此时 clx Mp(x, D)dx+x,y)ay=. Px, yo ) c+ @%,ydhy 全微分求积 表达式P(x,y)x+Q(x,y)y为全微分÷Q=P。此时 P(x, y)dx+o(x, y)dy 满足 du= p(x, y)dx+o(r, y)dj
此时， ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 , 0 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . x y x y x y x y P x y dx+ = Q x y dy P x y dx+ Q x y dy ∫ ∫ ∫ 全微分求积 表达式 P x( , y)dx + Q(x, y)dy为全微分⇔Qx=Py。此时 0 0 ( , ) ( , ) ( . ) ( , ) ( , ) x y x y u x y = + P x y dx Q x y dy ∫ 满足 du = P( , x y)dx + Q(x, y)dy
2高斯公式 设是空间的有界闭区域,函数P,Q,R在2上有连续 偏导,则 Pdydz+Odzdx+ rdxdy P+O+R h
2.高斯公式 设Ω是空间的有界闭区域，函数P, Q, R在Ω上有连续 偏导，则 ( ) . P x y z dydz Qdzdx Rdxdy P Q R dv ∂Ω+ Ω + + = ′+ ′ ′ + ∫∫ ∫∫∫
3斯托克斯公式 设∑为分片光滑曲面,函数P,Q,R在上有连续偏导 Pax+ody+ rdz 6=(R-Q)+(P-R)k+(Q,-P)
3.斯托克斯公式 设Σ 为分片光滑曲面，函数P, Q, R在Σ上有连续偏导， 则 ( ) ( ) ( ) . y z z x x y Pdx Qdy Rdz R Q dydz P R dzdx Q P dxdy + ∂Σ Σ + + = − + − + − ∫ ∫∫ v
空间曲线积分与路径的无关性 设G是一维单连通区域,函数P,Q,R在G内有连续偏 导,为G内之曲线,则曲线积分 P(x, y, z)dx+o(, y, z)dy+R(x, y, z)dx 与路径无关→mOF=0。其中F=(PQ2
空间曲线积分与路径的无关性 设 G是一维单连通区域，函数P, Q, R 在 G内有连续偏 导， Γ 为G 内之曲线，则曲线积分 P x( , y, )z dx Q x( , y, )z dy R x( , y, )z dz. Γ + + ∫ 与路径无关 ⇔ ro tF = 0。其中 。 JJJG G G F P = ( , , Q R ) G
例题选讲 例1求「√x2+y2,L:x2+y2=ax,y≥0。 解由极坐标下的曲线积分公式, x'+yds=rvR+r d0=2 acos eade
例题选讲 例1 求 。 2 2 2 2 , : , 0 L x y + ds L x + = y ax y ≥ ∫ 解 由极坐标下的曲线积分公式， 2 2 2 2 2 2 0 0 cos . L x y ds r r r d a ad a π π + = + ′ θ θ = θ = ∫ ∫ ∫