4-2.绘制根轨迹的基本依据和条件 特征方程为: R(S aG(S) Y(S) 1+G(sH(s)=0 即:G(s)H(s=-1 G(S)H(S)=I 幅值条件 ∠G()H(s)=±80°(2k+1),k=0,1,2, 相角条件 S 2 0 110 s平面 GH平面
特征方程为： 1+G(s)H(s)=0 即： G(s)H(s)= -1 相角条件 G( s )H( s ) = 1 4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件 G(s) H(s) - R(s) Y(s) G(s )H(s ) = 180( 2k + 1 ), k = 0，1，2， 幅值条件 -1 0 j GH平面 -2 0 × × j 1 s2 s s平面
零极点表达形式下的幅值条件和相角条件: n ∏6- G(s)H(s) :I =1,或K > g I IIs-ii) ∠G(SH(s)=∑∠(s-x)-∑∠-)=±180°(2k+1 k=0,l,2 ●相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据 幅值条件主要用于特征根s确定时求Kg
, n m (s z ) (s p ) 1 , K (s p ) K (s z ) G(s)H(s) m i 1 i n i 1 i n g i 1 i m i 1 g i − − = = − − = = = = = 或 k 0,1,2, G(s )H(s ) (s z ) (s p ) 180 ( 2k 1 ), n i 1 i m j 1 j = = − − − = + = = 零极点表达形式下的幅值条件和相角条件： ⚫ 相角条件及特征方程是绘制根轨迹的主要依据 ⚫ 幅值条件主要用于特征根 s 确定时求 Kg
幅值条件和相角条件的几何意义 例如,若S是根轨迹上的点,则s满足 ∠G(s)H(Sn) 0 =∠(-x,)∑∠(-p) p2 =B1-(a1+a2+ax3) =土80°(2k+1,k=0,l,2, Z p1 II(so-Pi K g 3 II(so i=l p3
180 ( 2k 1 ), k 0,1,2, ( ) ( s z ) ( s p ) G( s )H( s ) s s 1 1 2 3 3 i 1 0 1 0 i 0 0 0 0 = + = = − + + = − − − = = 例如，若 是根轨迹上的点，则 满 足 幅值条件和相角条件的几何意义 1 1 2 3 m i 1 0 i n i 1 0 i g b a a a (s z ) (s p ) K = − − = = = × p2 × p1 s0 × p3 O z1 1 1 3 2 1 a 2 a a3 1 b j
4-3.绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的分支数 kI(s-ii 根轨迹的分支数=n,G(s)H(s)= 与开环极点数相同。 II(s-Pi) 二.根轨迹的对称性 特征方程的系数是实数,其特征根为实数或 共轭复数,因此根轨迹对称于实轴。 三.根轨迹的起点和终点 起点对应于Kn=0时的特征根位置, 终点则对应于K8→>时的特征根位置
4-3. 绘制根轨迹的基本规则 二．根轨迹的对称性 特征方程的系数是实数，其特征根为实数或 共轭复数，因此根轨迹对称于实轴。 三．根轨迹的起点和终点 起点对应于 时的特征根位置， 终点则对应于 时的特征根位置。 K 0 g = Kg → 一．根轨迹的分支数 根轨迹的分支数=n， 与开环极点数相同。 1 1 1 = − − − = = = ( s p ) K ( s z ) G( s )H( s ) n i i m i g i
特征方程可改写为 ICs-z g I(s-pi) Kg=0.1Kg=0 当Kn=0,必有S=P,即起点是开环极点;Kg 当K8→>,必有S=2,即开环零点是终点。 对于控制系统,一般n>m(有nm个无穷远处零点),所 以有m条根轨迹终止于m个开环零点,剩下的nm条根轨迹 将趋于无穷远处(终止于nm个无穷远处零点) 如前面的二阶系统,起点:0,-2,无零点,n=2,m=0, n-m=2,两条根轨迹→0 G(S)H(S) g (S+2)
g n i 1 i m i 1 i K 1 ( s p ) (s z ) = − − − = = 特征方程可改写为 当 ，必有 ，即起点是开环极点； 当 ，必有 ，即开环零点是终点。 K 0 g = Kg → pi s = i s = z 对于控制系统，一般n>m（有n-m个无穷远处零点），所 以有m条根轨迹终止于m个开环零点，剩下的n-m条根轨迹 将趋于无穷远处（终止于n-m个无穷远处零点） 。 如前面的二阶系统，起点：0，-2，无零点，n=2，m=0， n-m=2，两条根轨迹→∞ Kg=0 Kg=0 × × Kg ∞ Kg ∞ -1 jω σ Kg=0.5 -2 0 s(s ) K G(s)H(s) g + 2 =