3.电路初始条件的确定 求解微分方程时,解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以 电容电压或电感电流作为变量,因此,相应的微分方程的初始条件为电容电压或 电感电流的初始值。 若把电路发生换路的时刻记为t=0时刻,换路前一瞬间记为0ˉ,换路后 瞬间记为0,则初始条件为仁=0时u,i及其各阶导数的值。 (1)电容电压和电感电流的初始条件 u0.)=a20)+1rGx510,)=20)+1a(5x5 由于电容电压和电感电流是时间的连续函数(参见第一章),所以上两式中 的积分项为零,从而有 (0,)=lc(0-) j90)=90 20)2=1(0.)对应于0,)=y0.) 以上式子称为换路定律,它表明: 1)换路瞬间,若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)在换路前后 保持不变,这是电荷守恒定律的体现。 2)换路瞬间,若电感电压保持为有限值,则电感电流(磁链)在换路前后 保持不变。这是磁链守恒的体现 需要明确的是 1)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 2)换路定律反映了能量不能跃变的事实。 (2)电路初始值的确定 根据换路定律可以由电路的(0)和i(0)确定t(0)和i(0)时刻的 值,电路中其他电流和电压在t=0时刻的值可以通过0等效电路求得。求初 始值的具体步骤是: 1)由换路前t=0时刻的电路(一般为稳定状态)求t(0)或i(0-) 2)由换路定律得t(0)和i(0) 3)画t=0ˆ时刻的等效电路:电容用电压源替代,电感用电流源替代(取
3. 电路初始条件的确定 求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以 电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或 电感电流的初始值。 若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬间记为 0 －，换路后 一瞬间记为 0 ＋，则初始条件为 t=0＋时 u ，i 及其各阶导数的值。 (1)电容电压和电感电流的初始条件 由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中 的积分项为零，从而有： 对应于 以上式子称为换路定律，它表明： 1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后 保持不变，这是电荷守恒定律的体现。 2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后 保持不变。这是磁链守恒的体现。 需要明确的是: 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。 （2）电路初始值的确定 根据换路定律可以由电路的 uC(0－ ) 和 iL(0－ ) 确定 uC（0 +）和 iL(0+ ) 时刻的 值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0 + 等效电路求得。求初 始值的具体步骤是： 1）由换路前 t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求 uC (0－ ) 或 iL (0－ ) ； 2）由换路定律得 uC (0+ ) 和 iL (0+ ) ； 3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代（取
0·时刻值,方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同) 4)由0°电路求所需各变量的0′值 例6-1图示电路在t<0时电路处于稳态,求开关打开瞬间电容电流ic(0) 10k +10k 10v k 0等效电络 例6-1图(a) 解:(1)由图(a)t=0电路求得:t(0)=8V (2)由换路定律得:lk(0+)=l(0-)=8V (3)画出0等效电路如图(b)所示,电容用8V电压源替代,解得: 10-8 ic(0+) =0.2mA 注意:电容电流在换路瞬间发生了跃变,即:20-)=0≠(0) 例6-2图示电路在t<0时电路处于稳态,t=0时闭合开关,求电感电压L IQ 492 十 K√L 10v 例6-2图(a) 解:(1)首先由图(a)t=0-电路求电感电流,此时电感处于短路状态如图(b) 所示,则 2A 1+4
0 + 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）； 4）由 0 + 电路求所需各变量的 0 + 值。 例 6-1 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+ ) 例 6-1 图（a） (b) 解：(1) 由图(a) t=0－电路求得：uC (0－ )=8V (2) 由换路定律得：uC (0＋ )=uC (0－ )=8V (3) 画出 0 ＋等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，解得： 注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即： 例 6-2 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压 uL (0+ ) 。 例 6-2 图（a） 解：(1) 首先由图(a)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b） 所示，则：
0+电路 19 492 49 10v 10V 2A 例6-2图(b) 例6-2图(c) (2)由换路定律得 (0)=i(0)=2A (3)画出0+等效电路如图(c)所示,电感用2A电流源替代,解得: 42(O0)=-2×4=-87 注意:电感电压在换路瞬间发生了跃变,即:420-)=0≠x20+) 例6-3图示电路在t<0时处于稳态,t=0时闭合开关,求电感电压L(0)和电容 电流li(0) r C+uc K(=0) 例6-3图(a) 解:(1)把图(a)t=0电路中的电感短路,电容开路,如图(b)所示,则: 20-)=2(0+)=rstc(0-)=tc(0+)=5sR (2)画出0等效电路如图(c)所示,电感用电流源替代,电容用电压源替 代解得: RI c(0)=- 0 c2(0+)=-0+)=-R
例 6-2 图（b） 例 6-2 图（c） (2) 由换路定律得： iL (0+ ) = iL (0－ )= 2A (3) 画出 0+ 等效电路如图 (c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得： 注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即： 例 6-3 图示电路在 t＜0 时处于稳态，t=0 时闭合开关,求电感电压 uL(0+ )和电容 电流 iC(0+ ) 例 6-3 图（a） 解：(1) 把图(a) t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出 0 +等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替 代解得：
0电路 ●IR0电路 R RIs 例6-3图(b) 例6-3图(c) 注意:直流稳态时电感相当于短路,电容相当于断路。 例6-4求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 O48yK L3l2392 in 29 TC 例6-4图(a) 解:(1)把图(a)t=0ˉ电路中的电感短路,电容开路,如图(b)所示,则: 2(0-)=12(0+)=48/4=12A c(0-)=uc(0+)=2×12=24 (2)画出0等效电路如图(c)所示,电感用电流源替代,电容用电压源替 代解得: (0+)=(48-24)/3=8A i(0+)=12+8=20A (0+)=48-2×12=24V 2 39 十 39 292 12A↓292 24V 例6-4图(b) 例6-4图(c)
例 6 — 3 图(b) 例 6 — 3 图（c） 注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。 例 6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 例 6-4 图（a） 解：(1) 把图 (a) t=0－ 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出 0 +等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替 代解得： 例 6-4 图(b) 例 6-4 图（c）
§6.2阶电路的零输入响应 动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零,仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。 1.RC电路的零输入响应 K(t=0) R 图6.7 图6.7所示的RC电路在开关闭合前已充电,电容电压(0)=l,开关闭 合后,根据KCW可得:-Lk+c=0 由于 +=0 dt 代入上式得微分方程:(a(0+)=乙 特征方程为RCp+1=0,特征根为:2= 则方程的通解为: Aent= a 代入初始值得:A=(0.)=l, l2=140+)e=Ue t≥0 uc Uo.-Rc t≥0 放电电流为 cauc=-cU e rc( 或根据电容的VCR计算: RC R 从以上各式可以得出: 1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数,如图6.8所示;
§6.2 一阶电路的零输入响应 动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。 1. RC 电路的零输入响应 图 6.7 图 6.7 所示的 RC 电路在开关闭合前已充电，电容电压 uC (0－ )= U0，开关闭 合后，根据 KCVL 可得： ，由于 ， 代入上式得微分方程： 特征方程为 RCp+ 1=0 ， 特征根为： 则方程的通解为： 代入初始值得： A = uC(0+)= U0 ， 放电电流为： 或根据电容的 VCR 计算： 从以上各式可以得出： 1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 6.8 所示；