下面,我们来介绍一下距离空间的一般概念假设S是任意性质的元素 x,y,z,…的集合如果对应于S中每一对元素x和y都具有如下性质的实数 d I°d(x,y)≥0,并且当且仅当x=y时d(x,y)=0 (x,y)=d(,x) 3°d(x,-)≤d(x,y)+d(,=)(所谓三角不等式), 那么集合S便叫做“距离空间”,而d(x,y)称为元素x与y间的距离 就L2空间来看,如果令 d(, g)=f-glb 则条件1°与2显然被满足,而条件3相当于 f-h≤f-g+|-h 其中f,g,h均属于L2由于f-h=(-g)+(g-b)所以这个不等式是可以 从范数性质3推导出来的因此L2又作成一个距离空间 仿D空间的理论,我们也可对L2中的元素序列ff2…fn…引进平均收 敛性概念假如lm-f=0,则称序列fn(x)平均收敛于∫(x),记作 f(x)→f(x)n→∞)完全类似地,假如 fm-f→>0(m,n→∞) 则称{m}为L2中的基本序列还可以证明,2空间理论中的 Fischer定理在此 仍然成立亦即,凡L中的基本序列必有极限且极限函数仍在L中(这也就是 关于L。空间的完备性定理)
下面，我们来介绍一下距离空间的一般概念.假设 S 是任意性质的元素 x, y,z, 的集合.如果对应于 S 中每一对元素 x 和 y 都具有如下性质的实数 d(x, y) ： 1 d(x, y) 0, 并且当且仅当 x = y 时 d(x, y) = 0; 2 d(x, y) = d(y, x); 3 d(x,z) d(x, y) + d(y,z) （所谓三角不等式）， 那么集合 S 便叫做“距离空间”，而 d(x, y) 称为元素 x 与 y 间的距离. 就 2 L 空间来看，如果令 d(f , g)= f − g , 则条件 1 与 2 显然被满足，而条件 3 相当于 f − h f − g + g − h , 其中 f , g,h 均属于 2 L .由于 f − h = ( f − g) + (g − h), 所以这个不等式是可以 从范数性质 3 推导出来的.因此 2 L 又作成一个距离空间. 仿 2 L 空间的理论，我们也可对 2 L 中的元素序列 f 1, f 2 , f n , 引进平均收 敛性概念.假如 lim 0, 0 − = → f f n n 则称序列 f (x) n 平均收敛于 f (x) ，记作 ( ) ( )( ). 2 f n x → f x n → 完全类似地，假如 f − f →0 (m,n →), m n 则称 f n 为 2 L 中的基本序列. 还可以证明， 2 L 空间理论中的 Fischer 定理在此 仍然成立.亦即，凡 2 L 中的基本序列必有极限且极限函数仍在 2 L 中（这也就是 关于 2 L 空间的完备性定理）
§3.直交函数系与广义 Fourier级数 设p(x)为定义在闭区间{ab]上的权函数如果函数f(x)与g(x)满足条件 广,(x)(x(x=0 则说函数∫与g在[a,b上关于权函数p(x)是直交的如果函数系统 O(x)o2(x)…,O(x) 中每一对函数在区间[]上关于权函数p(x)均为直交,则称该系统为[ab]区 间上关于权函数p(x)的直交函数系特别,若p(x)=1那就可以不必提到权函数 让我们在这里列举几个最常见的直交函数系 例1三角函数系 1. cosxsin x cos 2x.sin 2x... cosnxsin nx 是定义在闭区间x,x」上的直交函数系 例2余弦函数系与正弦函数系 1. cosx. cos 2x.. cos nx sinx,sn2x,…, sIn nx,… 均是0]上的直交函数系 例3 Legendre多项式 n()=1(x)(2-y(=02-) 是区间[1的直交多项式系 例4 Tchebyshev多项式系 7n()= cos (n arccos x)(=012-)是区间[1]上对权函数(-x2)而 言的直交系 例5考虑Stum- Liouville型微分方程边值问题
§3. 直交函数系与广义 Fourier 级数 设 (x) 为定义在闭区间 a,b 上的权函数.如果函数 f (x) 与 g(x) 满足条件： ( ) ( ) ( ) = 0, x f x g x dx b a 则说函数 f 与 g 在 a,b 上关于权函数 (x) 是直交的.如果函数系统 1 (x),2 (x), ,k (x), 中每一对函数在区间 a,b 上关于权函数 (x) 均为直交，则称该系统为 a,b 区 间上关于权函数 (x) 的直交函数系.特别，若 (x) 1, 那就可以不必提到权函数. 让我们在这里列举几个最常见的直交函数系. 例 1 三角函数系 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,cos nx,sin nx, 是定义在闭区间 −, 上的直交函数系. 例 2 余弦函数系与正弦函数系 sin ,sin 2 , ,sin , 1,cos ,cos 2 , ,cos , x x nx x x nx 均是 0, 上的直交函数系. 例 3 Legendre 多项式 ( ) ( 1) ( 0,1,2,) 2 ! 1 2 − = = x n dx d n p x n n n n 是区间 −1,1 上的直交多项式系. 例 4 Tchebyshev 多项式系 T (x) = cos(narccos x) (n = 0,1,2, ) n 是区间 −1,1 上对权函数 ( ) 2 1 2 1 − − x 而 言的直交系. 例 5 考 虑 Sturm-Liouville 型 微 分 方 程 边 值 问 题 ：
y+p(x)y=0,y(a)=y(b)=0,此处p(x)>0是定义在[ab上的连续函数, 而为数值参数除去平凡解y(x)=0不予考虑之外,凡不恒等于零的解y(x)均 称为基本函数,而对应的λ值称为特征值(注意并非任何A值都对应有基本函数) 根据微分方程理论,上述问题的特征值总是存在的,而且除常数因子不计外,对 应于每一特征值都只有一个基本函数特征值可以由小到大的排列起来,因而对 应的基本函数也可以排成一列,例如 ,2,l3 y1(x)y2(x)y3(x)… 可以证明,上列的基本函数系在闭区间[a,b]上关于权p(x)是直交系 事实上,假如i≠k,则 y+2,p(x)=0,yk+Akp(x)yk=0 用yk,y分别乘以第一、第二式,再相减可得 3一)(Dy+4-别)=0 两边积分又可得 a-Ap(x)y yAdx+DVky-VV=0 由边界条件及A1≠入便得知 CP(x)y rdx=0 证毕 下面着重介绍广义的 Fourier展开问题设{4(x)k=1,2,3…)在区间[a,b 上关于权函数p(x)作成直交函数系,其中每一个o(x)均不几乎处处等于零且 均在空间L中因而
( ) 0, ( ) ( ) 0, '' y + x y = y a = y b = 此处 (x) 0 是定义在 a,b 上的连续函数， 而 为数值参数.除去平凡解 y(x) 0 不予考虑之外，凡不恒等于零的解 y(x) 均 称为基本函数，而对应的 值称为特征值（注意并非任何 值都对应有基本函数）. 根据微分方程理论，上述问题的特征值总是存在的，而且除常数因子不计外，对 应于每一特征值都只有一个基本函数.特征值可以由小到大的排列起来，因而对 应的基本函数也可以排成一列，例如： ( ), ( ), ( ), . , , , , 1 2 3 1 2 3 y x y x y x 可以证明，上列的基本函数系在闭区间 a,b 上关于权 (x) 是直交系. 事实上，假如 i k, 则 ( ) 0, ( ) 0. " '' yi + i x yi = yk + k x yk = 用 k i y , y 分别乘以第一、第二式，再相减可得： ( ) ( ) ( ) 0. ' ' i − k i k + yk yi − yi yk = dx d x y y 两边积分又可得 ( ) ( ) 0. ' ' − + − = b a b a i k i k k i i k x y y dx y y y y 由边界条件及 i k 便得知 ( ) = 0. x y y dx b a i k 证毕. 下面着重介绍广义的 Fourier 展开问题.设 (x)(k =1,2,3, ) k 在区间 a,b 上关于权函数 (x) 作成直交函数系，其中每一个 (x) k 均不几乎处处等于零且 均在空间 2 L 中.因而
(x(x)(k=12) 都是有限正数特别,若A=1(k=1,2,…)则称{(x)为标准直交系(显然, }总是标准直交系) Ak 设∫(x)∈L2,称按下式算出的常数 Ak ,(xo/(x(k=12 为f(x)的广义 Fourier系数,从而有如下的广义 Fourier级数: f(x) CKO (x) 由于我们还不能断定上面的 Fourier级数是否平均收敛于f(x),所以只能用 联结符号~去表示它们之间的相应关系尽管如此,这个级数的部分和却能用来圆 满的解答一般形式的最小二乘方问题这便是下面的定理 定理1( Toepler)对于任意指定的正整数n,用线性组合式 F(x)=∑aO4(x) k=1 作成的函数对给定的f(x)进行平方逼近时,为使偏差(平均平方偏差) fl=(CPlxF(x)-f(xP. 达到最小值,函数F(x)必须等于广义 Fourier级数的部分和Sn(x) Sn(x)=∑cO(x) 而偏差的最小值等于 )-/()(-∑4
( ) ( ) ( 1,2,) 2 = = A x x dx k b a k k 都是有限正数.特别，若 A =1(k =1,2, ), k 则称 k (x) 为标准直交系（显然， ( ) k k A x 总是标准直交系）. 设 ( ) , 2 L f x 称按下式算出的常数 ( ) ( ) ( ) ( 1,2,) 1 = = x x f x dx k A c b a k k k 为 f (x) 的广义 Fourier 系数，从而有如下的广义 Fourier 级数： ( ) ~ ( ). 1 k= k k f x c x 由于我们还不能断定上面的 Fourier 级数是否平均收敛于 f (x) ，所以只能用 联结符号~去表示它们之间的相应关系.尽管如此，这个级数的部分和却能用来圆 满的解答一般形式的最小二乘方问题.这便是下面的定理. 定理 1（Toepler） 对于任意指定的正整数 n ，用线性组合式 ( ) ( ) = = n k k k F x a x 1 作成的函数对给定的 f (x) 进行平方逼近时，为使偏差（平均平方偏差） ( ) ( ) ( ) 1 2 2 − = − b a F f x F x f x dx 达到最小值，函数 F(x) 必须等于广义 Fourier 级数的部分和 S (x): n ( ) ( ). 1 = = n k n k k S x c x 而偏差的最小值等于 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 1 2 2 − = − = b a n k n k k S x f x x f x dx A c
证明根据{k}的直交性易于算出 F-f2=o(x)F()-(x)2d F2dx+ ef2dx fFds ∑4a2+m2-2∑4a1k y2h+∑4(a1-c1)-∑4c k=1 因此要使|F-f‖取最小值,唯有令ak=c4亦即,只有当F(x)恰好等于 Fourier 级数的部分和Sn(x)时才给出了偏差F-八的最小值证毕 注意|S-川20因此根据最小值的那个表达式,立即推出 ∑4c2≤(xU(a 又因为不等式的右端与n无关,故可令n→>∞而得出 ∑4c2≤(x册 通常称(3.1)式为广义Bese不等式 根据偏差的最小值表达式知,上述的 Bessel不等式能改为所谓的 Parseval等 式 ∑4c2=p(x)()dx 的充要条件是 lims, (x)-fGx=0 换言之, Fourier级数的部分和S,(x)平均收敛于f(x)这件事是同f(x)的
证明 根据 k 的直交性易于算出 ( ) ( ) ( ) = + − − = − b a b a b a b a F dx f dx Ffdx F f x F x f x dx 2 2 2 2 2 ( ) . 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 = = = = = = = + − − = + − + − = n k k k n k k k k b a n k k k k b a n k k k b a n k k k b a b a n k k k f d x A a c A c A a f d x A a c a d x f d x a f d x 因此要使 2 F − f 取最小值，唯有令 . k k a = c 亦即，只有当 F(x) 恰好等于 Fourier 级数的部分和 S (x) n 时才给出了偏差 F − f 的最小值.证毕. 注意 S − f 0, n 因此根据最小值的那个表达式，立即推出 ( ) ( ) = b a n k Ak ck x f x dx. 2 1 2 又因为不等式的右端与 n 无关，故可令 n → 而得出 ( ) ( ) = b a k Ak ck x f x dx. 2 1 2 通常称 (3.1) 式为广义 Bessel 不等式. 根据偏差的最小值表达式知，上述的 Bessel 不等式能改为所谓的 Parseval 等 式： ( ) ( ) = = b a k Ak ck x f x dx 2 1 2 的充要条件是 lim ( )− ( ) = 0. → S x f x n n 换言之，Fourier 级数的部分和 S (x) n 平均收敛于 f (x) 这件事是同 f (x) 的