例2证明级数∑ 是发散的 m√n(n+1) 证明 √n(n+1)n+1 而级数∑ 1 发散, n=11+1 级数∑1发散 n√n(n+1) 上页
例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4.比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑v都是正项级数如果im=l, H=1 n=1 则(1)当0<l<+时,二级数有相同的敛散性; (2)当l=0时,若∑收敛则∑un收敛 =1 n-=1 牛(当l=+∞时若∑发散则∑发散; n=1 1- 1 上页
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由lm“=l对于E= >0. n→>o1 2 彐N,当n>M时,-1n<(k一 2 2 n 3l .<L<卩 2" ,(n>N) 2 由比较审敛法的推论,得证 上页
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5极限审敛法 设∑u为正项级数 n=1 如果lmnn=l>0(或immn=∞), →0 n→)0 则级数∑un发散; n=1 牛如果有>1,使得mn存在 则级数∑un收敛 H=1 上页
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. 5.极限审敛法：
例3判定下列级数的敛散性: ∑ SIn n=1 n 23″- SIn 上解(1): lim nsin=im-,"=1,原级数发散 n→ nn→ 1 n 工工工 2 ):.lim 3 -n =im =1 n→0 n→ n 3" 3 ∑2收敛,故原级数收敛 H-=1 上页
例 3 判定下列级数的敛散性: (1) =1 1 sin n n ; (2) =1 3 − 1 n n n ; 解 (1) n n n n 3 1 3 1 lim − → n n n 1 1 sin lim → = = 1, 原级数发散. (2) n n n 1 lim sin → n n n 3 1 1 lim − = → = 1, , 3 1 1 收敛 n= n 故原级数收敛