工程科学学报，第41卷，第9期：1194-1200,2019年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.9:1194-1200,September 2019 D0L:10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.011;htp:/journals.ustb.edu.cm 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/控制一 体化设计 曾添一，任雪梅四 北京理工大学自动化学院，北京100081 ☒通信作者，E-mail:xmren@bit.cdu.cm 摘要针对电机驱动系统进行了基于有限时间控制器的结构/控制一体化设计.针对电机驱动系统跟踪控制问题，采用有 限时间收敛方法设计了跟踪控制器.考虑系统状态信息不可测的情况，设计了有限时间滤波控制器，在估计系统速度信息的 同时实现了有限时间跟踪控制.为进一步提升系统控制性能，考虑结构与控制之间存在的耦合问题，对电机驱动系统进行结 构/控制一体化设计.首先针对电机驱动系统设计了同时考虑结构优化和控制器优化的一体化性能指标.所设计一体化性能 指标能够在满足控制性能要求的同时，得到所能驱动的最大负载.同时优化系统的结构参数与控制器参数能够使控制系统达 到全局最优，从而取得良好的控制效果.随后，采用嵌套优化策略对电机驱动系统的一体化设计问题进行简化，采用自适应步 长的布谷鸟搜索算法对控制器参数优化问题进行求解，得到了一体化最优解.通过数值仿真验证了所提方法的有效性 关键词电机驱动系统：有限时间控制：状态估计：结构/控制一体化设计：嵌套优化策略 分类号TG273.2 Plant/controller co-design of motor driving systems based on finite-time filtering control ZENG Tian-yi,REN Xue-mei School of Automation,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China Corresponding author,E-mail:xmren@bit.edu.cn ABSTRACT Recently,motor driving systems have been widely applied in the military and industries.Load tracking control is one of the commonly considered issues in such systems.In this study,a plant/controller co-design based on finite-time control was developed for the motor driving system.A finite-time convergent controller was also presented to address the tracking problem in the motor driving system.Because the system state was unknown,a filter was developed to estimate the velocity of the load.The overall system,inclu- ding the tracking controller and filter,is proven to be finite-time stable.Hence,the upper bound of the convergence time can be deter- mined.To enhance the control performance of the motor driving system,the coupling between plant and controller is considered and a co-design scheme was developed for the motor driving system.First,a combined performance index,which could indicate the largest load with satisfactory control performance,was established.Both the plant and controller parameters were considered in the developed performance index to simultaneously optimize the plant and controller.Through this optimization,the system-level optimality can be de- termined and a better control performance can be achieved.Moreover,a nested optimization strategy was adopted to simplify the co-de- sign scheme and an adaptive cuckoo search algorithm was used to achieve the co-design result.Through the nested optimization scheme,the controller parameter is optimized in the inner loop and the plant parameter can be optimized in the outer loop.The cuckoo search algorithm exhibits a superior performance because it has fewer parameters that need to be tuned than most existing algorithms. Hence,the co-design problem can be simplified and resolved reliably using the proposed method.Contrastive simulation results indi- cates the efficacy of the proposed method. 收稿日期：2019-01-16 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61433003)
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期:1194鄄鄄1200,2019 年 9 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 41, No. 9: 1194鄄鄄1200, September 2019 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2019. 09. 011; http: / / journals. ustb. edu. cn 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构 / 控制一 体化设计 曾添一, 任雪梅苣 北京理工大学自动化学院, 北京 100081 苣通信作者, E鄄mail: xmren@ bit. edu. cn 摘 要 针对电机驱动系统进行了基于有限时间控制器的结构/ 控制一体化设计. 针对电机驱动系统跟踪控制问题,采用有 限时间收敛方法设计了跟踪控制器. 考虑系统状态信息不可测的情况,设计了有限时间滤波控制器,在估计系统速度信息的 同时实现了有限时间跟踪控制. 为进一步提升系统控制性能,考虑结构与控制之间存在的耦合问题,对电机驱动系统进行结 构/ 控制一体化设计. 首先针对电机驱动系统设计了同时考虑结构优化和控制器优化的一体化性能指标. 所设计一体化性能 指标能够在满足控制性能要求的同时,得到所能驱动的最大负载. 同时优化系统的结构参数与控制器参数能够使控制系统达 到全局最优,从而取得良好的控制效果. 随后,采用嵌套优化策略对电机驱动系统的一体化设计问题进行简化,采用自适应步 长的布谷鸟搜索算法对控制器参数优化问题进行求解,得到了一体化最优解. 通过数值仿真验证了所提方法的有效性. 关键词 电机驱动系统; 有限时间控制; 状态估计; 结构/ 控制一体化设计; 嵌套优化策略 分类号 TG273郾 2 收稿日期: 2019鄄鄄01鄄鄄16 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61433003) Plant / controller co鄄design of motor driving systems based on finite鄄time filtering control ZENG Tian鄄yi, REN Xue鄄mei 苣 School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China 苣Corresponding author, E鄄mail: xmren@ bit. edu. cn ABSTRACT Recently, motor driving systems have been widely applied in the military and industries. Load tracking control is one of the commonly considered issues in such systems. In this study, a plant / controller co鄄design based on finite鄄time control was developed for the motor driving system. A finite鄄time convergent controller was also presented to address the tracking problem in the motor driving system. Because the system state was unknown, a filter was developed to estimate the velocity of the load. The overall system, inclu鄄 ding the tracking controller and filter, is proven to be finite鄄time stable. Hence, the upper bound of the convergence time can be deter鄄 mined. To enhance the control performance of the motor driving system, the coupling between plant and controller is considered and a co鄄design scheme was developed for the motor driving system. First, a combined performance index, which could indicate the largest load with satisfactory control performance, was established. Both the plant and controller parameters were considered in the developed performance index to simultaneously optimize the plant and controller. Through this optimization, the system鄄level optimality can be de鄄 termined and a better control performance can be achieved. Moreover, a nested optimization strategy was adopted to simplify the co鄄de鄄 sign scheme and an adaptive cuckoo search algorithm was used to achieve the co鄄design result. Through the nested optimization scheme, the controller parameter is optimized in the inner loop and the plant parameter can be optimized in the outer loop. The cuckoo search algorithm exhibits a superior performance because it has fewer parameters that need to be tuned than most existing algorithms. Hence, the co鄄design problem can be simplified and resolved reliably using the proposed method. Contrastive simulation results indi鄄 cates the efficacy of the proposed method
曾添一等：基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/控制一体化设计 ·1195· KEY WORDS motor driving system;finite-time control;system state estimation;plant/controller co-design;nested optimization strategy 在常见的控制系统设计过程中，结构设计和控 整体优化等优化策略，嵌套优化具有较低的计算量， 制器设计是分开进行的：首先进行结构设计，在固定 能够高效地获得一体化设计的最优解.因此，本文 的结构参数基础上再进行控制器设计.由于控制系 采用嵌套优化策略设计了电机驱动系统的一体化设 统中结构与控制之间存在着耦合)，控制器性能会 计结构，在外环优化结构参数，内环优化控制器参数 受到结构参数的影响.尤其对于电机驱动系统而 的策略下得到了一体化设计最优解. 言，控制性能不仅受控制器设计的影响，还会受到负 由于电机驱动系统在实际应用中往往对动态性 载、齿隙和驱动电机型号等结构设计参数的影 能与鲁棒性有较高的要求，因此，简单的PD控制器 响2】.因此，为提高电机驱动系统的控制性能，需要 难以满足控制性能需求.有限时间收敛理论能够使 同时考虑结构设计与控制器设计，从而得到控制系 系统在一个时间上界内收敛，从而使得控制系统具 统的全局最优解. 有较好的动态性能).近年来，有限时间控制方法 随着对控制系统性能要求的不断提高，结构/控 得到了广泛的研究，相继提出了有限时间自适应控 制一体化设计方法已经在一些领域得到了应用.采 制6]，基于神经网络的有限时间控制]等方法.采 用一体化设计方法，能够在考虑结构与控制器设计 用有限时间收敛理论设计控制器，能够使系统获得 之间耦合的条件下得到系统的全局最优解，从而提 较好的动态性能以及鲁棒性.因此，本文采用有限 升了系统的性能[34].为提升一种微型指向定位系 时间收敛理论，设计电机驱动系统的跟踪控制器. 统的性能，Wereley将结构参数与控制器参数同时考 同时，考虑到实际系统中负载状态未知的问题，提出 虑在同一个性能指标中，从而对二者进行同时优 了加幂积分滤波器以估计负载的速度信息. 化).类似方法在空间飞行器天线系统设计[6]、柔 本文首先设计了电机驱动系统的有限时间滤波 性机械臂设计)压电结构设计[]和风力涡轮机系 跟踪控制器，所设计控制器能够估计系统的速度信 统[)等方面得到了应用，提升了系统的性能.Fathy 息，同时实现电机驱动系统的有限时间跟踪控制：然 等研究了结构设计与控制设计之间存在的耦合问 后，同时考虑结构参数优化和控制器参数优化，对电 题，并指出只有当满足一阶条件时，结构设计与控制 机驱动系统进行一体化设计，得到了电机驱动系统 器设计才能解耦).同时，即使结构优化问题与控 结构与控制的全局最优解.最后，通过数值仿真验 制器优化问题分别是凸优化问题，由结构设计和控 证了所提出算法的有效性. 制器设计组成的一体化目标函数通常是一个非凸优 化问题).嵌套优化策略能够将优化问题分为两 1电机驱动系统模型 个嵌套的自由化问题，并在交通运输规划)以及工 首先给出了电机驱动系统的数学模型.电机 程架构设计[]等领域有广泛的应用.采用嵌套优 驱动系统主要包括驱动电机和负载两部分，并由 化策略，能够将一体化设计问题分为内、外两个嵌套 齿轮箱链接.系统框图如图1所示.随后，为降低 在一起的优化环，从而降低了优化问题的复杂度，便 控制器设计难度，对电机驱动系统模型进行了合 于求解.文献[14]中对比了嵌套优化、迭代优化和 理简化 一体化设计 ya+ 控制器 驱动电机 齿轮 图1电机驱动系统框图 Fig.I Block diagram of the motor driving system 电机驱动系统模型如下： 式中，0和0分别为驱动电机位置和负载位置；Jm J.6。+b.9n=u-w 和J分别为电机和负载的转动惯量；b.和b,分别 为电机端和负载端的黏滞摩擦系数：山为系统控制 JL0L+bL0L=@ (1)
曾添一等: 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/ 控制一体化设计 KEY WORDS motor driving system; finite鄄time control; system state estimation; plant / controller co鄄design; nested optimization strategy 在常见的控制系统设计过程中,结构设计和控 制器设计是分开进行的:首先进行结构设计,在固定 的结构参数基础上再进行控制器设计. 由于控制系 统中结构与控制之间存在着耦合[1] ,控制器性能会 受到结构参数的影响. 尤其对于电机驱动系统而 言,控制性能不仅受控制器设计的影响,还会受到负 载、齿隙和驱动电机型号等结构设计参数的影 响[2] . 因此,为提高电机驱动系统的控制性能,需要 同时考虑结构设计与控制器设计,从而得到控制系 统的全局最优解. 随着对控制系统性能要求的不断提高,结构/ 控 制一体化设计方法已经在一些领域得到了应用. 采 用一体化设计方法,能够在考虑结构与控制器设计 之间耦合的条件下得到系统的全局最优解,从而提 升了系统的性能[3鄄鄄4] . 为提升一种微型指向定位系 统的性能,Wereley 将结构参数与控制器参数同时考 虑在同一个性能指标中,从而对二者进行同时优 化[5] . 类似方法在空间飞行器天线系统设计[6] 、柔 性机械臂设计[7] 压电结构设计[8] 和风力涡轮机系 统[9]等方面得到了应用,提升了系统的性能. Fathy 等研究了结构设计与控制设计之间存在的耦合问 题,并指出只有当满足一阶条件时,结构设计与控制 器设计才能解耦[10] . 同时,即使结构优化问题与控 制器优化问题分别是凸优化问题,由结构设计和控 制器设计组成的一体化目标函数通常是一个非凸优 化问题[11] . 嵌套优化策略能够将优化问题分为两 个嵌套的自由化问题,并在交通运输规划[12]以及工 程架构设计[13] 等领域有广泛的应用. 采用嵌套优 化策略,能够将一体化设计问题分为内、外两个嵌套 在一起的优化环,从而降低了优化问题的复杂度,便 于求解. 文献[14]中对比了嵌套优化、迭代优化和 整体优化等优化策略,嵌套优化具有较低的计算量, 能够高效地获得一体化设计的最优解. 因此,本文 采用嵌套优化策略设计了电机驱动系统的一体化设 计结构,在外环优化结构参数,内环优化控制器参数 的策略下得到了一体化设计最优解. 由于电机驱动系统在实际应用中往往对动态性 能与鲁棒性有较高的要求,因此,简单的 PID 控制器 难以满足控制性能需求. 有限时间收敛理论能够使 系统在一个时间上界内收敛,从而使得控制系统具 有较好的动态性能[15] . 近年来,有限时间控制方法 得到了广泛的研究,相继提出了有限时间自适应控 制[16] ,基于神经网络的有限时间控制[17]等方法. 采 用有限时间收敛理论设计控制器,能够使系统获得 较好的动态性能以及鲁棒性. 因此,本文采用有限 时间收敛理论,设计电机驱动系统的跟踪控制器. 同时,考虑到实际系统中负载状态未知的问题,提出 了加幂积分滤波器以估计负载的速度信息. 本文首先设计了电机驱动系统的有限时间滤波 跟踪控制器,所设计控制器能够估计系统的速度信 息,同时实现电机驱动系统的有限时间跟踪控制;然 后,同时考虑结构参数优化和控制器参数优化,对电 机驱动系统进行一体化设计,得到了电机驱动系统 结构与控制的全局最优解. 最后,通过数值仿真验 证了所提出算法的有效性. 1 电机驱动系统模型 首先给出了电机驱动系统的数学模型. 电机 驱动系统主要包括驱动电机和负载两部分,并由 齿轮箱链接. 系统框图如图 1 所示. 随后,为降低 控制器设计难度,对电机驱动系统模型进行了合 理简化. 图 1 电机驱动系统框图 Fig. 1 Block diagram of the motor driving system 电机驱动系统模型如下: Jm 兹 ·· m + bm 兹 · m = u - 棕 JL 兹 ·· L + bL 兹 · L = 棕 (1) 式中,兹m 和 兹L 分别为驱动电机位置和负载位置;Jm 和 JL 分别为电机和负载的转动惯量;bm 和 bL 分别 为电机端和负载端的黏滞摩擦系数;u 为系统控制 ·1195·
·1196· 工程科学学报，第41卷，第9期 输入；ω为传动力矩并且有如下形式： [u=(nJm+J)(-ksig[sig(-ya)▣+k2e]▣+ w=f(△)+cf(△) (2) nbm+b为) 式中，k为扭转系数：c为阻尼系数；4=0。-9f(·) 为齿隙引起的非线性，并且可以由死区非线性代表： 店=-4sig(传-a)d-e)方 4-8,4≥8 (9) f·)=0,I41<8 (3) 式中，k>0,2为电机驱动系统负载速度x2的估 4+8,4≤-8 计值. 式中，δ为齿隙宽度.为方便控制器设计，假设齿轮 2.2稳定性分析 箱两端力矩为线性关系[)，可得如下简化模型： 定理1在所设计滤波控制器(9)作用下，系统 (5)的跟踪误差能够在有限时间内收敛有界，收敛 (nJ +J)0+(nb+bL)0.=u (4) 时间上界如式(10)所示. 式中，n为传动比系数.选取系统状态变量x1=9。, 2(0) x2=0m,式(4)可写为 T.= (10) 1=x2 .1-1） C1 ,1[u-(nb。+bL)x] 式中，入m为正常数 2= (5) nJm+J 证明：选取李雅普诺夫函数V=e?.定义中间 (y=x 变量专=-k2sig(e,)立，则对V求导可得 本文将针对上述电机驱动系统，设计滤波器估 i.=2e,5+2e,(e,-)≤ 计不可测状态变量x2:同时设计有限时间跟踪控制 器，使得系统输出y能够跟踪期望信号y:考虑电 -2k2le,1向1+21e,11e,-1≤ 机驱动系统结构与控制之间的耦合问题，进行结构/ -2h1e,l☆+1+22-le,l川sig(e,)m-sig(5)1 控制一体化设计，取得电机驱动系统全局最优参数. (11) 2有限时间滤波控制器设计 由于22-1e,11sig(e,)▣-sig(专)▣1≤22-奇a1 (a,+1)11e,11*守+22-奇(a,+1)1 本节设计了电机驱动系统的有限时间跟踪控制 器.考虑电机驱动系统速度信息未知的情况，设计 1sig(e,)叫-sig(5)1+奇，式(11)可进一步写为 了滤波器估计系统状态信息，并分析了控制系统的 ≤-2k2le,1向*1+22-奇a1(a1+1)-11e,μ++ 稳定性.最后，对电机驱动系统进行结构/控制一体 22-(a1+1)-11sig(e,)▣-sig()11+向(12) 化设计. 定义滤波器估计误差e1=sig(x2)-sig(名2)"， 2.1控制器设计 选取李雅普诺夫函数V。=e斤.对V2求导得 引理1[]对于系统(5)，如果存在连续正定函 V。=2ee1=2e1|x2I-1x2-2ekg(x2-元2)= 数V(x)满足 V(x)≤-aV(x) (6) 2ea1lx21-1,1 'nd.+[u-(b。+b.)]- 式中，a和0<b<1为正常数，则系统(5)为有限时 2eg(x2-2) (13) 间稳定，且收敛时间可通过式(7)计算 根据式(9)所提出的滤波器有： t≤aor6)t (7) Ve=2ex xa"n+.u-(nb+h)] 针对电机驱动系统模型，设计有限时间控制器： 2eg{x2-sig[sig(x2)▣-e1]}≤ u =(nJ+J)(-kisig [sig (e,)+ke ]2+ nbnx2+bx2） (8) 20,le le nJm+JL nJm +J 式中，e,=y-ya为系统跟踪误差；1<1<2,0< 2ek号{x2-sig[sig(x2)-e]可}(14) a2<2a1'-1,k1,k2>0. 由于 考虑电机驱动系统速度状态x,不可测，设计如 2a;le l lz 1-1lul = 下基于滤波器的控制器： nJ+
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 输入;棕 为传动力矩并且有如下形式: 棕 = kf(驻) + cf(驻 · ) (2) 式中,k 为扭转系数;c 为阻尼系数;驻 = 兹m - 兹L ;f(·) 为齿隙引起的非线性,并且可以由死区非线性代表: f(·) = 驻 - 啄, 驻逸啄 0, | 驻 | < 啄 驻 + 啄, 驻臆 - ì î í ïï ïï 啄 (3) 式中,啄 为齿隙宽度. 为方便控制器设计,假设齿轮 箱两端力矩为线性关系[18] ,可得如下简化模型: (nJm + JL ) 兹 ·· L + (nbm + bL ) 兹 · L = u (4) 式中,n 为传动比系数. 选取系统状态变量 x1 = 兹m , x2 = 兹 · m ,式(4)可写为 x · 1 = x2 x · 2 = 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] y = x ì î í ï ï ï ï 1 (5) 本文将针对上述电机驱动系统,设计滤波器估 计不可测状态变量 x2 ;同时设计有限时间跟踪控制 器,使得系统输出 y 能够跟踪期望信号 yd . 考虑电 机驱动系统结构与控制之间的耦合问题,进行结构/ 控制一体化设计,取得电机驱动系统全局最优参数. 2 有限时间滤波控制器设计 本节设计了电机驱动系统的有限时间跟踪控制 器. 考虑电机驱动系统速度信息未知的情况,设计 了滤波器估计系统状态信息,并分析了控制系统的 稳定性. 最后,对电机驱动系统进行结构/ 控制一体 化设计. 2郾 1 控制器设计 引理 1 [19]对于系统(5),如果存在连续正定函 数 V(x)满足 V · (x)臆 - aV (x) b (6) 式中,a 和 0 < b < 1 为正常数,则系统(5)为有限时 间稳定,且收敛时间可通过式(7)计算. Tc臆 1 a(1 - b) V (x0 ) 1 - b (7) 针对电机驱动系统模型,设计有限时间控制器: u = (nJm + JL )( - k1 sig [sig ( e · t) 琢1 + k2 et] 琢2 + nbm x2 + bL x2 ) (8) 式中,et = y - yd 为系统跟踪误差;1 < 琢1 < 2,0 < 琢2 < 2琢 - 1 1 - 1,k1 ,k2 > 0. 考虑电机驱动系统速度状态 x2 不可测,设计如 下基于滤波器的控制器: u = (nJm + JL)( - k1 sig [sig (x^ 2 - y · d) 琢1 + k2 et] 琢2 + nbm x^ 2 + bL x^ 2) x^ 2 = y · d - k3 sig (乙(x^ 2 - y · d)dt - et ) 1 琢 ì î í ï ï ï ï 1 (9) 式中,k3 > 0,x^ 2 为电机驱动系统负载速度 x2 的估 计值. 2郾 2 稳定性分析 定理 1 在所设计滤波控制器(9)作用下,系统 (5)的跟踪误差能够在有限时间内收敛有界,收敛 时间上界如式(10)所示. Tc = 2Vt(0) 1 - 1 / 琢1 2 姿m (1 - 1 琢 ) 1 (10) 式中,姿m 为正常数. 证明:选取李雅普诺夫函数 Vt1 = e 2 t . 定义中间 变量 孜 = - k2 sig(et) 1 琢1 ,则对 Vt1求导可得 V · t1 = 2et 孜 + 2et( e · t - 孜)臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 |et | | e · t - 孜 |臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 2 - 1 琢1 |et | |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | (11) 由于 2 2 - 1 琢1 |et | | sig( e · t ) 琢1 - sig( 孜) 琢1 | 臆2 2 - 1 琢1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |et | 1 + 1 琢1 + 2 2 - 1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 ,式(11)可进一步写为 V · t1臆 - 2k2 |et | 1 琢1 + 1 + 2 2 - 1 琢1琢1 (琢1 + 1) - 1 |et | 1 + 1 琢1 + 2 2 - 1 琢1 (琢1 + 1) - 1 |sig( e · t) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 (12) 定义滤波器估计误差 el = sig(x2 ) 琢1 - sig(x^ 2 ) 琢1 , 选取李雅普诺夫函数 Vt2 = e 2 l . 对 Vt2求导得 V · t2 = 2el e · l = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 x · 2 - 2el k 琢1 3 (x2 - x^ 2 ) = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] - 2el k 琢1 3 (x2 - x^ 2 ) (13) 根据式(9)所提出的滤波器有: V · t2 = 2el琢1 | x2 | 琢1 - 1 1 nJm + JL [u - (nbm + bL )x2 ] - 2el k 琢1 3 {x2 - sig [sig (x2 ) 琢1 - el] 1 琢1 }臆 2琢1 |el | |x2 | 琢1 -1 nbm + bL nJm + JL x2 +2琢1 |el | |x2 | 琢1 -1 |u| nJm + JL - 2el k 琢1 3 {x2 - sig [sig (x2 ) 琢1 - el] 1 琢1 } (14) 由于 2琢1 |el | | x2 | 琢1 - 1 | u | nJm + JL = ·1196·
曾添一等：基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/控制一体化设计 ·1197· 2a,le（lx,-m)向-1lul≤ y3le,2+yale,1号+2+ nJ+J 242ea5) Ys Isig()-sig( nJm +JL (19) 同时 式中，Y5=2g+162,Y%=2kg2a+(1-)62,参 医6a哈洁产- 数m满足m+&1-1∈(0,1)，n满足n+a1-1<1. 1+a1 存在常数￡>0，使得2ek得(x2-sig(sig(x2)- g()1哈+。+2 1161*号 e))满足： (16) 1+ -2eks1x2-sig [sig (x2)"m-e]= 并且 lel luli-oi =y:Isig(x2)a -sig()a-elle 21{色] y,le,lsig(x2)▣-sig()1向+Y,le,+奇≤ e产} agn-)内4121a哈 1+a1 2he21x,1+a-E-1e,11+安(2+2+)≤ (17) 2h6受+e21x11+☆+2ke22（1-)1+a). 式中，y1=2-女a,(1+a)1,所以，式(15)可进一 1sig(x2)9-sig()1+片- 步写为 ε奇1e+(2+2+) (20) 2a,le1 1x 11-1 lul <-I 。+n+%l,1哈+ 综合式(14)，(18)~(20)可得 。≤ylx1+崎+Y61sig(x2)-ig()1+守- y le+y lsig()"-sig() e-1e+(2+2+奇)+y%3le1+奇+ (18) y le+y Isig()-sig() (a1-1) C中，y2=2a(a,+1),Y= 2102 y⅓le1号2+y4le,l2+ (a,-0(2-t+al+2aY (2-1)(2a1+1) y⅓1sig(x)4-sig()1片2+6lel骨+2 (a1+1) (21) %-2a+2%品 (2-a1) 定义李雅背诺夫函数V:化+。+儿[郎 ()9-sig(k)]2-亩dk,其中k=-sig(e,)立.对 式(14中，，1elk,-,清足 V求导可得 nJ+JL 7=+e+g=-Ale,+- 2a,lelx,1-nb。+6 ,川+s 入2lsig(x2)▣-sig(5)41+-A3le,1+女+ a lel (mb+b y le,+y Isig()"-sig() nJm+J y31el+2+y4l1e,1号+2+ a lel (nb+b nJm+h y Isig(x2)-sig()1+2+。1e,1号+2 (22) b+(2-2*mg-1m1e."1el+ nJm +JL 其中入1，入2，入，>0，且通过调节控制器式(9)的参数 2-2+a+(a-1+m)(1-)1e,lsig(x2)4-sig()41)+ 使得入1，入2和入3满足： mbth(lele 入1<2k2-(22-a,(a1+1)1+22-(a1+1)）-1+ nJm +h 2h9+e2+2(2+2(1-)1+@)e2) 2a-2+m)(1-)1 e,lsig(x2)-sig(5)▣1)≤ 入2<k-[2-向(a1+1)1+y4+2kge21-奇)+m] Y11e,1+2+Y21sig(x2)m-sig(传)1+2+ 3<得ε-(2+2向)-Y (23)
曾添一等: 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/ 控制一体化设计 2琢1 |el | nJm + JL ( | x2 | 1 - 琢1 ) 1 1 - 琢1 - 1 | u |臆 2琢 2 1 nJm + JL |el | | x2 | + 2琢1 (1 - 琢1 ) nJm + JL |el | | u | 1 1 - 琢1 (15) 同时 | x2 | |el |臆 k2 1 + 琢1 | x1 | 1 + 1 琢1 + 2 1 - 1 琢1 1 + 琢1 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 + k2 + 2 1 - 1 琢1 1 + 1 琢1 |el | 1 + 1 琢1 (16) 并且 |el | | u | 1 1 - 琢1 = 酌1 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 - el | 1 琢1 |el |臆 酌1 |el | |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 琢1 + 酌1 |el | 1 + 1 琢1臆 酌1 1 + 琢1 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 琢1 +1 + 酌1 (1 +2琢1 ) 1 + 琢1 |el | 1 + 1 琢1 (17) 式中,酌1 = 2 1 - 1 琢1 琢1 (1 + 琢1 ) - 1 ,所以,式(15)可进一 步写为 2琢1 |el | | x2 | 琢1 - 1 | u | nJm + JL 臆 1 nJm + JL (酌2 | x1 | 1 + 1 琢1 + 酌3 |el | 1 + 1 琢1 + 酌4 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 ) (18) 式 中, 酌2 = 2琢1琢2 (琢1 - 1) (琢1 + 1) , 酌3 = 2琢1琢2 (琢1 - 1)(2 2 - 1 琢1 + 琢2 ( ) 1 琢1 + 1 ) + 2琢1酌1 (2 - 琢1 )(2琢1 + 1) (琢1 + 1) , 酌4 = 2 2 - 1 琢1琢1 (琢1 - 1) (琢1 + 1) + 2琢1酌1 (2 - 琢1 ) (琢1 + 1) . 式(14)中,琢1 |el | | x2 | 琢1 - 1 nbm + bL nJm + JL x2 满足 2琢1 |el | | x2 | 琢1 - 1 nbm + bL nJm + JL x2臆 琢1 |el | (nbm + bL ) nJm + JL | x2 | 琢1 - 1 + m + 琢1 |el | (nbm + bL ) nJm + JL | x2 | 琢1 - 1 + n臆 nbm + bL nJm + JL (2 琢1 - 2 + m k 琢1 - 1 + m 2 |et | 琢1 - 1 + m 琢1 |el | + 2 琢1 - 2 + m + (琢1 - 1 + m) ( 1 - 1 琢 ) 1 |el | |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | ) + nbm + bL nJm + JL (k 琢1 - 1 + n 2 |et | 琢1 - 1 + m 琢1 |el | + 2 (琢1 - 2 + m) ( 1 - 1 琢 ) 1 |el | |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | )臆 酌1 |et | m - 1 琢1 + 2 + 酌2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | m - 1 琢1 + 2 + 酌3 |el | m - 1 琢1 + 2 + 酌4 |et | n - 1 琢1 + 2 + 酌5 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | n - 1 琢1 + 2 + 酌6 |el | n - 1 琢1 + 2 (19) 式中,酌5 = 2k 琢1 3 k 琢1 + 1 2 着 2 ,酌6 = 2k 琢1 3 2 (琢1 + 1) ( 1 - 1 琢 ) 1 着 2 ,参 数 m 满足 m + 琢1 - 1沂(0,1),n 满足 n + 琢1 - 1 < 1. 存在常数 着 > 0,使得 2el k 琢1 3 ( x2 - sig ( sig (x2 ) 琢1 - el) 1 琢1 )满足: - 2el k 琢1 3 {x2 - sig [sig (x2 ) 琢1 - el] 1 琢1 } = 2k 琢1 3 |el | 1 + 1 琢1 { - sig [ sig (x2 ) 琢1 e ] l 1 琢1 - sig [1 - sig (x2 ) 琢1 e ] l 1 琢 } 1 臆 2k 琢1 3 着 2 | x2 | 1 + 琢1 - k 琢1 3 着 1 - 1 琢1 |el | 1 + 1 琢1 (2 + 2 1 + 1 琢1 )臆 2k 琢1 3 k 琢1 + 1 2 着 2 | x1 | 1 + 1 琢1 + 2k 琢1 3 着 2 ( 2 1 - 1 琢 ) 1 (1 + 琢1 )· |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 - k 琢1 3 着 1 - 1 琢1 |el | 1 + 1 琢1 (2 + 2 1 + 1 琢1 ) (20) 综合式(14),(18) ~ (20)可得 V · t2臆酌5 | x1 | 1 + 1 琢1 + 酌6 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 - k 琢1 3 着 1 - 1 琢1 |el | 1 + 1 琢1 (2 + 2 1 + 1 琢1 ) + 酌3 |el | 1 + 1 琢1 + 酌1 |et | m - 1 琢1 + 2 + 酌2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | m - 1 琢1 + 2 + 酌3 |el | m - 1 琢1 + 2 + 酌4 |et | n - 1 琢1 + 2 + 酌5 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | n - 1 琢1 + 2 + 酌6 |el | n - 1 琢1 + 2 (21) 定义李雅普诺夫函数 V = Vt1 + Vt2 + 乙 ·et k4 sig[ sig (灼) 琢1 - sig(k4 ) 琢1 ] 2 - 1 琢1 d灼,其中 k4 = - k2 sig(et) 1 琢1 . 对 V 求导可得 V · = V · t1 + V · t2 + V · t3 = - 姿1 |et | 1 + 1 琢1 - 姿2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 - 姿3 |el | 1 + 1 琢1 + 酌1 |et | m - 1 琢1 + 2 + 酌2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | m - 1 琢1 + 2 + 酌3 |el | m - 1 琢1 + 2 + 酌4 |et | n - 1 琢1 + 2 + 酌5 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | n - 1 琢1 + 2 + 酌6 |el | n - 1 琢1 + 2 (22) 其中 姿1 ,姿2 ,姿3 > 0,且通过调节控制器式(9)的参数 使得 姿1 ,姿2 和 姿3 满足: 姿1 < 2k2 - (2 2 - 1 琢1琢1 (琢1 + 1) - 1 + 2 2 - 1 琢1 (琢1 + 1) - 1 + 2k 琢1 3 k 琢1 + 1 2 着 2 + 2( ( 2 + 2 1 - 1 琢 ) 1 (1 + 琢1 ) )k 琢1 3 着 2 ) 姿2 < k1 - [2 2 - 1 琢1 (琢1 +1) -1 + 酌4 +2k 琢1 3 着 2 ( 2 1 - 1 琢 ) 1 (1 + 琢1 ) ] 姿3 < k 琢1 3 着 1 - 1 琢1 (2 +2 1 + 1 琢1 ) - 酌3 (23) ·1197·
·1198. 工程科学学报，第41卷，第9期 取01,02,03∈(0,1)，定义集合 器参数使系统的上升时间最小，同时驱动获得控制 日=1e,e:%1le,l+2+ 系统所能驱动的最大负载 为简化式(27)，从而获得电机驱动系统一体化 Y2 Isig(x2)"-sig()2 设计的最优解，本文采用嵌套式优化策略设计如下 y3 le+y le2 的一体化设计结构. Ys Isig()-sig( 外优化层： Y%le,1号2≤入1le,1+时+ {日+(J)} Ji=argmin{ 入2lsig(x2)-sig(E)11++入31e1+} s.t.J4≤J≤J., (28) (24) 内优化层： 则当e,和e1在集合三之外时，式(22)可以写作如 (J)=minf2 (JL) (29) 下形式： 结合式(28)和式(29)，外优化层进行结构优 ≤-(1-o1)入1le,1+-(1-o2)2lsig(x2)m- 化：内优化层进行控制器优化.因此，采用上述一体 sig(5)1+奇-(1-w3)入31e1+女(25) 化设计结构，结构参数与控制器参数能够同时得到 优化，从而得到了电机驱动系统的最优设计.同时， 将Ie,I=和Ie,I=代入上式可得 采用嵌套式优化结构能够简化一体化设计的优化问 ≤-A,-A,≤-A 11/a (26) 题求解，并且是一体化设计过程具有更加明确的物 式中，入m=min{入1，入2}. 理意义 根据引理1，式(26)符合式(6)所给出的形式 在内优化层，为优化控制器参数，采用自适应步 因此，跟踪误差与观测误差能够在有限时间内收敛. 长的布谷鸟搜索(CS)算法对方进行求解.布谷鸟 收敛时间可由式(10)计算得到. 搜索算法一种结合了布谷鸟巢寄生性和Levy flights 证明完毕 模式的启发式群体智能搜索算法，通过随机游走的 2.3结构/控制一体化设计 方式搜索得到一个最优的鸟窝来孵化自己的鸟蛋， 由于电机驱动系统中结构参数的设计会影响到 可以通过较少的算法参数达到一种高效的寻优模 控制性能，基于前文所设计的有限时间跟踪控制器， 式[2).布谷鸟搜索算法具有较好的可移植性，并且 同时考虑结构参数设计与控制器参数选取，对电机 鲁棒性强2]，为得到更好的收敛性，对其搜索步长 驱动系统进行结构/控制一体化设计.首先建立了 做出改进.布谷鸟搜索的第个位置更新律为： 电机驱动系统一体化设计的目标函数：然后采用嵌 K)=K0+h④L() (30) 套优化策略，将所得一体化优化问题分解为两个镶 其中L()=t为Léy随机路径：④为点对点乘法： 嵌在一起的自由化问题，从而简化了一体化问题的 九为自适应步长： 求解：最后，采用自适应步长的布谷鸟搜索算法得到 九=hmn+（九ms-inin)Tj (31) 一体化设计的最优解 K,-KeI T=- (32) 考虑系统(5)，选取齿轮箱的齿轮间隙作为结 构优化变量：选取所设计有限时间跟踪控制器的参 式中，k为位置的历史最优值；T为T,的历史最 数k,k2和k作为控制器优化变量.一体化性能指 大值.布谷鸟搜索算法的步长可以根据式(31)调 标设计为如下形式： 节，提高了算法的计算效率.采用上述群体智能搜 F,=minof+of 索算法，能够高效地得到内优化层的优化结果，进而 s.t.h(8)=0,g(8)≤0 (27) 得到电机及驱动系统的一体化设计结果. 式中，ω1和w,为权值系数；h(8)=0为包括系统动 3仿真结果与分析 态在内的等式约束：g(8)≤0为不等式约束，本文以 齿隙作为结构优化变量，有不等式约束：J:≤J≤ 为验证所提算法的有效性，选取ya=2sin(t)作 J,J为负载转动惯量约束最小值，J。为约束最大 为参考信号.电机驱动系统参数如表1所示.采用 所提出的电机驱动系统结构/控制一体化设计方法， 值听=为系统负载的转动惯量=4为系统的 Ja=0.05kgm2,J.=1.10kgm2,得到最优结构参数 上升时间.因此，式(27)的物理意义是在调节控制 J1=0.41kgm2和控制器参数k,=1.26,k2=3.15
工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 取 滓1 ,滓2 ,滓3沂(0,1),定义集合 桩 = {et,el:酌1 |et | m - 1 琢1 + 2 + 酌2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | m - 1 琢1 + 2 + 酌3 |el | m - 1 琢1 + 2 + 酌4 |et | n - 1 琢1 + 2 + 酌5 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | n - 1 琢1 + 2 + 酌6 |el | n - 1 琢1 + 2臆姿1 |et | 1 + 1 琢1 + 姿2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 + 姿3 |el | 1 + 1 琢1 } (24) 则当 et 和 el 在集合 桩 之外时,式(22)可以写作如 下形式: V · t臆 - (1 - 滓1 )姿1 |et | 1 + 1 琢1 - (1 - 滓2 )姿2 |sig(x2 ) 琢1 - sig(孜) 琢1 | 1 + 1 琢1 - (1 - 滓3 )姿3 |el | 1 + 1 琢1 (25) 将|et | = V 1 2 t1和|el | = V 1 2 t2代入上式可得 V · t臆 - 姿4V 1 + 1 / 琢1 2 t1 - 姿5V 1 + 1 / 琢1 2 t2 臆 - 姿m V 1 + 1 / 琢1 2 t (26) 式中,姿m = min{姿1 ,姿2 }. 根据引理 1,式(26)符合式(6)所给出的形式. 因此,跟踪误差与观测误差能够在有限时间内收敛. 收敛时间可由式(10)计算得到. 证明完毕. 2郾 3 结构/ 控制一体化设计 由于电机驱动系统中结构参数的设计会影响到 控制性能,基于前文所设计的有限时间跟踪控制器, 同时考虑结构参数设计与控制器参数选取,对电机 驱动系统进行结构/ 控制一体化设计. 首先建立了 电机驱动系统一体化设计的目标函数;然后采用嵌 套优化策略,将所得一体化优化问题分解为两个镶 嵌在一起的自由化问题,从而简化了一体化问题的 求解;最后,采用自适应步长的布谷鸟搜索算法得到 一体化设计的最优解 考虑系统(5),选取齿轮箱的齿轮间隙作为结 构优化变量;选取所设计有限时间跟踪控制器的参 数 k1 ,k2 和 k3 作为控制器优化变量. 一体化性能指 标设计为如下形式: Fy = min{棕1 f 1 + 棕2 f 2 } s. t. h(啄) = 0,g(啄)臆0 (27) 式中,棕1 和 棕1 为权值系数;h(啄) = 0 为包括系统动 态在内的等式约束;g(啄)臆0 为不等式约束,本文以 齿隙作为结构优化变量,有不等式约束:Jd 臆JL 臆 Ju ,Jd 为负载转动惯量约束最小值,Ju 为约束最大 值;f 1 = 1 JL 为系统负载的转动惯量;f 2 = t r 为系统的 上升时间. 因此,式(27)的物理意义是在调节控制 器参数使系统的上升时间最小,同时驱动获得控制 系统所能驱动的最大负载. 为简化式(27),从而获得电机驱动系统一体化 设计的最优解,本文采用嵌套式优化策略设计如下 的一体化设计结构. 外优化层: J * L = argmin { 1 JL + f * 2 (JL ) } s. t. Jd臆JL臆Ju , (28) 内优化层: f * 2 (JL ) = minf 2 (JL ) (29) 结合式(28) 和式(29),外优化层进行结构优 化;内优化层进行控制器优化. 因此,采用上述一体 化设计结构,结构参数与控制器参数能够同时得到 优化,从而得到了电机驱动系统的最优设计. 同时, 采用嵌套式优化结构能够简化一体化设计的优化问 题求解,并且是一体化设计过程具有更加明确的物 理意义. 在内优化层,为优化控制器参数,采用自适应步 长的布谷鸟搜索(CS)算法对 f 2 进行求解. 布谷鸟 搜索算法一种结合了布谷鸟巢寄生性和 L佴vy flights 模式的启发式群体智能搜索算法,通过随机游走的 方式搜索得到一个最优的鸟窝来孵化自己的鸟蛋, 可以通过较少的算法参数达到一种高效的寻优模 式[20] . 布谷鸟搜索算法具有较好的可移植性,并且 鲁棒性强[21] ,为得到更好的收敛性,对其搜索步长 做出改进. 布谷鸟搜索的第 j 个位置更新律为: 资 (t + 1) j = 资 (t) j + h - 茌L(j) (30) 其中 L(j) = t - j为 L佴vy 随机路径;茌为点对点乘法; h - 为自适应步长: h - = h - min + ( h - max - h - min )祝j (31) 祝j = 椰资j - 资be椰 祝max (32) 式中,资be为位置的历史最优值;祝max为 祝j 的历史最 大值. 布谷鸟搜索算法的步长可以根据式(31) 调 节,提高了算法的计算效率. 采用上述群体智能搜 索算法,能够高效地得到内优化层的优化结果,进而 得到电机及驱动系统的一体化设计结果. 3 仿真结果与分析 为验证所提算法的有效性,选取 yd = 2sin(t)作 为参考信号. 电机驱动系统参数如表 1 所示. 采用 所提出的电机驱动系统结构/ 控制一体化设计方法, Jd = 0郾 05 kg·m 2 ,Ju = 1郾 10 kg·m 2 ,得到最优结构参数 JL = 0郾 41 kg·m 2和控制器参数 k1 = 1郾 26,k2 = 3郾 15. ·1198·