免费下载网址htt:/ Xiaoxue5uws68com 、创设情境导入新课 我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等,那么除此之外还有没有其它方 法可以判定两个三角形全等?我们来看下面的问题 如图,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO A 的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合 呢? 不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的: AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO 如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为 图2 OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以 点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合 从上面的例子可以引起我们猜想:如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相 等,那么这两个三角形全等 、合作交流解读探究 上述猜想是否正确呢?不妨按上述条件画图并作如下的实验: 活动1:画△ABC,∠B=60°,BC=7cm,AB=5cm,用剪刀剪下来,看一下同桌 的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系 由活动1:让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。 边角边判定定理: 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”) 活动2:在△ABC与△A′B′C′中,若AB=A′B′AC=A′C′∠B=∠B′ 观察△ABC与△A′B′C′是否全等。(强化类比“SAS”)由学生观察总结出“边 角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应 相等才能判定两三个角全等 、应用迁移巩固提高 【例1】填空 (1) )如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA, 需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是 还需要一个条件 (这个条件可以证得吗?). (2)如图4,已知AB=AC,AD= A AE,∠1=∠2,要用边角边公理证 明△ABD≌ACE,需要满足的三个条 件中,已具有两个条件: (这个 3 条件可以证得吗?) 【例2】已知:如图5,AD∥BC,AD=CB. 求证:△ADC≌△CBA 问题:如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么 要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条 件(AF=CE或AE=CF)?怎样证明呢? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 一、创设情境 导入新课 我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方 法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题： 如图，AC、BD 相交于 O，AO、BO、CO、DO 的长度如图所标，△ABO 和△CDO 是否能完全重合 呢？ 不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的： AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO． 如果把△OAB 绕着 O 点顺时针方向旋转，因为 OA＝OC，所以可以使 OA 与 OC 重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以 点 B 与点 D 重合．这样△ABO 与△CDO 就完全重合． 从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相 等，那么这两个三角形全等． 二、合作交流 解读探究 上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验： 活动 1：画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌 的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系 由活动 1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。 边角边判定定理： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 活动 2：在△ABC 与△A＇B＇C＇中，若 AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇, 观察△ABC 与△A＇B＇C＇是否全等。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边 角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应 相等才能判定两三个角全等。 三、应用迁移 巩固提高 【例1】填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA， 需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是 ___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)． (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝ AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证 明△ABD≌ACE，需要满足的三个条 件 中 ， 已 具 有 两 个 条 件 ： _________________________( 这 个 条件可以证得吗？)． 【例2】已知：如图5，AD∥BC，AD＝ CB． 求证：△ADC≌△CBA． 问题：如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么 要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条 件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
免费下载网址htt:/ Xiaoxue5uws68com 例3】已知:AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:△ABD≌△ACE 探究 我们知道,两垃和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边 及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 学生讨论,教师归纳 可通过画图来回答这个问题,如图,图中△ ABD与△ABC满足两边及其中一边的对角对应相等, 但显然这两个三角形不全等 这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两 个三角形不一定全等 【练习】课本P10练习 四、总结反思拓展升华 1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件 2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、 公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理. 五、课堂作业 P1534 教学理念/反思 第5课时三角形全等的判定(4) 教学 1.三角形全等的条件:角边角、角角边 2.三角形全等条件小结 目标|4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明向题 教学重点已知两角一边的三角形全等探究 教学难点灵活运用三角形全等条件证明 教学互 设计意图 创设情境导入新课 1.复习:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况? 三个角、三个边、两边一角、两角一边 (2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 【例 3】已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图 4)．求证：△ABD≌△ACE． 【探究】 学生讨论，教师归纳 可通过画图来回答这个问题，如图，图中Δ ABD 与ΔABC 满足两边及其中一边的对角对应相等， 但显然这两个三角形不全等。 这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两 个三角形不一定全等。 【练习】课本Р10 练习 四、总结反思 拓展升华 1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件． 2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、 公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理． 五、课堂作业 P15 3 4 教学理念/反思 第 5 课时三角形全等的判定（4） 教 学 目 标 1．三角形全等的条件：角边角、角角边． 2．三角形全等条件小结． 3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件． 4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 教学重点 已知两角一边的三角形全等探究． 教学难点 灵活运用三角形全等条件证明． 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、创设情境 导入新课 1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边． （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
免费下载网址htt:/ Xiaoxue5uws68com 种:①定义;②SSS;③SAS 在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着 探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢? 、合作交流解读探究 【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能? 1.两角和它们的夹边 2.两角和其中一角的对边 【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画 一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是 不是全等,你能得出什么规律? 将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等 提炼规律: 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”) 【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形AB 能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A、∠B=∠B′、AB=A′B′呢? ①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长 ②画线段A′B′,使A′B′=AB ③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB= ∠CAB,∠EB′A=∠CBA. ④射线A′D与B′E交于一点,记为C′ 即可得到△A′B′C′ 将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”) 思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图, 用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢? 【问题4】 如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗? 能利用角边角条件证明你的结论吗? 证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D,∠B=∠E ∠A+∠B=∠D+∠E 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC= EF ∠C=∠F △ABC≌△DEF(ASA) 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 、应用迁移巩固提高 【例1】如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 三种：①定义；②SSS；③SAS． 2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着 探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ 二、合作交流 解读探究 【问题 1】三角形中已知两角一边有几种可能？ 1．两角和它们的夹边． 2．两角和其中一角的对边． 【问题 2】三角形的两个内角分别是 60°和 80°，它们的夹边为 4cm， 你能画 一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是 不是全等，你能得出什么规律？ 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等． 提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 【问题 3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形 ABC， 能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？ ①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出 AB 的边长． ②画线段 A′B′，使 A′B′=AB． ③分别以 A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB= ∠CAB，∠EB′A′=∠CBA． ④射线 A′D 与 B′E 交于一点，记为 C′ 即可得到△A′B′C′． 将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图， 用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 【问题 4】 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC 与△DEF 全等吗？ 能利用角边角条件证明你的结论吗？ 证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F 在△ABC 和△DEF 中 B E BC EF C F = = = ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或 “AAS”）． 三、应用迁移 巩固提高 【例 1】如下图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C． C ' A ' B ' D C A B E D C A B E F
免费下载网址htt:/ Xiaoxue5uws68com 培养学生 [分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△逻辑推理能 AEB即可 力、独立思考 证明:在△ADC和△AEB中 能力,会用 ∠A=∠A 或 AC= AB AAS“判断三 角形全等,规 ∠C=∠B 范地书写证 所以△ADC≌△AEB(ASA) 明过程.培 所以AD=AE 养学生合情 【例2】如图,海岸上有A、B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观合理的逻辑 测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看C,D的视角∠CAD与推理能力,语 从观测点B看海岛C,D的视角∠CH相等,那么点A到海岛C的距离与点B到海岛言表达能力, D的距离相等,为什么? 规范地书写 证明:∵∠CAD=∠CBD,∠1=∠ 证明过程.培 ∠C=∠D。 养学生的符 在△ABC与△BAD D 号感,体会数 ∠CAB=∠ABD(已知) 学知识的严 ∠C=∠D(已证) 谨性 (公共边) B △ABC≌△BAD(AAS) AC=BD 即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等 【练习】课本P13练习 四、总结反思拓展升华 五种判定三角形全等的方法 1.全等三角形的定义 2.判定定理:边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS) 推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径 五、课堂作业 1556 教学理念/反思 第6课时三角形全等的判定(5)综合探究 教学 1、理解三角形全等的判定,并会运用它们解决实际问题. 目标2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程,能进行合情推理 教学重点运用四个判定三角形全等的方法 教学难点正确选择判定三角形全等的方法,充分应用“综合法”进行表达 设计意图 、分层练习回顾反思 组织学生练 1.已知△ABC≌△A'BC,且∠A=48°,∠B=3°,A'B'=5cm,求∠C习,请一位学 的度数与AB的长 生上台演示. 先独立完成 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: JIa
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 求证：AD=AE． [分析]AD 和 AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证 AD=AE，只需证明△ADC≌△ AEB 即可． 证明：在△ADC 和△AEB 中 A A AC AB C B = = = 所以△ADC≌△AEB（ASA） 所以 AD=AE． 【例 2】如图，海岸上有 A、B 两个观测点，点 B 在点 A 的正东方，海岛 C 在观 测点 A 的正北方，海岛 D 在观测点 B 的正北方，从观测点 A 看 C，D 的视角∠CAD 与 从观测点 B 看海岛 C，D 的视角∠CBD 相等，那么点 A 到海岛 C 的距离与点 B 到海岛 D 的距离相等，为什么？ 证明：∵∠CAD=∠CBD，∠1=∠2 ∴∠C=∠D。 在△ABC 与△BAD ∠CAB=∠ABD（已知） ∠C=∠D （已证） AB=BA （公共边） ∴△ABC≌△BAD（AAS） ∴AC=BD 即点 A 到海岛 C 的距离与点 B 到海岛 D 的距离相等 【练习】课本Р13 练习 培养学生的 逻辑推理能 力、独立思考 能力，会用 “ ASA 或 AAS“判断三 角形全等，规 范地书写证 明过程. 培 养学生 合 情 合理的逻辑 推理能力，语 言表达能力， 规范地书写 证明过程. 培 养学生的符 号感，体会数 学知识的严 谨性. 四、总结反思 拓展升华 五种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径． 五、课堂作业 P15 5 6 教学理念/反思 第 6 课时三角形全等的判定（5）综合探究 教 学 目 标 1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题． 2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理． 教学重点 运用四个判定三角形全等的方法． 教学难点 正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达． 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、分层练习 回顾反思 1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C•′ 的度数与 AB 的长． 组 织 学生练 习，请一位学 生上台演示． 先独立完成 D C A B E
免费下载网址htt:/ Xiaoxue5uws68com 演练1,然后 再与同伴交 【评析】表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应位置上,这时解流,踊跃上台 题就很方便 2.已知:如图1,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于 点0,连接AO,∠1=∠2 巡视、启发引 求证:∠B=∠C. 导,关注“学 困生”,请学 【思路点拨】要证两个角相等,我们通常用的办法有 生上台演示 (1)两直线平行,同位角或内错角相等:(2)全等三角形 然后评点 对应角相等:(3)等腰三角形两底角相等(待学) 根据本题的图形,应考虑去证明三角形全等,由已知条A 件,可知AD=AE,∠1=∠2,AO是公共边,叫△ADO≌△AEO,则可得到OD=OE,∠AEO= ∠ADO,∠EOA=∠DOA,而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OD,而由上可知小组合作交 0E=D,∠BOE=∠CD(对项角,∠B0=∠CD0(等角的补角相等),则可证得△OEF流,共同探 ≌△CD,事实上,得到∠ABO=∠AD之后,又有∠BOE=∠CD,由外角的关系,可讨,然后解 得出∠B=∠C,这样更进一步简化了思路 分组合作,互 相交流 【教师点评】在分析一道题目的条件时,尽量把条件分析透,如上题当证明△AD0 ≌△AEO之后,可以得到OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,这些结论虽然在进 步证明中并不一定都用到,但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识, 有利于进一步思考 应用迁移能力提升 【例1】如图2,已知∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:AD=AE 【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中,由于BD=CE, ∠ABD=∠ACE,因此要证明△ABD≌△ACE,则需证明∠BAD=∠CAE,这由已知条 引导学生思 件∠BAC=∠DAE容易得到 考问题 证明:∵∠BAC=∠DAE E ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE 分析、寻找证 在△ABD和△ACE中, C/题思路,独立 完成例题 ∵:BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE ∴△ABD≌△ACE(AS) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解 题就很方便． 2．已知：如图 1，在 AB、AC 上各取一点 E、D，使 AE=AD，连接 BD、CE 相交于 点 O，连接 AO，∠1=∠2． 求证：∠B=∠C． 【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有： （1）两直线平行，同位角或内错角相等；（2）全等三角形 对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）． 根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条 件，可知 AD=AE，∠1=•∠2，AO 是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到 OD=OE，∠AEO= ∠ADO，∠EOA=∠DOA， 而要证∠B=∠C 可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知 OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF ≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD•之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可 得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路． 【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO ≌△AEO 之后，可以得到 OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA， 这些结论虽然在进 一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识， 有利于进一步思考． 演练 1，然后 再与同伴交 流，踊跃上台 演示． 巡视、启发引 导，关注“学 困生”，请学 生上台演示， 然后评点． 小组合作交 流，共同探 讨，然后解 答． 分组合作，互 相交流． 二、应用迁移 能力提升 【例 1】如图 2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AD=AE． 【思路点拨】欲证相等的两条线段 AD、AE 分别在△ABD 和△ACE 中，由于 BD=CE， ∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE， 则需证明∠BAD=•∠CAE， 这由已知条 件∠BAC=∠DAE 容易得到． 证明：∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 在△ABD 和△ACE 中， ∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， 引导学生思 考问题． 分析、寻找证 题思路，独立 完成例题