2 2 + m n 2 2n+12 级数收敛,和为 2 上
) 2 1 1 (1 2 1 lim lim + = − → → n s n n n ), 2 1 1 (1 2 1 + = − n , 2 1 = . 2 1 级数收敛, 和为
三、基本性质 性质1如果级数∑un收敛,则∑kn亦收敛 H=1 1=1 结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变 ● oo 工工工 性质2设两收敛级数=∑un,=∑vn n=1 n=1 则级数∑(un±vn)收敛,其和为±o H=1 结论:收敛级数可以逐项相加与还项相减. 上页 圆
三、基本性质 性质 1 如果级数 n=1 un 收敛,则 n=1 kun 亦收敛. 性质 2 设两收敛级数 = = n 1 un s , = = n 1 n v , 则级数 = 1 ( ) n n n u v 收敛,其和为s . 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减
庄性质3若级数∑n收敛则∑n也收敛 n H=k+1 (k≥1).且其逆亦真 证明u +1 k+2 ∷+L 1+ ∴+L n k +1 k+2 k+n n+k 9 limo. =lim lil n+ k In Sk=S-Sk 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性 上页
性质 3 若级数 n=1 un 收敛,则 n=k+1 un 也收敛 (k 1).且其逆亦真. 证明 uk+1 + uk+2 ++ uk+n + n = uk+1 + uk+2 ++ uk+n , n k k = s − s + k n n k n n n s s → + → → 则lim = lim − lim . k = s − s 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性
性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和 证明(u1+u2)+(3+4+u5)+… G1=S2,2=S5,3=S9, ,Om=A n9·· Ims=S。 n→0 n 上页
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 证明 (u1 + u2 ) + (u3 + u4 + u5 ) + , 1 2 = s lim lim s s. n n m m = = → → 则 , 2 5 = s , 3 9 = s , , m n = s
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 例如(1-1)+(1-1)+…收敛 1-1+1-1+ 发散 推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 上数也发散 上页
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如 (1−1) + (1−1) + 1− 1+ 1− 1+ 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散. 收敛 发散