章 题第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 目 续函数的和差积商的连续性 反函数的连续性 内|复合函数的连续性 蓉|初等函数的连续性 提 要 复合函数的连续性 初等函数的连续性 重点分析 利用函数连续求极限 难点分析 2(单)、3(2)(4)、4 题布置 备注
1 章 节 题 目 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 内 容 提 要 连续函数的和差积商的连续性 反函数的连续性 复合函数的连续性 初等函数的连续性 重 点 分 析 复合函数的连续性 初等函数的连续性 难 点 分 析 利用函数连续求极限 习 题 布 置 P85：2（单）、3（2）（4）、4 备 注
教学内容 四则运算的连续性 定理1 若函数∫(x),g(x)在点x处连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x) f(x) s(x)(8(x)≠0)在点x处也连续 例如,snx,cosx在(-∞,+∞内连续, 故tnx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 二、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如,y=sinx在-女,上单调增加且连续, 故y= arcsin x在-1上也是单调增加且连续 同理y= arccos x在-1上单调减少且连续, y= arctan x,y= arc cot x在-∞+]上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 定理3 若lno(x)=a,函数f()在点a连续 则有lm/o(x)]=f(a)=/lmo(x) 证:∵f()在点u=a连续, VE>0,37>0,使当-4<时恒有f(u)-f(a)<成立 又∵lm(x)=a 对于m>0.3δ>0,使当0<x-x<时, 恒有(x)-d=-d<n成立 将上两步合起来VE>0,彐>0,使当0<x-x<o6时, f()-f(a)=/p(x)-f(a)<E成立
2 教 学 内 容 一、四则运算的连续性 定理 1 ( ( ) 0) . ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ), 0 0 0 在点 处也连续 若函数 在点 处连续 则 g x x g x f x f x g x x f x g x f x g x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 二、反函数与复合函数的连续性 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[−,+]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理 3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x → → → = = = 则有 若 函数 在点 连续 证： f (u)在点u = a连续, 0, 0, 使当 u − a 时, 恒有 f (u) − f (a) 成立. lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时 恒有(x) −a = u −a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)] − f (a) 成立
∴mfp(x)=f(a)=[m(x) 意义: 1极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换(u=(x)的理论依据 例1求ln In(1+x) 解:原式=imh(1+x)x=n[im(1+x)]=ne=l 例2求lm 解:令e2-1=y,则x=h(1+y),当x→>0时,y→0 原式=lmxy=lm y→0 +y) 同理可得mha 定理4 设函数u=q(x)在点x=x连续,且o(x0)=l,而函数y=f(u)在 点u=l0连续,则复合函数y=/o(x)在点x=x0也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,Ⅱ=在(-,0)0.+∞)内连续, y=sinu在(-∞,+∞)内连续 =sn-在(-∞,0)儿(0,+∞内连续 三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 ★指数函数y=a2(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)内单调且连续 ★对数函数y=log。x(a>0,a≠1)在(O,+∞)内单调且连续; ★y=x“=a"%x→y=a",u= log x在(0,+∞)内连续, 讨论不同值(均在其定义域内连续)
3 lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 x x x → = 意义： 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u =(x))的理论依据. 例 1 . ln(1 ) lim 0 x x x + → 求 解： x x x 1 0 = lim ln(1+ ) → 原式 ln[lim (1 ) ] 1 0 x x = + x → = ln e =1 例 2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 解： e 1 y, x 令 − = 则x = ln(1+ y),当x →0时, y →0. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式 y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → =1 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − → 定理 4 , [ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 点 连续 则复合函数 在点 也连续 设函数 在点 连续 且 而函数 在 u u y f x x x u x x x x u y f u = = = = = = = 注意 定理 4 是定理 3 的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 − + 内连续 x u y = sin u 在(−, +)内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y 三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ y = a (a 0, a 1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a 0, a 1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续; ★ y = x x a a log = , u y = a u log x. = a 在(0, +)内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 )
定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续; 例如,y=√cosx-1,D:x=0.+x,±4丌,…这些孤立点的邻域内没有定义 y=√x(x-1)3,D:x=0,及x21,在0点的邻域内没有定义 函数在区间[,+∞)上连续 注意2.初等函数求极限的方法代入法. imf(x)=f(x)(x0∈定义区间) 例3求 lim sin ve- 解:原式=sn√el-1 例4求m1+x2-1 解原式=hmn(1+x2-1+x2+=mx=0 x(√+x2+1) 四、小结 连续函数的和差积商的连续性 反函数的连续性 复合函数的连续性.两个定理;两点意义 初等函数的连续性 定义区间与定义域的区别 求极限的又一种方法
4 定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理 6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, y = cos x −1, D : x = 0,2 ,4 , 这些孤立点的邻域内没有定义. ( 1) , 2 3 y = x x − D : x = 0, 及x 1, 在 0 点的邻域内没有定义. 函数在区间[1,+)上连续. 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = 定义区间 → f x f x x x x 例 3 lim sin 1. 1 − → x x 求 e 解： sin 1 1 原式 = e − = sin e −1. 例 4 . 1 1 lim 2 0 x x x + − → 求 解 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + − + + = → x x x x x 原式 1 1 lim 0 2 + + = → x x x 2 0 = =0 四、小结 连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法
思考题 设f(x)=sgnx,g(x)=1+x2,试研究复合函数/[g(x)与g[f(x)的连续性 思考题解答 g(x)=1+x2f(x)={0 0 「g(x)=sgn(l+x2)=1 ∫g(x在(-∞,+∞)上处处连续 glf(x)=1+(sgn x)= 2.X≠0 1,x=0 g[f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上处处连续 x=0是它的可去间断点
5 思考题 设 f (x) = sgn x， 2 g(x) =1+ x ，试研究复合函数 f [g(x)] 与 g[ f (x)] 的连续性. 思考题解答 2 g(x) =1+ x = − = 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) x x x f x [ ( )] sgn(1 ) 2 f g x = + x =1 f [g(x)] 在 (−,+) 上处处连续 ( ) 2 g[ f (x)] =1+ sgn x = = 1, 0 2, 0 x x g[ f (x)] 在 (−,0) (0,+) 上处处连续 x = 0 是它的可去间断点