83控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。182年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 =f(x,) (8-70) 式中，x为n维状态向量：1为时间变量：f(x,)为n维函数，其展开式为 文=(x,2,,xn）i=1,…,n 假定方程的解为x(化xo,6),和和和分别为初始状态向量和初始时刻，x(1o;x,)=x。 平衡状态如果对于所有，满足 元.=fx,)=0 (8.71) 的状态x称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令云=0所求得的解x,便是平衡状态。 对于线性定常系统x=A红，其平衡状态满足Ax。=0,如果A非奇异，系统只有惟 一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，fx。,)=0的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不 31
327 8.3 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。 它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、 对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系 统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定 性分析的要求。1892 年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提 出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技 巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳 定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用 于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程 的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。 8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 x = f (x,t) （8-70） 式中，x 为 n 维状态向量；t 为时间变量； f (x,t) 为 n 维函数，其展开式为 1 2 ( , , , , ) i i n x f x x x t = i = 1, , n 假定方程的解为 ( ; , ) 0 0 x t x t ，x0 和 t0 分别为初始状态向量和初始时刻， 0 0 0 0 x(t ; x ,t ) = x 。 平衡状态 如果对于所有 t，满足 x e = f (xe ,t) = 0 （8-71） 的状态 xe称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令 x = 0 所求得的解 x，便是平衡状态。 对于线性定常系统 x = Ax ，其平衡状态满足 Axe = 0 ，如果 A 非奇异，系统只有惟 一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统， f (xe ,t) = 0 的解 可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态 附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系 统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不
相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。 本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状 态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。 (a)李雅普诺夫意义下的稳定性(b)渐近稳定性 (c)不稳定性 图8-18稳定性的平面几何表示 2李雅普诺夫稳定性定义 (1)李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的>0，均存在一个6(6，。)>0，当初始状 态满足k一x≤6时，系统运动轨迹满足m化x,4)-x≤,则称该平衡状态x是 李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图8-18()，x。一x. 表示状态空间中和点至x点之间的距离，其数学表达式为 x-x=Vxo-xe)》2+…+(x0-x) (8-72) 设系统初始状态0位于平衡状态。为球心、半径为8的闭球域S(6)内，如果系统稳定， 则状态方程的解x(化x,6)在1→o的过程中，都位于以x为球心，半径为e的闭球域S() 内。 (2)一致稳定性：通常8与、都有关。如果6与面无关，则称平衡状态是一致稳 定的。定常系统的6与和无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 (3)渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 limr(txo,4o)-x→0 (8-73) 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(6)出发的轨迹不仅不会超出S(c),且当1→∞
328 相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。 本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状 态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。 （a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c） 不稳定性 图 8-18 稳定性的平面几何表示 2.李雅普诺夫稳定性定义 （1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的 > 0，均存在一个 (,t 0 ) 0 ，当初始状 态满足 x0 − xe 时，系统运动轨迹满足 lim t→ − e x(t; x ,t ) x 0 0 ，则称该平衡状态 xe 是 李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图 8-18（a）， e x − x 0 表示状态空间中 x0 点至 xe点之间的距离，其数学表达式为 2 0 2 0 10 1 ( ) ( ) e e n ne x − x = x − x ++ x − x （8-72） 设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe为球心、半径为δ的闭球域 S( ) 内，如果系统稳定， 则状态方程的解 ( ; , ) 0 0 x t x t 在 t → 的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域 S( ) 内。 （2）一致稳定性： 通常δ与、t0 都有关。如果δ与 t0 无关，则称平衡状态是一致稳 定的。定常系统的δ与 t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 （3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 0 0 lim ( ; , ) 0 e t x t x t x → − → （8-73） 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从 S( ) 出发的轨迹不仅不会超出 S( ) ，且当 t →
时收敛于x或其附近，其平面几何表示见图8-18(b)。 (4)大范围稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，6→0，S()→0，x→0。对于线性系统 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 (5)不稳定性不论6取得得多么小，只要在S(6)内有一条从0出发的轨迹跨出 S(),则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图8-18(c)。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε)，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据系统：=Ax渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re(,)<0 i=l,…,n (8-74) 证明假定A有相异特征值入，…，入。，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x=Px(P由特征值入，对应的特征向量构成，为一常数矩阵)，可使A对角化，有 A=pP-AP=diag(,…入n) 变换后状态方程的解为x)=e"x(0)=diag(e'…e2m')x(0) 由于 x=P-x,x(0)=P-x(0) 故原状态方程的解为x0)=Pep-xO=e"xO) 有 e=Pep-=Pdiag(e..e)p- 将上式展开，©的每一元素都是e,”e心的线性组合，因而可写成矩阵多项式 e"-2Re4=Re+…+R,e4 故x()可以显式表出与A,的关系 329
329 时收敛于 xe或其附近，其平面几何表示见图 8-18（b）。 （4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状 态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时， → ，S() → ，x → 。对于线性系统， 如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性 系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。 （5）不稳定性 不论δ取得得多么小，只要在 S( ) 内有一条从 x0 出发的轨迹跨出 S( ) ，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图 8-18（c）。 注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描 绘出一条封闭曲线，只要不超过 S( ) ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和 非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的 稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 8.3.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它 适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据 系统 x = Ax 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的全部 特征值位于复平面左半部，即 Re(i ) 0 i = 1, , n （8-74） 证明 假定 A 有相异特征值 n , , 1 ，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换 x = Px （P 由特征值 i 对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使 A 对角化，有 ( , ) 1 1 A = P AP = diag n − 变换后状态方程的解为 x(t) e x(0) diag(e 1 e )x(0) t n At t = = 由于 x P x −1 = ， (0) (0) 1 x P x − = 故原状态方程的解为 ( ) (0) (0) 1 x t Pe P x e x At At = = − 有 1 1 diag( ) − 1 − e = Pe P = P e e P At At t t n 将上式展开， At e 的每一元素都是 t t n e e , , 1 的线性组合，因而可写成矩阵多项式 t n t t n i i At i n e R e R e R e = = + + = 1 1 1 故 x(t) 可以显式表出与λi的关系
x)=e"x(0)=[Re+…+Re4]x(0) 当式(8-74)成立时，对于任意x(0),均有x(,→0，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于x(O)≠0，x()便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根)特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，x)便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与x,,x及1有关，是一个标量函数，记以(x,):若不显 含t,则记以V(x)。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用广(x,)表示 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数x'Px作为李雅普诺夫函数。 1,标量函数定号性 (1)正定性标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x≠0)有V(x)>0且 V(O)=0,称V(x)在域S内正定。如V(x)=x子+x是正定的。 (2)负定性标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)<0且V(O)=0,称V(x) 在域S内负定。如V(x)=-(x+x)是负定的。如果V(x)是负定的，-V(x)则一定是正定 的。 (3)负（正）半定性V(O)=0,且V(x)在域S内某些状态处有V(x)=0,而其它 状态处均有V(x)<0(V(x)>0),则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定， 则-(x)为正半定。如V(x)=(x1+2x2)为正半定。 (4)不定性V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如V(x)=xx2是不定的。 关于V(x,)正定性的提法是：标量函数V(x,)在域S中，对于1>。及所有非零状态 有V(x,)>0,且V(0,)=0,则称V(x,)在域S内正定。V(x,)的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记
330 ( ) (0) [ ] (0) 1 1 x t e x R e R e x t n At t n = = ++ 当式（8-74）成立时，对于任意 x（0），均有 x(t) t→→ 0 ，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于 x(0) 0 , x(t) 便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零， x(t) 便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断， 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与 n x , , x 1 及 t 有关，是一个标量函数，记以 V x t ( , ) ；若不显 含 t ，则记以 V x( ) 。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用 V x t ( , ) 表示。 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数 x Px T 作为李雅普诺夫函数。 1.标量函数定号性 （1）正定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零状态 (x 0) 有 V (x) 0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内正定。如 2 2 2 1 V(x) = x + x 是正定的。 （2）负定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零 x 有 V (x) 0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内负定。如 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x = − x + x 是负定的。如果 V x( ) 是负定的，-V x( ) 则一定是正定 的。 （3）负（正）半定性 V (0) = 0 ，且 V x( ) 在域 S 内某些状态处有 V (x) = 0 ，而其它 状态处均有 V (x) 0 （ V (x) 0 ），则称 V x( ) 在域 S 内负（正）半定。设 V x( ) 为负半定， 则 −V x( ) 为正半定。如 2 1 2 V(x) = −(x + 2x ) 为正半定。 （4）不定性 V x( ) 在域 S 内可正可负，则称 V x( ) 不定。如 1 2 V(x) = x x 是不定的。 关于 V x t ( , ) 正定性的提法是：标量函数 V x t ( , ) 在域 S 中，对于 0 t t 及所有非零状态 有 V (x,t) 0,且 V (0,t) = 0 ，则称 V(x,t) 在域 S 内正定。 V(x,t) 的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记
P V(x)=xTPx=x1…xn (8-75) 其中，P为对称矩阵，有P,=P和·显然满足V(x)=0,其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当P的各顺序主子行列式均大于零时，即 p :>0 (8-76) pa pal P为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 Pu <o.Pu Pel lpt…pa >0,…,(-1): >0 (8-77) Pn…pn P为负定矩阵，则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或负半 定。不属以上所有情况的(x)不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只者重于物理 概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为x=f(x,),其平衡状态满足f(0,)=0,不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在V(x,)对x的连续的一阶偏导数。 定理1若①(x,)正定，②广(x,)负定：则原点是渐近稳定的。 户(x,)负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理2若①P(x,)正定：②广(x,)负半定，且在非零状态不恒为零：则原点是渐近 稳定的。 户(x,)负半定表示在非零状态存在(x,)=0,但在从初态出发的轨迹x(化，x。,。)上， 不存在V(x,)=0的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态。 而不会维持在该状态。 定理3若①V(x,)正定：②(x,)负半定，且在非零状态恒为零：则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持V(x,)=0,表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点。 331
331 = = n nn n n n T x x p p p p V x x Px x x 1 1 11 1 1 ( ) （8-75） 其中， P 为对称矩阵，有 pij = p ji 。显然满足 V (x) = 0 ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当 P 的各顺序主子行列式均大于零时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , 0 n n nn p p p p p p p p p （8-76） P 为正定矩阵，则 V x( ) 正定。当 P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , ( 1) 0 n n n nn p p p p p p p p p − （8-77） P 为负定矩阵，则 V x( ) 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则 V x( ) 为正半定或负半 定。不属以上所有情况的 V x( ) 不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理 概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为 x = f (x,t) ，其平衡状态满足 f (0,t) = 0 ,不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在 V x t ( , ) 对 x 的连续的一阶偏导数。 定理 1 若① V x t ( , ) 正定，② V x t ( , ) 负定；则原点是渐近稳定的。 V x t ( , ) 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理 2 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近 稳定的。 V x t ( , ) 负半定表示在非零状态存在 V x t ( , ) 0 ，但在从初态出发的轨迹 ( ; , ) 0 0 x t x t 上， 不存在 V (x,t) 0 的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态， 而不会维持在该状态。 定理 3 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持 V (x,t) 0 ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点