.o234y xy X y 0.2 0.00810002 12210.2440049 0.5 0.12500631.6490.8240412 0.7 03430240201414100997 0.85 072306140.5222.3401.9891.690 271827182718 32502.50320901.82699427.1855857 下表给出了px)在结点处的误差 0.7 0.85 1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 P2(x)123 1644 2.017 2.344 2.715 y-P2(x)02200100 -0.004 0.003 用多项式pn(x)=a+a1x+…+an,x"去近似一个给定的列表函数(即给 出的一组观测值y=f(x)时,需要确定的参数是an,a41…an;而pn(x)可以 看成是a02a12…,an的线性函数但是有时在利用观测或实验数据去确定一个经 验公式时,往往要确定的函数和待定参数之间不具有线性形式的关系这样问题 就变得有些复杂然而,常常可以通过变量替换使其线性化例如 有时,我们希望用如下类型的函数 16) 去近似一个由一组观测数据(列表)所描绘的函数,其中P和q是待定的两个参 数显然S已非P和q的线性函数怎样线性化呢?为此,我们在(16)式两端取对 数,得到 In s=In p+gIn t
0 x 1 x 2 x 3 x 4 x y xy x y 2 1 1 1 1 1 0.2 0.5 0.7 0.85 1 0.04 0.25 0.49 0.723 1 0.008 0.125 0.343 0.614 1 0.002 0.063 0.240 0.522 1 1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 0.244 0.824 1.410 1.989 2.718 0.049 0.412 0.997 1.690 2.718 5 3.250 2.503 2.090 1.826 9.942 7.185 5.857 下表给出了 p (x) 2 在结点处的误差. x 0.2 0.5 0.7 0.85 1 y 1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 p (x) 2 1.223 1.644 2.017 2.344 2.715 y p (x) − 2 -0.002 0.005 -0.003 -0.004 0.003 用多项式 ( ) n n n p x = a + a x ++ a x 0 1 去近似一个给定的列表函数（即给 出的一组观测值 ( ) i i y = f x ）时，需要确定的参数是 , , , ; a0 a1 an 而 p (x) n 可以 看成是 a a an , , , 0 1 的线性函数.但是有时在利用观测或实验数据去确定一个经 验公式时，往往要确定的函数和待定参数之间不具有线性形式的关系.这样问题 就变得有些复杂.然而，常常可以通过变量替换使其线性化.例如： (1) 有时，我们希望用如下类型的函数： (1.6) q s = pt 去近似一个由一组观测数据（列表）所描绘的函数，其中 p 和 q 是待定的两个参 数.显然 s 已非 p 和 q 的线性函数.怎样线性化呢？为此，我们在 (1.6) 式两端取对 数，得到 ln s = ln p + qln t
记hs=y,hp=ao,a=q,x=hnt,则(16)式变成 这是一个一次多项式,它的系数a0和a1可以用最小二乘法求得 (i)我们经常希望用函数 去近似一个以给定的列表函数,其中A、C是待定的参数这时,我们可以在(17) 的两端取对数 In s=In a+ct 记hS=y,hnA=aC1=a,x=t,则(7)式变成 y=ao t air 这样,仍可用最小二乘法定出ao,a1(从而也就定出了AC),得到近似函数 s=Aecr 例2设已知如下一组实验数据 t=2.2273.54.1 S=65605350 试求一个()型的函数去近似它 解计算以紧凑的形式表示如下: x=hn t y=In s 0.3424 0.1172 1.8129 0.6207 0.4314 0.1861 1.7782 0.7671 0.5441 0.29601.7243 0.9382 0.6128 0.3755 1.6990 10411 1.9307 0.9748 7.0144 3671
记 ln s = y ，ln p = a0，a1= q ， x =ln t ，则 (1.6) 式变成 y = a0 + a1x . 这是一个一次多项式，它的系数 a0 和 a1 可以用最小二乘法求得. (ii) 我们经常希望用函数 (1.7) Ct S = Ae 去近似一个以给定的列表函数，其中 A、C 是待定的参数.这时，我们可以在 (1.7) 的两端取对数： ln S = ln A+Ct 记 ln S = y ，ln A= a0,C1 = a1, x = t ，则 (1.7) 式变成 y = a0 + a1x 这样，仍可用最小二乘法定出 0 1 a ,a （从而也就定出了 A,C ），得到近似函数 Ct S = Ae . 例 2 设已知如下一组实验数据： t =2.2 2.7 3.5 4.1 S =65 60 53 50 试求一个 (1.7) 型的函数去近似它. 解 计算以紧凑的形式表示如下： x0 x = ln t 2 x y = ln S xy 1 0.342 4 0.117 2 1.812 9 0.620 7 1 0.431 4 0.186 1 1.778 2 0.767 1 1 0.544 1 0.296 0 1.724 3 0.938 2 1 0.612 8 0.375 5 1.699 0 1.041 1 4 1.930 7 0.974 8 7.014 4 3.367 1
lo 由此得方程组 4an+1.9307a1=70144, 1.9307a0+0.9748a1=3.3671 解之得a0=lp=1.963,p=91.9,q=a1=-0.434,从而 919t0434 §2空间12) 设已知一列表函数y=f(x1)i=0,1…,m)为了构造函数f(x)的一个 n(<m)次近似多项式pn(x)按最小二乘法,应使和 S=∑(n(x)(x) 取最小值这相当于在结点x,(=0,1…,m)处约束pn(x)看pn(x)近似列表函 数∫(x)的程度如何,也只是看在这m+1个结点上的情况(亦即平方偏差 (pn(x1)-f(x)2).有时也需要考虑在全区间6上构造函数/(x)的近似多项 式Pn(x)此时自然应以积分 r(p()-f()d 代替和∑取最小值实际上,在数值分析中常以数量 p-f=(()-()d 来度量函数p(x)与f(x)的接近程度 只要回想一下n维欧式空间中的两点距离公式,就知道上述数量可以类似地 理解为函数空间中的元素p(x)与f(x)两者间的距离而当 pn-f→0(n>∞)时,也就可把pn(x)理解为按照上述的平方度量收敛于
S0 S1 S2 u0 u1 由此得方程组 1.930 7 0.974 8 3.367 1. 4 1.930 7 7.014 4, 0 1 0 1 + = + = a a a a 解之得 ln 1.963, 91.9, 0.434, a0 = p = p = q = a1 = − 从而 91.9 . −0.434 S = t §2 空间 L (x) 2 设已知一列表函数 y f (x )(i 0,1, ,m). i = i = 为了构造函数 f (x) 的一个 n( m) 次近似多项式 p (x), n 按最小二乘法，应使和 ( ( ) ( )) = = − m i n i i S p x f x 0 2 取最小值.这相当于在结点 x (i m) i = 0,1, , 处约束 p (x), n 看 p (x) n 近似列表函 数 f (x) 的程度如何，也只是看在这 m+1 个结点上的情况（亦即平方偏差 ( ( ) ( )) 2 n i i p x − f x ）.有时也需要考虑在全区间 a,b 上构造函数 f (x) 的近似多项 式 p (x), n 此时自然应以积分 (p (x) f (x)) dx b a n − 2 代替和 取最小值.实际上，在数值分析中常以数量 ( ( ) ( )) − = − b a p f p x f x dx 2 来度量函数 p(x) 与 f (x) 的接近程度. 只要回想一下 n 维欧式空间中的两点距离公式，就知道上述数量可以类似地 理解为函数空间中的元素 p(x) 与 f (x) 两者间的距离 . 而 当 p − f → (n →) n 0 时，也就可把 p (x) n 理解为按照上述的平方度量收敛于
f(x),记 p,(x)2→f(x) 在实变函数论中讨论D2空间理论时,人们正是这样来理解一个序列的收敛(或 极限)概念的 为了实用的需要,我们还有必要进步去扩充上述观点,设p(x)是一个在 区间[a,b上()可积的非负函数,它至多只在一个测度为零的集合上可能等于 零以后我们常把p(x) 成为权函数 对于任意一个定义在区间[ab]上的可测函数∫(x),如果p(x)f(x)为(L) 可积,则就说f(x)属于Ln[]类;如果p(x)(x)为(L)可积,则说f(x) 属于L6 由不等式 x)(x)≤p(x)1+f2(x) 可以看出,凡L2中的函数都在L内(即L2cL)又由不等式 (x)g(x)≤ f2(x)+g2(x) 可知L中每两个函数之积恒属于L 现在介绍一下范数的概念D中的每一个函数f(x),都赋予一个数值 =C在, 并称它为∫的广义绝对值或范数由此 -8=(-8(
f (x) ，记 ( ) ( ), . 2 pn x ⎯→ f x n → 在实变函数论中讨论 2 L 空间理论时，人们正是这样来理解一个序列的收敛（或 极限）概念的. 为了实用的需要，我们还有必要进一步去扩充上述观点，设 (x) 是一个在 区间 a,b 上（L）可积的非负函数，它至多只在一个测度为零的集合上可能等于 零.以后我们常把 (x) 成为权函数. 对于任意一个定义在区间 a,b 上的可测函数 f (x) ，如果 (x) f (x) 为（L） 可积，则就说 f (x) 属于 L a,b 类；如果 ( )( ( )) 2 x f x 为（L）可积，则说 f (x) 属于 L a,b 2 类. 由不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 f x x f x x + 可以看出，凡 2 L 中的函数都在 L 内（即 L L 2 ）.又由不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x g x f x g x + ， 可知 2 L 中每两个函数之积恒属于 L . 现在介绍一下范数的概念. 2 L 中的每一个函数 f (x) ，都赋予一个数值 ( ) ( ) = b a f x f x dx 2 ， 并称它为 f 的广义绝对值或范数.由此 ( ) ( ) ( ) − = − b a f g x f x g x dx 2
便给出了两个函数∫和g之间的距离或接近程度的度量所谓平方逼近正式按照 这种度量来衡量其逼近程度的 下面关于范数的三条基本性质是容易验证的: 1.|f|≥0,并且当切仅当∫=0时f‖=0 ·/lc为一任意常数; f+g≤|fl1+|l 看来只有性质3是需要仔细验证的事实上,在 Schwarz不等式 fgdxsef dx pg 的两边乘以2并各加上 t og dx 得到 +2hs(ra)+(〔 再将上式两边各自开平方,就恰好得到了性质3中的不等式 利用泛函分析的术语来说,若是一个函数类中的元素(函数),按某种方式 赋予范数的概念之后,而范数恰好具有性质1,2,和3,那么就说该函数类构成 一个赋范空间如此看来,函数类L2对于上面规定的范数来所恰好构成一个赋范 空间,不妨仍用L来表示这个空间,同时还不妨把其中的所有元素(函数)称 之为该空间的点 读者还不难自行验证,当[ab]上一切连续函数f(x)(多项式自然包括在内) 赋以范数f=max/f(x)之后,恰好构成一个赋范空间原因是性质1,2,3都 是具备的
便给出了两个函数 f 和 g 之间的距离或接近程度的度量.所谓平方逼近正式按照 这种度量来衡量其逼近程度的. 下面关于范数的三条基本性质是容易验证的： 1． f 0, 并且当切仅当 f 0 时 f = 0 ； 2． cf = c f , c 为一任意常数； 3． f + g f + g . 看来只有性质 3 是需要仔细验证的.事实上，在 Schwarz 不等式 2 1 2 2 1 2 b a b a b a fgdx f dx g dx 的两边乘以 2 并各加上 + b a b a f dx g dx 2 2 得到 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 + + b a b a b a f g dx f dx g dx . 再将上式两边各自开平方，就恰好得到了性质 3 中的不等式. 利用泛函分析的术语来说，若是一个函数类中的元素（函数），按某种方式 赋予范数的概念之后，而范数恰好具有性质 1，2，和 3，那么就说该函数类构成 一个赋范空间.如此看来，函数类 2 L 对于上面规定的范数来所恰好构成一个赋范 空间，不妨仍用 2 L 来表示这个空间，同时还不妨把其中的所有元素（函数）称 之为该空间的点. 读者还不难自行验证，当 a,b 上一切连续函数 f (x) （多项式自然包括在内） 赋以范数 f f (x) axb = max 之后，恰好构成一个赋范空间.原因是性质 1，2，3 都 是具备的