多段法渗碳扩散方程的解析解及其物理意义

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2000.06.022 第22卷第6期 北京科技大学学报 Vol.22 No.6 2000年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2000 多段法渗碳扩散方程的解析解及其物理意义 刘苏南”李云) 1)安徽大学自动化系，合肥2300392)合肥工业大学材料工程系，合肥230009 摘要运用线性偏微分方程的可迭加性质，对炉内物体的渗碳过程的多段时间渗碳方程进 行求解，得到在第3类边界条件下的碳浓度分布函数.用此方法能够描述逐段时间渗碳扩散方 程在各时段的物理行为， 关键词多段法渗碳：扩散方程；碳浓度分布 分类号0658.5 文献标识码：A 应用线性偏微分方程的可迭加性质得到的 式中，c(化，)为碳浓度分布函数：B,为物质传递系 碳浓度分布函数可以描述多段法渗碳过程的本 数：D为扩散系数；c(=l,2,…,n)为气氛碳势. 质：能够为应用计算机模拟跟踪技术对整个渗 由于该偏微分方程和定解条件都是线性 碳过程加以控制提供理论模型：为对渗层质量、 的，所以适用迭加原理.因此，c(化，)可以被分解 渗层深度和渗碳时间等技术参数进行优化设 成： 计，进而为渗层的质量控制和省时节能、提高效 c(x,)=c(x,tc(x,)t…+cx,t十…+cx,t)(4) 益提供一定的数学理论参考依据. 其中，C1,C2,c,…,Cn分别满足下列方程： 以往，对于多段法渗碳扩散方程多用数值 器-D器 0<x,0<t 计算法求解，本文采用解析法来求解多段法渗 碳的扩散方程， L-%e00-10st c(x,0)=0 0≤x 1渗碳扩散方程求解 假设在各段的渗碳过程中，炉内各点气氛 -D ∂t 0<x,0<t (5) 碳势分布均匀且分别始终保持不变，扩散系数 0 0≤t≤t-1 D不随碳浓度而变化；又设工件表面为平面，工 o (6) 件的原始碳浓度为零.多段法气体渗碳的定解 2l8 i-6】ka 问题可用下列各式表示： cx,0)=0 0≤x Ox 0<x,0<t (1) t0-e 0ts 0c.=DDic Ot 0x 0<x,0<t 8a0,小cal4ss4 0 oc 0≤t≤tn-1 Bc 2L{8c00--c】kt (2) p0 t c(x,0)=0 0≤x 式中，i=1时t=0,c0=0. 用Laplace变换求解上述方程.对式(l)应 月a0,-c16 用迭加原理，要求在时间段0≤t≤t-1内，cx,)= cx,0)=00≤x (3) 0,这相当于有一个时间延迟，即： c-1)-cx) 0 0≤t≤t-1 2000-0420收稿刘苏南男，46岁，讲师 故设c,的Laplace变换为：

第 22 卷 第 6 期 20 0 年 12 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u ur a l o f U n iv e sr iyt o f cS le n ce a n d eT c h n o lo gy B iej in g V b l 一 2 2 D eC 。 N 0 . 6 20 0 多段法渗碳扩散方程 的解析解及其物理意义 刘 苏南 ` , 李 云 2 , 1 )安徽大学 自动化系 , 合肥 2 3 0 0 39 2) 合肥工业大学材料工程系 , 合肥 23 0 09 摘 要 运用线 性偏 微 分方 程的可迭 加性 质 , 对 炉 内物 体 的渗碳过程 的 多段 时 间渗碳方 程进 行 求解 , 得到 在第 3 类 边界 条件下 的碳 浓度 分布 函数 . 用 此方法 能够 描述 逐段 时 间渗碳 扩散 方 程在各 时 段 的物理 行 为 . 关键词 多段 法渗碳 ; 扩散 方程 ; 碳 浓度 分布 分类 号 0 6 58 .5 文献 标识码 : A 应用线性偏微分 方程 的可迭加性质 得到的 碳浓度分布 函数可 以描述 多段法渗碳 过程的本 质 ; 能够为应用 计算机模 拟跟踪技 术对整个 渗 碳过程加 以控制提供理论模型 ; 为对渗层质量 、 渗层 深 度和 渗 碳 时 间等技 术 参 数进 行优 化 设 计 , 进 而为渗层 的质量控制和省 时节能 、 提高效 益提供 一定 的数 学理论 参考 依据 . 以往 , 对 于多段法 渗碳扩散 方程 多用数 值 计算 法求解 , 本文采用 解析法来 求解多段法 渗 碳 的扩散方程 . 式 中 , c x(, )t为碳浓度分布 函 数 ;尽为物质传递系 数 ; D 为扩 散系数 ; 马 , ( =1 1 , 2 , … , n) 为气氛碳势 . 由于 该 偏 微 分方 程 和 定解 条 件 都 是线 性 的 , 所 以适用迭 加原理 . 因 此 , c x(, )t 可 以被 分解 成 : c x( , t) = cl x( , t) + 伪x( , t) 十 … + cl x( , t) + … + cn x( , t) ( 4 ) 其 中 , c l局 , … 。 , … , ` 分别满足 下 列方程 : 、少. 、产、少、. 勺ù 67 了.、 矛 ` 、 一C 了、. ō 亡Oq l 价ǎlJ 一尔月八J 洲直口」刀 、`自卜. . t 下饥ac, 卜一丫八」CnJ 大r 0J 凡口五 I 、自卜,`. . . ` 1 渗碳扩散方程求解 假设在各段 的渗碳 过程 中 , 炉 内各 点气 氛 碳势分布均 匀且分别始 终保持不 变 , 扩 散系数 D 不随碳浓度而变化 ; 又 设工件 表面为平面 , 工 件 的原始 碳浓度 为零 . 多段 法气体渗碳 的定解 问题可用 下列各式表 示 : a e _ 刁 Z e 常 一 兴括 o “ , o t< ( 1) 鲁 一 啥 ”气 0 t< 鲁l _ 号 〔一`0 , t) 一马 ` 〕 。“ e l以 , 0 ) = 0 0 ` x 口以 , 0) = 0 0众 , 0 t< 0 三 t 三乙 一 1 〔c,{ 0, )t 一 c(0 i一助 一 l)] 丸 一 l t< 0三 X 会 〔 。 ( o , t) 一。 1 〕 会 〔 c ( o , t) 一、 : 0 5 t 感 t l a氏 _ 币丁一 0众 , Ot< 0 三 t 三 九 _ 1 lt 三 t 三 九 旦鱼 } 刁无} , 几 一 1 < t 鱼 } 刁无*} 会 〔。 ( 0 , t) 一 `、 一 、 一 ,, 会 〔 。 `o , ” 一马 ` 〕 ( 2 ) 氏x(, 0) = 0 0` x 丸 一 1有三 it 套c([ 。 , t) 一 、 〕 上 ` 产 九 一 1 t< 丛九 c x( , 0) = 0 0 ` x ( 3 ) 式 中 , =1 1 时 t = 0 , 命 = .0 用 L aP lac e 变换求解上 述方程 . 对式 ( l) 应 用迭加 原理 , 要 求在 时间段 0习` lt 一 , 内川众 , t) = 0 , 这相 当于有一个 时 间延迟 , 即 : e , X( , t 一 it 一 1 ) = 0 c ,x( , t) 0 三 t 三 it _ 1 it _ 一< t 20 0 -0 04 一 20 收稿 刘 苏南 男 , 46 岁 , 讲师 故设 cl 的 L ap lac e 变 换为 : DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2000. 06. 022

·570· 北京科技大学学报 2000年第6期 HcAx,t))=e-"-F(x,s). 考虑到， e+-小 K)-exp(-s-)sF-exp-st-)c(r.0)- t-<t(14) exp(-st-1)sF1. 当i=1时，co=co. 所以，满足初始条件(7)时，式(5)的象方程 如下： 2对渗碳扩散方程解的讨论 =0 (8) (1)由(14)式所示碳浓度分布函数的物理意 式(8)所示偏微分方程的一般解为： 义可以理解为：任一多段渗碳过程，都是由一系 F(x,s)=Aexp(-/s/Dx) (9) 列在碳势差(cp一c-)下，渗碳时间段(t-t-)内 对式(9)求偏导数，有 增碳（或脱碳）的贡献的迭加. 渠=-A√5Dexp(-VsDx) (2)在式(14)中，当B→0时，其中的指数项 ∂x (10) 边界条件式(6)的象方程为： 与余误差函数项的乘积趋于零.即有 6p-82- emp-唱F0-e(--品crcn, erfef+2 -2t。wn「x+22 lim 2Di -m0-” 即L=合F086-ew月 - -o+2h (11) D exp- Er±ftl D 将式(9)，(10)代入式(11)，得 x exp4D -AD=A号是e,-小. 2yD@m+2形 2=0 πB- 解得系数A: 因此，式(14)变为 A=-B(Cu-C-D) er(15) B√8 -1<t 所以，式(8)的解为： 实际上，当物质传递系数B+∞时，意味着 )ecac-√哥 工件表面碳浓度在瞬间就达到炉内碳势值C, 这时，第3类边界条件(2)就退化为第1类边界 因而有 条件： 0≤t≤t I{cAx,t))=exp(-st-1)F(x,s)= Cm o-62时←√剧12 CP h<tsh B√8 c(0,)= (16) Cy t-<t≤t 查Laplace变换表得 1-ex(-D▣=D n2台a Cpn ta-1<t≤tn 其实，式(15)也可以从以式(16)为边界条 erte 2D:/Di DB Bt 件的渗碳扩散方程直接解出. 式中，erfc(x)为余误差函数.所以 另外，在t是足够长的深层渗碳条件下，式 cKx,t)=I-[exp(-st-1)F(x,s)]=(cp-cp-1)x (14)中的指数项与余误差函数项的乘积也是可 is-k x 以忽略不计的.因为 en27-品oc-j 00 (13) 器 将式(13)代入式(4)，并考虑到初始条件为 lim- 益凯。 =lim xt]。xB Bt] c(x,O)=c的情况，即可得到多段滲碳碳浓度分 DD -Dexp-节-D 布函数： 在这种情况下，也可以按第1类边界条件 下的情况进行计算.当B-0,n=2时，式(15)为：

北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 年 第 ` 期 l{ e 口 x( , t)} = e 一 ` 名x( 力 . 考虑到 , ·。 }令今 卜 。一 , ` 小 a 。 、 l 飞币了1 = e xP ( 一 slt 一 1 ) s只 一 e x P (一 st 一 1 ) ` 众 ,0) = e x P(一 s乙 一 J成 . 九 一 , < t ( 14 ) 当 i = 1 时 , 命 = co . 所 以 , 满足初 始条件 ( 7) 时 , 式 (5 ) 的象方程 如 下 : sF, 一 嚼 ( 8 ) 式 (8 )所 示偏微分方 程 的一般 解为 : 只 x( 力 = Ae xP (一 而疾 ) 对式 ( 9) 求偏导数 , 有 ( 9 ) a只 J ~ , 一 、 ~ 瓦一 一d V sl 口 弓x P气一 V ~ ) 边界条件 式 ( 6) 的象方程 为 : ( 1 0 ) 2 对渗碳扩散方程解的讨论 ( l) 由 ( 14 ) 式所示碳浓度分布 函数 的物理意 义可 以理解为 : 任一 多段渗碳过程 , 都是 由一系 列在碳势 差 (印一咖 一 l) 下 , 渗 碳时 间段 (t 一 lt 一 J 内 增碳 ( 或 脱碳 ) 的贡献 的迭 加 . (2 )在 式 ( 14) 中 , 当刀一 。 时 , 其 中的指 数项 与余误 差 函数 项 的乘积趋 于零 . 即有 一、扩一匹JJ 洲巫红 D竺 ù l r l 、 . 腼加 曰且. 产 刁主., è、了且、 一伽一 exP (一 slt 一 , 嚼} _ - exP (一 slt 一 l 令(0,s 卜 xeP (一 slt 一 会 勺 。 , 刁只 } B 一 , 。 、 B , 即 芍万 . } , = 方 厂 `山刀一 护吩一 , l) 将 式 ( 9 ) , ( 1 0 )代 入式 ( 1 1 ) , 得 腼阮{今嗒刁 . iefc {片知要币刘{ - 声, 。 t 、 “ 口 , 铸 V 口` 口 月 匕彻 一 Z t e 。 { 鱼 匕继工 _ }名黔!! 一 A俪 一 A会 一贪 。 一、 一 1) . 解得系 数 A : , _ 斑蜘一彻 一 l) ” -可哥周 ` 卫澳* V , L 声一 工+ 2嘴 因此 , 式 ( 14 )变为 1 cx( , 。 一 +c0 会cw( 一 、 一 lef) 际表石! ( 15 ) tn _ 1 < t 所 以 , 式 (8 ) 的解为 : · .x( , = 戴黔! 一! 一 周 命c0l · 因而有 二 l{ e众 ,)t 卜 e xP (一 slt 一 1冰 x(, s) = 实 际上 , 当物 质传递 系数刀, 。 时 , 意味着 工件 表面碳 浓度 在瞬 间就达 到炉 内碳势值 今 , 这 时 , 第 3 类 边界条件 ( 2) 就退 化为第 1类 边界 条件 : 一`一碳蓄瞻! e xP ( 一 周 ( `’ ) 查 L即lac e 变 换表得 l一 { 旦黯黯} 一 争改闹 - 争xP 险刹 e fcr }病蜡问 . 试O , 。 一 … 0 三 t 蕊 t , lt < t 三九 今 lt 一 l< t 三 t ( 1 6 ) 命 九 一 l< t 兰 ` 式 中 , 盯丘 x() 为余误 差 函数 . 所 以 口 以 , t) = l 一 , e[ xn( 一 s lt 一 l )F, x( ,s )」= (命一 今卜 1办 x { · * 际表司一…令噜 (卜 `一 ,卜 cefr 陆六浩 ~ j} 其 实 , 式 ( 15) 也可 以从 以式 ( 16) 为边 界条 件 的渗碳扩 散方程直接 解 出 . 另外 , 在 t 是足够 长 的深层 渗碳条件下 , 式 ( 14 ) 中的指数项 与余误 差函 数项的乘积 也 是可 以忽 略不计 的 . 因 为 妙 xP !令嗒刁 . efcr {病蜡司 - 将 式 ( 13) 代入式 ( 4) , 并考 虑到初始条件 为 c x( ,0 ) = c0 的情况 , 即 可得到 多段渗碳碳 浓度 分 布 函 数 : 妙骥蓦 吵掣纂 0 . cx( , 。 一 +c0 郭 一 、 一 l) { efcr !弱沈) - 在 这种情况 下 , 也可 以按第 1 类 边界条件 下 的情况进行计算 . 当刀` ao , n =2 时 , 式 ( 15) 为 :

Vol.22 No.6 刘苏南等：多段法渗碳扩散方程的解析解及其物理意义 ·571· dcel=atea-aleuinlvn} 不渗碳也不脱碳，只是在：时刻才开始渗碳， (⑧)当x一∞时，c(o,)=co,表示这时工件心部 ca-erfe√Dt- (17) 的碳浓度仍是原始的浓度， 这是两段法渗碳的碳浓度分布函数.下面 以式(17)为例，进一步讨论碳浓度分布函数的 3结束语 物理意义， 本文应用迭加原理求解气体渗碳扩散方程 (3)式(17)的物理意义，就是在(c-c)碳势 所得到的碳浓度分布函数式(14)，可以用来对多 差下，0≤t时间段内渗碳与在(c一c1)碳势差下， 段渗碳、脉动渗碳的渗层质量、层深和渗碳时间 (t一)段时间内渗碳的碳浓度分布函数的迭加， 等工艺技术参数进行优化设计，还可作为评定 若cc1,即以(ce一ci)碳势差作为渗碳动力源； 渗碳扩散方程的数值解的一个参考依据.此外， 反之，若c<cp1,则为脱碳气氛. 这里解渗碳扩散方程所采用的方法也可用来解 (④当-h时，xl)-c+cn-ek2D 多周期循环气体氨化的偏微分方程. 这是第1段渗碳终了时刻的碳浓度分布. 参考文献 (5)当t一o时，cx,∞尸co+cp1-co+cp2-C=C2, 这是渗穿了的极限情况，工件心部碳浓度最终 1梁昆淼.数学物理方法第3版.北京：高等教育出版 与其表面碳浓度趋于一致且等于第2阶段的碳 社杜，1998 势. 2吴崇试.数学物理方法北京：北京大学出版社，1999 3《数学手册》编写组.数学手册.北京：人民教育出版社， (6)当ca=c1l时，cc,tco+(cl-co)erfc[x/(2× 1979 √D],这时，两段渗碳碳势一致，实质上第2段 4美国金属学会主编.金属手册一加工工艺与通用资 就是第1段渗碳过程的延续， 料.北京：机械工业出版社，1985 (T当c1=c时，c(x,)=Co+(Cp2-co)erfc[x/(2× 5中国机械工程学会热处理学会《热处理手册》编委会 √Dt-)],这种情况下，在0≤t≤t段时间内既 编.热处理手册.北京：机械工业出版社，1991 Solution of Multiperiod Carburization Diffusion Equation LIU Sunan,LI Yun 1)Department of Automation of Anhui University ,Hefei 230039,China 2)Depart.of Material Engineering of Tech.Univ.,Hefei 230009,China ABSTRACT Using the superposition property of linear partial differential equation finds the solution of piecewise-time-carburization diffusion equation for the carburizating process of the objects in oven,and obta- ins the carbon concentration distribution function with the boundary condition of type 3.The method can de- scribe the physical behavors of the piecewise-time-carburization diffusion equation in each time in terval. KEY WORDS piecewise-carburization;diffusion equation;carbon concentration;distribution function

、 b lJ Z N 0 . 6 刘 苏 南等 : 多段法 渗 碳扩 散方 程的解析 解及 其 物理 意义 cx(, 。 一 c0K col 一 c0) ` 翩 + *c( 一 动` 命渝卜lt< 不渗碳 也不脱碳 , 只 是在 lt 时刻才 开 始渗碳 . (8 ) 当x , 。 时 , 试co , t) = c0 , 表示 这时工件心部 (1 7) 的碳 浓度仍 是原始 的浓度 · 这 是两段法渗 碳 的碳浓度 分布 函数 . 下 面 以式 ( 17 ) 为例 , 进一步讨 论碳浓度 分布 函数 的 物 理意义 . (3 ) 式 ( 1 7) 的物 理意 义 , 就是在 ( 几 ,一 c0 )碳 势 差下 , 0 ` t 时间段 内渗碳与在 (命一马 1 )碳势差下 , (t 一 t l ) 段时间 内渗碳 的碳浓度分布 函数 的迭加 . 若命> 马 1 , 即 以 cw( 一 vcl ) 碳 势差作为渗碳动 力源 ; 反之 , 若` pZ C< p , , 则 为脱碳气氛 . (4) 当 t一毗匆+=c)0 饰一 coe) fcr 翩 , 这是第 1 段 渗碳终 了时刻 的碳浓度分 布 . (5 ) 当 t , 二 时 , 雌 , 。 卜+c0 马 1一 +c0 命一 .cl = 咖 , 这是渗 穿了 的极 限情况 , 工件心 部碳浓度最 终 与其表面碳 浓度趋 于一致且等于第 2 阶 段的碳 势 . (6 ) 当 命 = 马 , 时 , 心声卜局+ (马 l一 c0 ) e到允眯汉Z x 抓面)」 , 这时 , 两段 渗碳碳势 一致 , 实质上 第 2 段 就是第 1 段渗 碳过程 的延续 . (7 ) 当 几 , = c0 时 , 心 , t) = c o+ (命一 c0 ) e ir 允眯汉Z x 涯石而)」 , 这 种情况下 , 在 。` 侣 t : 段 时间 内既 3 结束语 本文应用迭加 原理求解气体 渗碳扩散方程 所得 到的碳浓 度分布函 数式( 14 ) , 可 以用 来对 多 段渗碳 、 脉动渗碳的渗层质量 、 层深和渗碳 时间 等工 艺技术 参数进行优化 设计 , 还 可作为评定 渗碳 扩散方程 的数值解 的一个参考 依据 . 此 外 , 这里 解渗碳扩散方程所采用 的方法也可用来解 多周 期循 环气体氮化 的偏微 分方程 . 参 考 文 献 l 梁 昆森 . 数 学物 理方 法 . 第 3 版 . 北京 : 高等 教育出版 社 , 19 98 2 吴崇 试 . 数 学物 理方 法 . 北京 : 北京 大学 出版 社 , 19 9 3 《数学 手册》编 写组 . 数 学手册 . 北京 : 人 民教育出版社 , 19 7 9 4 美 国金属 学会 主编 . 金属 手册— 加 工工艺 与通 用资 料 . 北京 : 机械工 业 出版社 , 19 85 5 中 国机械 工程 学会热 处理 学会 《热 处理 手 册》编 委会 编 . 热处 理手 册 . 北京 : 机械 工业 出版社 , 19 91 S o lut i o n o f M u l t iP ier o d C a r b iur z at i o n D i肋 s i o n E qu at lon U U uS n a n , ), lL uY n 2) l )D eP . 由口 e n t o f Aut om iat on o f A n h u 1 U n l v esr iyt 尹 e fe i 2 3 00 39 , C h in a Z ) D e P art . o f M at e ir ia E n ign e已 n n g o f eT e h . U n i v . , eH fe i 2 3 0 0 09 , Ch l n a A B S T R A C T U s ing ht e s u P e pr os it on P r o P e yrt of lin e ar P叭l a l id fl 笼r e n t l al e q u a t lon if n d s ht e so lut in n of iP ec ew is e . t il n e 一 c 田七u ir az t ion id 肋is on e ql 坦 t ion for ht e c田七也住掀运9 Pr o ce s of ht e o bj e cst in o v e n ,阴d o b at - isn ht e c ar b on c ocn e ntr iat on id s itr b ut lon 丘m e t l o n w iht ht e b o un ds 灯 c o n d it on of yt Pe 3 . Th e m e ht o d c an de - s e ir b e ht e Phy s i c al b he a v o r s o f ht e Pi e e ew i s e . t im e 一 e ar b u ir 乙鱿lon id 伪 s ion e qu a t l o n in e a e h t il n e in t e vr a l . K E Y WO R D S iP ec ew is e 一 c aJ 七u ir 乙欲lon ; id n h S lon e qu at ion ; c ar b on c ocn e n tr a t ion ; id s itr b u t lon fu n ict on