④将x→>x换成x→x,x→x,x→+,x→-∞, x→)0仍有类似的结论 如:x→>∞时型的极限 定理设f(x),(x)在|x|>N上有定义,且 (lim f(x)=lim g(r)=0 (2)∫(x),g(x)在|x|>N时可导,且g(x)≠0 f(x A(或∞) g(r) 则imf()i"(x) f(r) A(或∞) x→00 g()x>yo
④ → → → → → + → − + − x x x x x , x x , x , x , 将 0换成 0 0 仍有类似的结论 时 型的极限 0 0 如： x → 定理 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3)lim (2) ( ), ( ) | | ( ) 0 (1)lim ( ) lim ( ) 0 ( ), ( ) | | = = = = = → → → → → 则 或 或 在 时可导，且 设 在 上有定义，且 A g x f x g x f x A g x f x f x g x x N g x f x g x f x g x x N x x x x x
关于一型的极限,有下述定理 定理设f(x),g(x)在x的某邻域内有定义,且 (1)lim f(x)=lim g(x)=oo (2)∫(x),g(x)可导,且g'(x)≠0 <(4或∞) 则 lim f(r) f"(x) xxg(x)()4(或∞) 将x→x换成x→x,x→x,x→+∞,x→-∞, x→>∞结论仍成立
关于 型的极限，有下述定理 定理 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3) lim (2) ( ), ( ) ( ) 0 (1) lim ( ) lim ( ) ( ), ( ) 0 0 0 0 0 0 = = = = = → → → → → 则 或 或 可导，且 设 在 的某邻域内有定义，且 A g x f x g x f x A g x f x f x g x g x f x g x f x g x x x x x x x x x x x x → → → → → + → − + − x x x x x , x x , x , x , 将 0换成 0 0 结论仍成立
x3-3x+2 例1求lm 1x-x2-x+1 解原式=lim 3x2-3 0000 3x2-2x-1 6x lim x16x-22 例2ex-e x=2x0=lim *tex-2 0 x→)0x-sIny x→0 0 cos x tex 0 =lim e te m x→>0sinx →>0coSx 注 在反复使用法则时,要时刻注意检查是否为 未定式,若不是未定式,不可使用法则
例1 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 ) 0 0 ( 解 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 ) 0 0 ( 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = 例2 x x e e x x x x sin 2 lim 0 − − − − → ) 0 0 ( x e e x x x 1 cos 2 lim 0 − + − = − → ) 0 0 ( x e e x x x sin lim 0 − → − = ) 0 0 ( x e e x x x cos lim 0 − → + = = 2 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则
元 例3求m2 arctan x x→+0 0 2 解原式=lim1+x=imx x-+oO x→)+∞1+x 例4求lm In sin ax x→>0 In sin bx 解原式=lim a cos a· sin bx lim cos bx x-0 bcos bx. sin ax )0 cos ar
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =