基于偏好设计的物理规划理论

D01:10.13374j.isml00103x.2009.02.08 第31卷第2期 北京科技大学学报 Vol.31 No.2 2009年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Fb.2009 基于偏好设计的物理规划理论 董书革12) 饶绮麟2 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100832)北京和矿治研究总院科研管理处，北京10044 摘要从数学角度探求了基于偏好设计的物理规划理论的有效性.通过定义偏好的概念及对偏好的数学量化.采用数值分 析方法.构造了四种不同偏好结构的偏好函数，进而构造出综合偏好函数.并建立了物理规划数学模型.通过实例分析，得到 了符合不同偏好区间的设计结果. 关键词物理规划：偏好：偏好函数：满意度 分类号TB114.1:0224 Physical programming theory based on preference design DONG Shu-ge2.RAO Qi-lin2) 1)School of Civil and Envimnmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beiing 100083.China 2)R&D Department.Beijng General Research Institute of Mining Metallurgy,Beijing 100044.China ABSTRACT The validity of phy sical programming based on preference design was studied from mathematical aspecs.By both defining and quantifying of preference,four classes of pweference functions and an aggregate preference function were constructed by using numerical method,and a mathematics model of physical programming was proposed.The result of example analysis accorded w ith the design of different preference areas. KEY WORDS phy sical programming:preferenoe;preferenoe functions satisfactory degree 在工程优化领域一般不能在满意解和最优解 优化系统中，偏好设计思想被引入到了优化过程.其 之间进行选择因为只有有限种寻找最优解的方法， 目的是使优化目标达到符合实际需要的满意结果. 一些基于优化策略理论的假设经常不能得到满足. 物理规划是一种基于偏好设计思想的、现实多 目前，一些新成果引入到优化理论和优化算法中，目 目标优化的新方法，由美国学者Messac于1996年 的是改善传统算法，使之更加符合工程要求.一是 提出.物理规划对每一个欲优化的设计目标定义了 引入新的计算理论对现有的优化算法进行改进，如 满意度，这些满意度由以下内容组成：不可接受、高 遗传算法、近似计算等新理论以及广义优化概念的 度不期望、不期望、可容忍、期望以及高度期望.物 提出：二是对优化理论本身的改进，以满意的内涵代 理规划根据各设计目标的满意度构建偏好函数，使 替优化的内涵，即以满意解代替优化解.从数学角 用优化方法求解设计变量. 度，最优值是在定义域内满足函数最优要求的解，而 从工程实际上，最优解却不一定是最合理的，例如， 1物理规划中偏好的概念 机械设计中的质量最轻和强度最高就经常是相互矛 1.1偏好的含义及类型5刀 盾的目标.人们处理实际问题时，衡量处理问题质 偏好是通过采用某人对目标的价值判断来对有 量的依据往往是满意性而不是最优性刂. 效集合中无法进行比较的解给出排序.偏好反映了 多目标优化问题要求各个目标都达到最优一般 某人根据对问题事先掌握的知识对所有目标进行的 较难，尤其是各目标之间存在矛盾.目前，在多目标 折衷或者对某个目标进行的强调.给定了偏好，人 收稿日期：200802-22 基金项目：国家十五科技攻关计划资助项目(Na.2004BA615A一O8) 作者简介：董书革(1966一），男，博士研究生；饶绮麟(1942一)，女，教授.博士生导师，E-maik raoqilin@bgrimm.com

基于偏好设计的物理规划理论 董书革1, 2) 饶绮麟2) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院, 北京 100083 2) 北京矿冶研究总院科研管理处, 北京 100044 摘 要 从数学角度探求了基于偏好设计的物理规划理论的有效性.通过定义偏好的概念及对偏好的数学量化, 采用数值分 析方法, 构造了四种不同偏好结构的偏好函数, 进而构造出综合偏好函数, 并建立了物理规划数学模型.通过实例分析, 得到 了符合不同偏好区间的设计结果. 关键词 物理规划;偏好;偏好函数;满意度 分类号 TB114.1 ;O 224 Physical programming theory based on preference design DONG Shu-ge 1, 2) , RAO Qi-lin 2) 1) School of Civil and Environment al Engineering, Universit y of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) R&D Department, Beijing General Research Institute of Mining &Metallu rgy, Beijing 100044, China ABSTRACT The validity o f phy sical prog ramming based on preference desig n w as studied from mathematical aspects.By both defining and quantifying of preference, four classes of preference functions and an ag gregate preference function were constructed by using numerical method, and a mathematics model of physical prog ramming was proposed .The result o f example analysis accorded w ith the design of different preference areas. KEY WORDS phy sical prog ramming;preference;preference function;satisfacto ry degree 收稿日期:2008-02-22 基金项目:国家十五科技攻关计划资助项目( No .2004BA615A-08) 作者简介:董书革( 1966—) , 男, 博士研究生;饶绮麟( 1942—) , 女, 教授, 博士生导师, E-mail:raoqilin@bgrimm .com 在工程优化领域, 一般不能在满意解和最优解 之间进行选择, 因为只有有限种寻找最优解的方法, 一些基于优化策略理论的假设经常不能得到满足 . 目前, 一些新成果引入到优化理论和优化算法中, 目 的是改善传统算法, 使之更加符合工程要求.一是 引入新的计算理论对现有的优化算法进行改进, 如 遗传算法、近似计算等新理论以及广义优化概念的 提出 ;二是对优化理论本身的改进, 以满意的内涵代 替优化的内涵, 即以满意解代替优化解.从数学角 度, 最优值是在定义域内满足函数最优要求的解, 而 从工程实际上, 最优解却不一定是最合理的, 例如, 机械设计中的质量最轻和强度最高就经常是相互矛 盾的目标.人们处理实际问题时, 衡量处理问题质 量的依据往往是满意性而不是最优性[ 1] . 多目标优化问题要求各个目标都达到最优一般 较难, 尤其是各目标之间存在矛盾 .目前, 在多目标 优化系统中, 偏好设计思想被引入到了优化过程, 其 目的是使优化目标达到符合实际需要的满意结果. 物理规划是一种基于偏好设计思想的、现实多 目标优化的新方法, 由美国学者 Messac 于 1996 年 提出.物理规划对每一个欲优化的设计目标定义了 满意度, 这些满意度由以下内容组成 :不可接受、高 度不期望 、不期望 、可容忍 、期望以及高度期望 .物 理规划根据各设计目标的满意度构建偏好函数, 使 用优化方法求解设计变量[ 2-4] . 1 物理规划中偏好的概念 1.1 偏好的含义及类型[ 5-7] 偏好是通过采用某人对目标的价值判断来对有 效集合中无法进行比较的解给出排序.偏好反映了 某人根据对问题事先掌握的知识对所有目标进行的 折衷或者对某个目标进行的强调 .给定了偏好, 人 第 31 卷 第 2 期 2009 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.2 Feb.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.02.018

第2期 董书革等：基于偏好设计的物理规划理论 251。 们就可以将非支配集中可选的解进行排序，然后获 (2)类型2：指标越大越好，软类型用2S表示， 得最终解，这个最终解称作最优妥协解.物理规划 硬类型用2H表示； 把偏好的思想通过量化用数学的方式表达了出来， (3)类型3：指标趋于某值最好，软类型用3S表 构成偏好函数. 示，硬类型用3H表示： 物理规划的偏好分为四个类型，每个类型由两 (4)类型4：指标在某范围内最好，软类型用4S 种情况组成即“软”型和“硬”型 表示，硬类型用4H表示 (1)类型1：指标越小越好.软类型用1S表示， 如图1所示，图中横坐标为设计目标g,纵坐标 硬类型用1H表示： 为偏好函数f. (a) (b) (c) 可行域 不可 不可 可行域 行域 可行域 不可 行域 行域 (d) (c) (f) 不可 不可 可行域 不可 不可 不可 行 可行域 行域 行域 行城 行域 (g) (h) 可行域 不可 不可 不可 可行域 不 行域 行域 行域 行域 g 图1物理规划偏好函数类型.（类型1,1S(b)类型1,1H:(d类型2.2S:(d)类型2,2H(e)类型3.3S(D类型3.3H:(g)类 型4,4S:(b类型4.4H Fig I Preference function types of physical programming:(a)Class 1.IS;(b)Class 1.1H;(c)Class 2.2S;(d)Chss 2.2H:(e)Clas 3. 3S;(f)Class 3.3H:(g)Class 4.4S:(h)Clas 4.4H 同常规优化系统一样，物理规划定义为对优化 (1)高度期望范围（区域1，g≤g1):可以接 函数取极小值每一类型偏好函数用∫：表示.偏好 受，且高度期望，在此范围内，可以得到最优值： 函数的小值被认为比大值好，其理想点是0 (2)期望范围（区域2g1≤g≤g2小：可以接 1.2偏好的量化 受，且期望： 用数学方式表达数量之间的关系有如下几种形 (3)可容忍范围（区域3，g2≤g≤g3小：可以接 式：使A最小(minA),使B最大(maxB),D小于 受，只能容忍； 等于E(D≤E),F大于等于G(F≥G)或E等于F (4)不期望范围（区域4，g3≤g≤g4小：可以接 (E=F),其中A~F是设计中感兴趣的量.这种表 受，但不期望； 达形式有其局限性，没有表示出对事物的偏好程度. (5)高度不期望范围（区域5，g4≤g≤g5:可 物理规划针对这种局限性，定义了新的术语.这些 以接受，但高度不期望： 术语由6个表示1S和2S的设计目标、9个表示3S (6)不可接受范围（区域6，g≥g5:设计目标 和10个表示4S设计目标的“期望值”组成这些期 不采纳的值的范围. 望值即为满意度的组成内容.以1$情况为例说明 上述情况的函数图形及偏好结构如图2所示. 如下

们就可以将非支配集中可选的解进行排序, 然后获 得最终解, 这个最终解称作最优妥协解.物理规划 把偏好的思想通过量化用数学的方式表达了出来, 构成偏好函数. 物理规划的偏好分为四个类型, 每个类型由两 种情况组成, 即“软”型和“硬”型. ( 1) 类型 1 :指标越小越好, 软类型用 1S 表示, 硬类型用 1H 表示 ; ( 2) 类型 2 :指标越大越好, 软类型用 2S 表示, 硬类型用 2H 表示; ( 3) 类型 3 :指标趋于某值最好, 软类型用 3S 表 示, 硬类型用 3H 表示; ( 4) 类型 4 :指标在某范围内最好, 软类型用 4S 表示, 硬类型用 4H 表示 . 如图 1 所示, 图中横坐标为设计目标 g, 纵坐标 为偏好函数 f . 图 1 物理规划偏好函数类型.( a) 类型 1, 1S;( b) 类型1, 1H ;( c) 类型 2, 2S;( d) 类型 2, 2H ;( e) 类型 3, 3S;( f) 类型 3, 3H ;( g) 类 型 4, 4S ;( h) 类型 4, 4H Fig.1 Preference function t ypes of physical programming :( a) Class 1, 1S ;( b) Class 1, 1H ;( c) Class 2, 2S ;( d) C lass 2, 2H ;( e) Class 3, 3S;( f) Class 3, 3H ;( g) Class 4, 4S;( h) Class 4, 4H 同常规优化系统一样, 物理规划定义为对优化 函数取极小值, 每一类型偏好函数用 f i 表示 .偏好 函数的小值被认为比大值好, 其理想点是 0 . 1.2 偏好的量化 用数学方式表达数量之间的关系有如下几种形 式:使 A 最小( min A), 使 B 最大( max B ) , D 小于 等于E ( D ≤E), F 大于等于G(F ≥G)或 E 等于F ( E =F ), 其中 A ～ F 是设计中感兴趣的量.这种表 达形式有其局限性, 没有表示出对事物的偏好程度 . 物理规划针对这种局限性, 定义了新的术语.这些 术语由 6 个表示 1S 和 2S 的设计目标、9 个表示 3S 和 10 个表示 4S 设计目标的“ 期望值”组成, 这些期 望值即为满意度的组成内容 .以 1S 情况为例说明 如下 . ( 1) 高度期望范围(区域 1, gi ≤gi 1) :可以接 受, 且高度期望, 在此范围内, 可以得到最优值; ( 2) 期望范围( 区域 2, gi1 ≤gi ≤gi2 ) :可以接 受, 且期望; ( 3) 可容忍范围(区域 3, gi2 ≤gi ≤gi 3) :可以接 受, 只能容忍 ; ( 4) 不期望范围(区域 4, gi3 ≤gi ≤gi 4) :可以接 受, 但不期望 ; ( 5) 高度不期望范围(区域 5, gi4 ≤gi ≤gi 5) :可 以接受, 但高度不期望 ; ( 6) 不可接受范围(区域 6, gi ≥gi 5) :设计目标 不采纳的值的范围 . 上述情况的函数图形及偏好结构如图 2 所示. 第 2 期 董书革等:基于偏好设计的物理规划理论 · 251 ·

。252 北京科技大学学报 第31卷 (a) (b) 45 高度 不可 不可高度 不 接受 高度期望一十期望可容忽不 期望期望 接受 期望 不期望 可容忍期望 4?4/ 二高度期望 &n ga 8:4 8i5 (c) (d) 可容忍 可容忍 可容忍 高度可容忍 不可 期望 接受高度 不可 期望 高度接受 不可高度 期望 高度不可 不 期望 不 接受不 不 期望 不不接受 期望期 期望期望 期塑 期望 十工期望期望 8iLs BiLA 8a3 8A2 ga 8 B:R3 BR4 gas 8588a8a88m8a8e8:gs点 图2各类型偏好的量化及偏好函数的期望区域。(a)1S(b)2S:(3)3S,(山4S Fig.2 Quntity and desirable area of preference:(a)IS;(b)2S:(3)3S;(d)4S 2偏好函数的构造 0≤≤1 式中，a和b为严格为正的实数常数 2.1偏好函数的特征 对于“软”类型偏好函数必须有下列特征. 等=二-D 2 8k)一gi(k-1) (1)函数值严格为正： 入=g月一g(k-) (3) (2)一阶导数连续： 其一阶导数为： (3)二阶导数严格为正，保证偏好函数曲线形 状为上凹. 著-+-+：④ 对1S型： 得偏好函数为： (4)一阶导数严格为正，保证函数递增： (5)limf（gi=0. =()()+诗-)月+c特+d 对2S型： (5) (6)一阶导数严格为负，保证函数递减： 式中，四个常量a、b、c和d由下面四个量确定：区 (7)imf(g)=0. 域边界的两个函数值广和两个斜率s张·各区间边 对3S型： 界上的偏好函数值及一阶导数确定方法为： (8)一阶导数有且只有一个0点： f=△=0.1，给初值以小值： (9)在g=g处，f1g=0. △=Bm△fk-”(2≤k≤5： 对4S型： 产=k-V+△产(2k≤5： (10)一阶导数有且只有一个0点，该点在 =g为-g(k-)(k=23,45小； [8L,g区间. S=△f/: 2.21S型偏好函数的构造 si=as7,心0： 该类型偏好函数区域可以通过两个函数表达出 来在区域1(k=1),可以通过衰变的指数函数表 sik=(sik)mim十a△sik(k=2,3,4,5). 达.对于区域2,3,4和5(k=2,3,4,5,采用分 上述式中，变量是第i个设计目标第k段的 段样条的形式，通过在区域左右边界的函数值和斜 平均斜率△表示设计目标第k段的增量，表示 率来构造. 所给设计目标的同一区域的长度，表示了设计目标 根据偏好函数特征，构造如下形式的严格为正 的偏好行为 的二阶导数的分段样条函数形式（例如在k区域）： 求得a、b、c和d的表达式为： 伊 g(产[a(影2+b(贷-1 a=334十s--12 2()3 (6)

图 2 各类型偏好的量化及偏好函数的期望区域.( a) 1S;( b) 2S ;( 3) 3S;( d) 4S Fig.2 Quantit y and desirable area of pref erence:( a) 1S ;( b) 2S ;( 3) 3S;( d) 4S 2 偏好函数的构造 2.1 偏好函数的特征 对于“软”类型偏好函数必须有下列特征 . ( 1) 函数值严格为正; ( 2) 一阶导数连续 ; (3) 二阶导数严格为正, 保证偏好函数曲线形 状为上凹 . 对 1S 型 : ( 4) 一阶导数严格为正, 保证函数递增 ; ( 5) lim g i ※-∞ f ( gi) =0 . 对 2S 型 : ( 6) 一阶导数严格为负, 保证函数递减 ; ( 7) limg i ※∞ f ( gi) =0 . 对 3S 型 : ( 8) 一阶导数有且只有一个 0 点 ; ( 9) 在 gi =gi1处, f/ gi =0 . 对 4S 型 : (10) 一阶导数有且只有一个 0 点, 该点在 [ gL1 , g R1 ] 区间. 2.2 1S 型偏好函数的构造 该类型偏好函数区域可以通过两个函数表达出 来, 在区域 1( k =1), 可以通过衰变的指数函数表 达.对于区域 2, 3, 4 和 5( k =2, 3, 4, 5), 采用分 段样条的形式, 通过在区域左右边界的函数值和斜 率来构造 . 根据偏好函数特征, 构造如下形式的严格为正 的二阶导数的分段样条函数形式( 例如在 k 区域) : 2 f k i g k 2 i =( λk i ) 2 [ a( ξk i ) 2 +b( ξk i -1) 2 ] 0 ≤ξ k i ≤1 ( 1) 式中, a 和b 为严格为正的实数常数, ξ k i = gi -gi( k -1) gi( k ) -gi( k-1) ( 2) λ k i =gi( k) -gi( k -1) ( 3) 其一阶导数为: f k i g k i =( λ k i ) 3 a 3 ( ξ k i ) 3 + b 3 ( ξ k i -1) 3 +c ( 4) 得偏好函数为: f k i =( λk i ) 4 a 12 ( ξk i ) 4 +b 12 ( ξk i -1) 4 +cλk iξk i +d ( 5) 式中, 四个常量 a 、b 、c 和d 由下面四个量确定:区 域边界的两个函数值 f k i 和两个斜率 sik .各区间边 界上的偏好函数值及一阶导数确定方法为 : f 1 =Δf 1 =0.1, 给初值以小值 ; Δf k =βnscΔf ( k -1) ( 2 ≤k ≤5) ; f k =f ( k -1) +Δf k ( 2 ≤k ≤5) ; λk i =gi( k) -gi( k -1) ( k =2, 3, 4, 5) ; s k i =Δf k / λk i ; si1 =αs 1 i , α>0 ; sik =( sik ) min +αΔsik ( k =2, 3, 4, 5) . 上述式中, 变量 s k i 是第 i 个设计目标第k 段的 平均斜率, Δf k 表示设计目标第k 段的增量, λ k i 表示 所给设计目标的同一区域的长度, 表示了设计目标 的偏好行为 . 求得 a 、b 、c 和d 的表达式为 : a = 3( 3 sik +si( k -1) ) -12 s k i 2( λk i ) 3 ( 6) · 252 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第2期 董书革等：基于偏好设计的物理规划理论 253。 612-3十31-2 别讨论如下. 2()3 (7) (1)2S类型是1S类型的镜像. c=28张二-业_$-1)十s1 镜像原理：将偏好结构数值以中心轴为对称轴 8) 2 重新赋值，即将(g1,g12g13,g4,g5)由大到小的 d=38-)一8张_3s-十s6 9) 顺序改为由小到大的顺序（一g1,一g2,一g3, 一g4,一g5:然后采用1S的计算方法，此时得出 整理，最后得到如下形式的函数： 的是1S的偏好函数表达式：再给自变量重新赋负 (g)=Afg:+Bigi+cig+Dig+E (10) 值，即g1=一g,可得出2S的偏好函数表达式 式中，g为第i个设计目标：A,B疏，C,D,E为常 (g,如图3所示. 数系数，经推导计算，表达式分别为： A=一+s张 -4()3+4万 (11) B时-2-” 2 2S 装++别+ - 1] (12) 图3镜像原理示意图 6g-1业3] 习+ Fig.3 Principle of mirmor 导+胡 (2)3S情况是1S和2S类型情况的组合.根据 3S类型的特征，偏好函数在g=g1处的斜率为0： sk-一 3gk-业_9g(k-业_9 因此在推导过程中，将此因素在初值设定时考虑进 2沾)3一2)2一4府 十 去.分别采用两者的计算方法得出结果，然后合成. 「3gik-业3g-业3] 其系数的计算方法同1S类型的推导过程， s2)3 2)249 (13) (3)4S型高度期望区域偏好函数的Hermite插 -[号+别 值方法构造). (2+ Hemite插值多项式是以给定节点上的函数值 -6g-6g+ 以及部分或全部节点的导数值为条件构造而成，其 ()3 ()2了 形成的多项式次数为(2n一1)(n为节点数).数学 「+9gi是+9++ 描述如下. Si(-)3 2(2千2 设两节点a、b,其函数值和导数值分别如下： -++ y(a)=yo,y(b)=yl,y(a)=yo,y(b)=yi. 22+ (14) 根据Hermite插值多项式理论推导，得 器+ B=01+2x二0 x-x12 x1-x0 x0一x1 川器+别 1+2） x-x0 2 家+ x0一x1x1-xo 「--3g-9gi-8-+ yo(x-xo) s-儿一4)-24) x0一x1 +yi(x-x x-x02 x1-x0 「gik-业_gik-业_3gik-] 4S型的高度期望区域[gL,gR],其边界点的 $4)3一2)2—4游门 (15) 偏好函数值设定为初值，其一阶导数经推导得出，根 对于区域L,偏好函数用指数函数形式表达： 据Hermite插值多项式理论，可以构造该区域的函 数表达式.设该区域的边界点的坐标和一阶导数分 fespu,8≤gm (16) 别为：x0=g1I,y0=fL1,y0=f1;x1=g,y1= 2.3其他类型偏好函数的构造 fRl,yI=∫.将这些值代入到三次Hermite插值多 2S、3S和4S类型情况构造方法同1S类似，分 项式表达式中，可得到在该区域的偏好函数，如图4

b = 12 s k i -3( sik +3si( k -1) ) 2( λk i ) 3 ( 7) c =2 gik -gi( k -1) λk i - si( k-1) +si( k) 2 ( 8) d = 3gi( k -1) -gik 2 - λk i ( 3si( k -1) +si( k ) ) 8 ( 9) 整理, 最后得到如下形式的函数: f k i( gi) =A k ig 4 i +B k ig 3 i +C k ig 2 i +D k igi +E k i ( 10) 式中, gi 为第i 个设计目标;A k i , B k i , C k i , D k i , E k i 为常 数系数, 经推导计算, 表达式分别为 : A k i =- si( k-1) 4( λ k i ) 3 + sik 4( λ k i ) 3 ( 11) B k i = 2 f ( k -1) i ( λk i ) 3 - 2 f ( k ) i ( λk i ) 3 +si( k -1) gi( k -1) ( λk i ) 3 + 3 2( λk i ) 2 + sik - gi( k-1) ( λk i ) 3 + 1 2( λk i ) 2 ( 12) C k i =f ( k -1) i - 6g( k-1) ( λk i ) 3 - 3 ( λk i ) 2 + f k i 6gi( k -1) ( λk i ) 3 + 3 ( λk i ) 2 + si( k -1) - 3g 2 i( k -1) 2( λ k i ) 3 - 9gi( k -1) 2( λ k i ) 2 - 9 4 λ k i + sik 3g 2 i( k -1) 2( λk i ) 3 - 3gi( k-1) 2( λk i ) 2 - 3 4 λk i ( 13) D k i =f ( k -1) i 6g 2 i( k -1) ( λk i ) 3 + 6gi( k -1) ( λk i ) 2 + f k i - 6g 2 i( k-1) ( λk i ) 3 - 6gi( k -1) ( λk i ) 2 + si( k -1) g 3 i( k -1) ( λk i ) 3 + 9g 2 i( k -1) 2( λk i ) 2 + 9gi( k -1) 2 λk i +1 + sik - g 3 i( k -1) ( λ k i ) 3 + 3g 2 i( k -1) 2( λ k i ) 2 + 3gi( k -1) 2 λ k i ( 14) E k i =f ( k -1) i - 2g 3 i( k-1) ( λk i ) 3 - 3g 2 i( k-1) ( λk i ) 2 +1 + f k i 2g 3 i( k-1) ( λ k i ) 3 + 3g 2 i( k-1) ( λ k i ) 2 + si( k-1) - g 4 i( k-1) 4( λk i ) 3 - 3g 3 i(k -1) 2( λk i ) 2 - 9g 2 i(k -1) 4( λk i ) -gi(k -1) + sik g 4 i( k -1) 4( λk i ) 3 - g 3 i( k -1) 2( λk i ) 2 - 3g 2 i( k -1) 4 λk i ( 15) 对于区域 1, 偏好函数用指数函数形式表达 : fi =f 1 iexp si 1 gi 1 ( gi -gi 1) , gi ≤gi1 ( 16) 2.3 其他类型偏好函数的构造 2S 、3S 和 4S 类型情况构造方法同 1S 类似, 分 别讨论如下 . ( 1) 2S 类型是 1S 类型的镜像 . 镜像原理 :将偏好结构数值以中心轴为对称轴 重新赋值, 即将( gi1, gi 2, gi 3, gi4, gi5 )由大到小的 顺序改 为由小到大的顺 序( -gi1, -gi2, -gi3, -gi 4, -gi 5) ;然后采用 1S 的计算方法, 此时得出 的是 1S 的偏好函数表达式 ;再给自变量重新赋负 值, 即 gi = -gi , 可得出 2S 的偏好函数表达式 f k i ( gi), 如图 3 所示 . 图 3 镜像原理示意图 Fig.3 Principle of mirror ( 2) 3S 情况是 1S 和 2S 类型情况的组合.根据 3S 类型的特征, 偏好函数在 gi =gi1处的斜率为 0 ; 因此, 在推导过程中, 将此因素在初值设定时考虑进 去 .分别采用两者的计算方法得出结果, 然后合成. 其系数的计算方法同 1S 类型的推导过程 . ( 3) 4S 型高度期望区域偏好函数的 Hermite 插 值方法构造[ 5] . Hermite 插值多项式是以给定节点上的函数值 以及部分或全部节点的导数值为条件构造而成, 其 形成的多项式次数为( 2n -1) ( n 为节点数) .数学 描述如下. 设两节点 a 、b, 其函数值和导数值分别如下: y( a) =y 0, y ( b) =y 1, y′( a) =y′0, y′( b) =y′1 . 根据Hermite 插值多项式理论推导, 得 H3 =y 0 1 +2 x -x 0 x 1 -x 0 x -x 1 x 0 -x 1 2 + y 1 1 +2 x -x 1 x 0 -x 1 x -x 0 x 1 -x 0 2 + y′0( x -x 0) x -x 1 x 0 -x 1 2 +y′1( x -x 1) x -x 0 x 1 -x0 2 . 4S 型的高度期望区域[ g L1 , gR1 ] , 其边界点的 偏好函数值设定为初值, 其一阶导数经推导得出, 根 据 Hermite 插值多项式理论, 可以构造该区域的函 数表达式.设该区域的边界点的坐标和一阶导数分 别为:x 0 =gL1 , y 0 =f L1 , y′0 =f′L1 ;x 1 =g R1 , y 1 = f R1, y′1 =f′R1 .将这些值代入到三次 Hermite 插值多 项式表达式中, 可得到在该区域的偏好函数, 如图 4 第 2 期 董书革等:基于偏好设计的物理规划理论 · 253 ·

。254 北京科技大学学报 第31卷 所示. s.t.g(x)=12-x7-x-x,0≤x≤5. 其中，优化目标函数分别为： f1(x=6-[x+x1+x2+x3+x2+x]/10, 2(x)=10-[x+xi(2+x1十x3)十2x升x/10, f3(x=15-[x+x33十x1+x2+x3+3x/10. 给定设计目标的偏好区间边界如表1所示. 图44S类型高度期望区域的Hermite插值构造 表1设计目标偏好结构 Fig.4 Hemite formation of 4S in a high desirabe area Table 1 Preference structures of design obpcts 在[g1s,gL】[g,gs]两区域内，分别使用 设计 偏好 偏好区间边界值 2S和1S类型偏好函数的构造方法构造函数.最后 目标类型ga 82 83 g14 g15 4S类型的偏好函数是由三个函数段组成 3 425 6 7.5 9 f2 IS 3.7 7 9.25118 125 3综合偏好函数及物理规划数学模型 IS 612 1518 20 构建综合偏好函数的目的是构建一个反映每一 个类型偏好函数所能表达的优先或重点1.直接 根据表1中的数据，构造各类型的偏好函数，本 的方法是，把每个类型偏好函数相加并取对数（以 问题全部为1S类型的偏好函数，根据物理规划系数 10为底或自然对数)，综合偏好函数实际最小化形 推导，经计算，得出三个偏好函数的分段系数为（第 式如下： 一个设计目标)： [A作B阶CD片E的= F(x)=n fHg:(x}或 「0.0656-1.04686.3684 -16.9982 16.7328 0.0444-1.00248.6113 -31.985643.3961 (17) 0.5248-15.0938163.9410-789.13651415.5733 S.t. L2.1491-74.6993978.4270-5688.906912355.8824 g(x)≤gi5(1S型) (18) 其余两个系数推导同理，略. g(x)≥g5(2S型 (19) 然后构造综合偏好函数作为优化目标使用遗 85L≤g(x)≤g5R(3S型) (20) 传算法对模型优化求解，得到优化解为： x=(2.5577,0.9152.2.1488). g5L≤g(x)≤g5R(4S型) (21) 对应的设计目标值为： g(x)≤gM(1H型) (22) fx)=(0.5878,6.6135,7.2711). g(x)≥gm(2H型) (23) 从结果可以看出，第一个设计目标值在高度期 g(x)=gv(3H型) (24) 望区域内，其余两个设计目标值都在可容忍区域内， 8m≤g(x)≤gM(4H型) (25) 尽管不是设计最理想状态，但结果还是可以接受的. xjm≤x≤rM(设计变量约束) (26) 5结论 式中，x=[x1,x2,；xn,设计变量矢量；F(x) 为综合偏好函数，欲优化的函数：fg(x]为各类 通过对各类型偏好函数的量化推导，建立了各 型偏好函数；g:(x)为设计目标、约束条件；gm·gM、 类型的偏好函数表达式，表达式为分段的以目标为 xjm和M表示最小和最大值；g为等式约束. 变量的高次多项式.把各类型偏好函数组合，建立 式(17)~(26)即为物理规划数学模型.模型遵 了综合偏好函数，从而确定了基于偏好设计的物理 循多数非线性规划框架结构，可以用标准优化方法 规划数学模型，可以采用标准优化方法求解. 求解. 物理规划是一种解决多目标的、依据工程实际 4算例分析 需要建立优化数学模型的方法.在应用中，设计者 可以根据需要建立不同类型的偏好函数，在优化计 多目标优化的数学模型为： 算时可以反复调整满意度区间，观察结果，最终以求 minF(x)=[f(x),f2(x),f3(x)], 出满意解为止

所示 . 图 4 4S 类型高度期望区域的Hermite 插值构造 Fig.4 Hermite formation of 4S in a high desirable area 在[ gL5 , g L1 ] 、[ g R1 , g R5 ] 两区域内, 分别使用 2S 和 1S 类型偏好函数的构造方法构造函数 .最后 4S 类型的偏好函数是由三个函数段组成 . 3 综合偏好函数及物理规划数学模型 构建综合偏好函数的目的是构建一个反映每一 个类型偏好函数所能表达的优先或重点[ 8-10] .直接 的方法是, 把每个类型偏好函数相加并取对数( 以 10 为底或自然对数) .综合偏好函数实际最小化形 式如下: F ( x) =lg 1 n sc ∑ n sc i =1 fi[ gi( x)] 或 F ( x) =ln 1 nsc ∑ n sc i =1 fi[ gi( x)] ( 17) s.t . gi( x) ≤gi 5 ( 1S 型) ( 18) gi( x) ≥gi 5 ( 2S 型) ( 19) gi 5L ≤gi( x ) ≤gi5R ( 3S 型) ( 20) gi 5L ≤gi( x ) ≤gi5R ( 4S 型) ( 21) gi( x) ≤giM ( 1H 型) ( 22) gi( x) ≥gi m ( 2H 型) ( 23) gi( x) =gi v ( 3H 型) ( 24) gim ≤gi( x) ≤giM ( 4H 型) ( 25) xj m ≤xj ≤xjM (设计变量约束) ( 26) 式中, x =[ x 1, x 2, …, xn] T , 设计变量矢量 ;F ( x ) 为综合偏好函数, 欲优化的函数;fi[ gi( x )] 为各类 型偏好函数;gi( x)为设计目标 、约束条件 ;gim 、giM 、 x jm和 xjM表示最小和最大值;giv为等式约束 . 式( 17) ～ ( 26)即为物理规划数学模型.模型遵 循多数非线性规划框架结构, 可以用标准优化方法 求解 . 4 算例分析 多目标优化的数学模型为 : minF( x ) =[ f 1( x), f 2( x), f 3( x)] , s .t .g( x) =12 -x 2 1 -x 2 2 -x 2 3, 0 ≤xi ≤5 . 其中, 优化目标函数分别为 : f 1( x) =6 -[ x 3 1 +x 2 1( 1 +x 2 +x 3) +x 3 2 +x 3 3] /10, f 2( x) =10-[ x 3 1+x 2 2(2 +x 1+x 3) +2x 3 2+x 3 3] /10, f 3( x) =15-[ x 3 1+x 2 3(3 +x 1+x 2) +x 3 2 +3x 3 3] /10 . 给定设计目标的偏好区间边界如表 1 所示 . 表 1 设计目标偏好结构 Table 1 Preference structures of design objects 设计 目标 偏好 类型 偏好区间边界值 g i1 gi2 gi3 gi4 g i5 f 1 1S 3 4.25 6 7.5 9 f 2 1S 3.7 7 9.25 11.8 12.5 f 3 1S 6 12 15 18 20 根据表 1 中的数据, 构造各类型的偏好函数, 本 问题全部为 1S 类型的偏好函数, 根据物理规划系数 推导, 经计算, 得出三个偏好函数的分段系数为(第 一个设计目标) : [ A k 1 B k 1 C k 1 D k 1 E k 1] = 0.065 6 -1.046 8 6.368 4 -16.998 2 16.732 8 0.044 4 -1.002 4 8.611 3 -31.985 6 43.396 1 0.524 8 -15.093 8 163.941 0 -789.136 5 1 415.573 3 2.149 1 -74.699 3 978.427 0 -5 688.906 9 12 355.882 4 其余两个系数推导同理, 略 . 然后构造综合偏好函数作为优化目标, 使用遗 传算法对模型优化求解, 得到优化解为: x =( 2.557 7, 0.915 2, 2.148 8) . 对应的设计目标值为: f ( x) =( 0.587 8, 6.613 5, 7.271 1) . 从结果可以看出, 第一个设计目标值在高度期 望区域内, 其余两个设计目标值都在可容忍区域内, 尽管不是设计最理想状态, 但结果还是可以接受的. 5 结论 通过对各类型偏好函数的量化推导, 建立了各 类型的偏好函数表达式, 表达式为分段的以目标为 变量的高次多项式 .把各类型偏好函数组合, 建立 了综合偏好函数, 从而确定了基于偏好设计的物理 规划数学模型, 可以采用标准优化方法求解. 物理规划是一种解决多目标的 、依据工程实际 需要建立优化数学模型的方法 .在应用中, 设计者 可以根据需要建立不同类型的偏好函数, 在优化计 算时可以反复调整满意度区间, 观察结果, 最终以求 出满意解为止. · 254 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷