Parseval等式成立这件事互相等价的因此,L2空间中的一个 Fourier级数是否收 敛的问题也就归结为 Parseval等式是否成立的问题 试问,在什么条件下,给定的数列(}能够有资格作为L2中某一函数f(x) 的 Fourier系数,并且由其形成的 Fourier级数平均收敛于f(x)?正像通常的 Fourier级数论那样,对于这个问题的回答有如下的定理 定理2( Riesz-Fischer)设{4(x)在闭区间{a,b]上关于权函数p(x)作成直 交函数系若数列{ckKk=12,…满足条件 ∑Ac2<+ k=1 其中4=o2x则L2中存在唯一的函数f(x),使得/(x)的Foue系数恰 好是(x},且∑co(x)2 证明记Sn(x)=∑cO(x) 则于m>n时依Ok间的直交性,显然有 .5815-Ca =)A4c4→0.(m>n→∞ 因此,{Sn}为一基本序列,从而由L2的完备性得知其极限 lim s((x)亦在L2中 n→)0 (当然这里所说的极限是按照平均收敛的意义而言的)亦即有L2中的函数 f(x)使得 limS, -f=o 现在来验证{ck}恰好是f(x)的 Fourier系数由于
Parseval 等式成立这件事互相等价的.因此， 2 L 空间中的一个 Fourier 级数是否收 敛的问题也就归结为 Parseval 等式是否成立的问题. 试问，在什么条件下，给定的数列 ck 能够有资格作为 2 L 中某一函数 f (x) 的 Fourier 系数，并且由其形成的 Fourier 级数平均收敛于 f (x) ？正像通常的 Fourier 级数论那样，对于这个问题的回答有如下的定理. 定理 2（Riesz-Fischer）设 k (x) 在闭区间 a,b 上关于权函数 (x) 作成直 交函数系.若数列 c (k =1,2, ) k 满足条件： , 1 2 + k= k k A c 其中 , 2 = b a Ak k dx 则 2 L 中存在唯一的函数 f (x) ，使得 f (x) 的 Fourier 系数恰 好是 ck ，且 ( ) ( ). 2 1 c x f x n k k k → = 证明 记 ( ) ( ), 1 = = n k n k k S x c x 则于 m n 时依 k 间的直交性，显然有 0,( ). 1 2 2 1 2 1 2 = + = + = + = → → − = = m k n k k b a m k n k k m k n m n k k A c m n S S c c d x 因此， Sn 为一基本序列，从而由 2 L 的完备性得知其极限 S (x) n n→ lim 亦在 2 L 中 （当然这里所说的极限是按照平均收敛的意义而言的）.亦即有 2 L 中的函数 f (x) 使得 lim − = 0. → S f n n 现在来验证 ck 恰好是 f (x) 的 Fourier 系数.由于
[-2(-s))( f- SavAk→0 m efordx=lim ps, o, (dx=CkAk 这表明ck恰好是f(x)的 Fourier系数从而Sn恰好是f(x)的 Fourier级数的前n 项部分和,而极限关系式lm|Sn-f=0表明该Foue级数是平均收敛的 又因为序列Sn(x)的极限是唯一的,因此作为极限函数而存在的f(x)也是唯 的证毕 若{ok}为封闭的直交函数系,而f(x)与g(x)为L2中的任意两函数,它们 的 Fourier系数分别为{a}与{B},则下列广义 Parseval等式成立 ∫,px)/(x(x)x=∑4a1 事实上,因为∫+g的 Fourier系数为{ak+Bk}因此利用通常的 Parseval 等式,有 (r2+2g+g2k=∑42+2a,B+B3) m2x=∑4a2gdx=∑4R 由上列三式间的比较便可得出广义的 Parseval等式 给定一个直交系{o},如果B2中再也没有一个函数(几乎处处等于零的函 数除外)能和一切Ok相直交,那么{@}便称为完备的直交系 定理3{ok是一个完备直交系的充分必要条件是:它是一个封闭直交系 证明如果{是封闭直交系,当函数∫和每一个O4都直交时,则该函数
( ) ( ) 0 ( ). 1 2 2 1 2 2 = − → → − − f S A n f S d x f S d x d x n k b a k b a n b a n k 故 lim ( ) . k k b a n k n b a f kdx = S x dx = c A → 这表明 k c 恰好是 f (x) 的 Fourier 系数.从而 n S 恰好是 f (x) 的 Fourier 级数的前 n 项部分和，而极限关系式 lim − = 0 → S f n n 表明该 Fourier 级数是平均收敛的： . 2 S f n → 又因为序列 S (x) n 的极限是唯一的，因此作为极限函数而存在的 f (x) 也是唯 一的.证毕. 若 k 为封闭的直交函数系，而 f (x) 与 g(x) 为 2 L 中的任意两函数，它们 的 Fourier 系数分别为 k 与 k ，则下列广义 Parseval 等式成立： ( ) ( ) ( ) . 1 = = k k k k b a x f x g x dx A 事实上，因为 f + g 的 Fourier 系数为 , k + k 因此利用通常的 Parseval 等式，有 ( ) ( ) , . 2 2 , 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 = = = = = + + = + + k k k b a k k k b a k k k k k k b a f d x A g d x A f fg g d x A 由上列三式间的比较便可得出广义的 Parseval 等式. 给定一个直交系 k ，如果 2 L 中再也没有一个函数（几乎处处等于零的函 数除外）能和一切 k 相直交，那么 k 便称为完备的直交系. 定理 3 k 是一个完备直交系的充分必要条件是：它是一个封闭直交系. 证明 如果 k 是封闭直交系，当函数 f 和每一个 k 都直交时，则该函数