及该闭合面 内体积的积分： C.nda-cdv. (3.43) 4.一任意矢量的切向分量环绕一闭合回线的线积分等于该矢量的旋度的法向分量遍 及任一以该回线为边缘的面的面积分： J.Cds=∫(×Cnda, (3.44)