6比值审敛法(达朗贝尔 D'Alembert判别法): 设∑u1是正项级数如果imm=p(p数或+∞) n A则<1时级数收敛P>1时级数发散;P≤1时失效 证明当p为有限数时,对v>0, 工工工 日N,当n>N时,有m1-p<B u 即p-E<<p+E(n>N) 上页
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. 证明 当为有限数时, 对 0, N, 当n N时, , 1 − + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n − + + 即
当p<时,取ε<1-p,使r=+p<1 N+2 <ru N+19 L N+3 <mx+2<rLN+1,… x+m<r"Wx+1,而级数∑ru+收敛, ∑4N+m=∑u收敛,收敛 n=1 H=N+1 当ρ>埘时,取6<p-1,使r=p-E>1, 当n>M时,un1>rmn>un,limn2≠0.发散 1→0 上页
当 1时, 当 1时, 取 1− , 使r = + 1, , 1 1 + − + N m uN m r u , N +2 N +1 u ru , 1 2 N +3 N +2 uN + u ru r , , 1 1 1 = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1 收敛 = + = + = n N u m uN m u 收敛 取 −1, 使r = − 1, 当n N时, , n 1 n un u + ru lim 0. → n n u 发散
比值审敛法的优点:不必找参考级数 两点注意: 1.当p=1时比值审敛法失效; 例级数∑发散, n 级数 y 收敛, n-=1 n 上页
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效; , 1 1 例 级数 发散 n= n , 1 1 级数 2 收敛 n= n ( = 1)
庄2条件是充分的,而非必要 例:u 2+(-1)3 n 2 2 n 2 级数∑un=∑ 2+(-1) 收敛 2 n=] H=1 但m2+(-1) n2(2+(-1)") =an, liman= n→0 6 3 cima2n1=,∷lim"= lim a不存在 n→00 n→0 n→0 n 上页
, 2 3 2 2 ( 1) n n n n n u = v + − 例 = , 2 2 ( 1) 1 1 级数 收敛 = = + − = n n n n un , 2(2 ( 1) ) 2 ( 1) 1 1 n n n n n a u u = + − + − = + 但 + , 6 1 lim 2 = → n n a , 2 3 lim 2 +1 = → n n a lim lim . 1 n 不存在 n n n n a u u → + → = 2.条件是充分的,而非必要
王例4判别下列级数的收敛性: )∑ ni ∑ n n=1 n=1 10″ (2n-1)·2n 解(1)∵m (n+1)! →0(n→>o) n+1 n 故级数∑收敛 n=1 上页
例 4 判别下列级数的收敛性: (1) =1 ! 1 n n ; (2) =1 10 ! n n n ; (3) = − 1 (2 1) 2 1 n n n . 解 (1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n u u n n + = + 1 1 + = n → 0 (n → ), . ! 1 1 故级数 收敛 n= n