章节题目 第四节函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 内容提要 自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释 自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释 重点分析 函数极限的定义描述 极限的局部保号性 难点分析 习题布置 1(1)(3)、3、6、9 备注
1 章 节 题 目 第四节 函数的极限 内 容 提 要 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 重 点 分 析 自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释 自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释 难 点 分 析 函数极限的定义描述 极限的局部保号性 习 题 布 置 P50 ：1（1）（3）、3、6、9 备 注
教学内容 自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数亞x当x→>∞时的变化趋势 问题函数y=f(x)在x→>∞的过程中对应函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面演示实验的观察 当x无限增大时,f(x)=Sx无限接近于0 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 Jf(x)-4<E表示f(x)-4任意小;团>X表示x→∞的过程 定义 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适 合不等式>X的一切x所对应的函数值f(x)都满足不等式(x)-A<6那 末常数A就叫函数∫(x)当x→>∞时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→>A(当x→∞) "E-X"定义 imf(x)=AVE>03x>0使当>时恒有fx)-4<E 2另两种情形: 1°.x→+∞情形:imf(x)=A E>0,丑X>0,使当x>时,恒有f(x)-4<E 2.x→>-∞情形:limf(x)=A →一∞
2 教 学 内 容 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 观察函数 当 x → 时的变化趋势 x x 问题:函数 y = f (x) 在 x → 的过程中, 对应函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A. 通过上面演示实验的观察: 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x →的过程. 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 X ,使得对于适 合不等式 x X 的一切 x ,所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A ,那 末常数 A 就 叫 函 数 f (x) 当 x → 时的极限 , 记 作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 " − X"定义： = → f x A x lim ( ) 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . 2.另两种情形: 1 . : 0 x → + 情形 f x A x = →+ lim ( ) 0, X 0,使当x X时, 恒有 f (x) − A . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( )
vE>0,3X>0,使当x<-时恒有f(x)-4< 定理:limf(x)=A台lmf(x)=A且lmf(x)=A 3几何解释: sIn x 当x<-X或x>X时,函数y=f(x)图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为2e的带形区域内 例1证明lm VE>0,取X=1 则当对>时恒有 0<E, 故lin sin x=0 定义:如果lmf(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的 图形的水平渐近线 、自变量趋向有限值时函数的极限 问题函数y=∫(x)在x→>x的过程中对应函数值∫(x)无限趋近于确定值A. f(x)-A<E表f(x)-1任意小0<x-x<E表示x→x的过程
3 0,X 0,使当x −X时,恒有 f (x) − A . = → f x A x 定理: lim ( ) lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ →− 且 3.几何解释: , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 y A x X x X y f x = − = 例 1 0. sin lim = → x x x 证明 证： x x x x sin 0 sin − = x 1 X 1 = , 0, , 1 取 X = 则当 x X时恒有 0 , sin − x x 0. sin lim = → x x x 故 . : lim ( ) , ( ) 图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数y f x 的 x = = = → 二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y = f (x) 在 0 x → x 的过程中,对应函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; 0 . x − x0 表示x → x0的过程 x x y sin = − − X X A x x y sin =
点x的去心δ域,δ体现x接近x程度 1.定义 定义2如果对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在正数δ使得对于适合 不等式0<x-x<6的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式/(x)-4<E, 那末常数A就叫函数f(x)当x→x时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A当x→>x) "E-δ"定义 VE>036>0,使当x-x<时,恒有f(x)-A< 注意:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 2与任意给定的正数e有关 2几何解释: 当x在x的去心δ邻域时,函数y=f(x)图形完全落在以直 线y=A为中心线,宽为2e的带形区域内 y=f(x) A+a 显然找到一个逅后,∂)小越好 例2证明mnC=C,(C为常数) 证:任给E>0,任取δ>0,当0<x-x<c时, (x)-A=C-C=0<成立,∴lmC=C
4 , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度 1.定义: 定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合 不等式 0 x − x0 的一切 x ,对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A , 那 末 常 数 A 就 叫 函 数 f (x) 当 0 x → x 时 的 极 限 , 记 作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " −"定义： 0, 0, 0 , ( ) . 0 使当 x − x 时 恒有 f x − A 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 2.几何解释: , 2 . , ( ) 0 线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 在 的去心 邻域时 函数 图形完全落在以直 y A x x y f x = = 显然,找到一个后,越小越好. 例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证： 任给 0, 任取 0, 0 , 当 x − x0 时 f (x) − A = C −C =0 成立, lim . 0 C C x x = → 0 x − x 0 x x0 + y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y o
例3证明lnx=x 证:∵|f(x)-4={x-x任给E>0,取δ=6,当0<x-x<=时, f(x)-4=|x-xo<城成立∴lmx=x 例4证明lmx-1=2 证:函数在点x=1处没有定义 任给E>0,要使f(x)-A<6,只要取8=E, rol<d 就有 <E 2 例5证明:当x>0时,lm√x=√x0 证::|(x)-4 任给E>0,要使(x)-4<,只要x=x<√x且不取负值 取6=m(xx2,当04xx<谢时,就有-√< lin√x=y 3单侧极限: 1-x.x<0 例如,设f(x)= 证明mf(x)=1 x2+1,x≥03 y x2+1
5 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证： ( ) , 0 f x − A = x − x 任给 0, 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时 0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = → 例 4 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证：函数在点 x=1 处没有定义. 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A = x −1 ， 任给 0, 要使 f (x) − A , 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 2 , 1 1 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 例 5 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时 证： 0 f (x) − A = x − x 0 0 x x x x + − = , 0 0 x x − x 任给 0, 要使 f (x) − A , . 只要 x − x0 x0 且不取负值 min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 , 0 就有 x − x lim . 0 0 x x x x = → 3.单侧极限: 例如, , lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 设 证明 y o x 1 y =1− x 1 2 y = x +