练习 建立右图所示系统的状态空间表达式F 根据牛顿第二定律 y m+f+ky=F 选择状态变量x1=yx2=y=x1 01 0 x 机械系统的 k f 状态空间表 达式 X y=
练习 2 2 d y dy m f ky F dt dt + + = F m x x m f m k x x + − − = 1 0 1 0 2 1 2 1 建立右图所示系统的状态空间表达式 根据牛顿第二定律 选择状态变量 x = y 1 2 1 x = y = x = 2 1 1 0 x x y 机械系统的 状态空间表 达式
8.1.3状态空间方程的线性变换 各状态空间表达式所选取的状态矢量之间,实际上存在着 种矢量的线性变换。 设给定系统为x=Ax+Bu,x(0)=x0 y=Cx+ Du 设变换关系为x=Tz即z=Tx新的状态空间表达式 z=7A72+TBu;z(0)=7x(0)=Tx0 y=CT+ Du A=TAT B=B C=CT D=D 即 z(0=Tx(0)=Tx
8.1.3 状态空间方程的线性变换 各状态空间表达式所选取的状态矢量之间，实际上存在着 一种矢量的线性变换。 设给定系统为 y Cx Du x Ax Bu x x = + = + = 0 ; (0) x =Tz z T x −1 设变换关系为 即 = 新的状态空间表达式 y CTz Du z T ATz T Bu;z T x T x 1 1 1 1 = + = + = = − − − − 0 (0) (0) -1 -1 z z z -1 -1 0 A = T AT B = T B C = CT D = D z(0) = T x(0) = T x 即
814传递函数与动态方程的转换 传递函数——一系统初始松弛(即:初始条件为零)时,输 出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 Φ1(s)Φ12(s)…Φn( 传递函数矩阵(s)= Φ21(s)Φ2(s)…Φ2,(s) Φn(s)Φn2(s) 其中各元素Φ(S都是标量函数,它表征第j个输入对第 7个输出的传递关系。当i≠j时,意味着不同标号的输入 与输出有相互关联,称为耦合关系
8.1.4 传递函数与动态方程的转换 传递函数 —— 系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输 出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 传递函数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r m m mr s s s s s s s s s s = Φ ( ) ij s j i i j 其中各元素 都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。当 与输出有相互关联，称为耦合关系。 时，意味着不同标号的输入
线性变换不改变系统的传递函数矩阵 p(s=CT(SI-TATTB+D =CTT"(S/-AT"TB+D =C-)B+D=中() 、由动态方程求系统的传递函数 φ(s)= Y(=C(SI-A) B+D U/(s)
一、由动态方程求系统的传递函数 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s − = = − + Y Φ C I A B D U 线性变换不改变系统的传递函数矩阵 ~ -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Φ(s) = CT(sI -T AT) T B + D = CTT (sI - A) T TB + D = C(sI - A) B + D = Φ(s)
推导过程 x= Ax+ Bu 设系统状态空间方程为y=Cx+D 进行拉普拉斯变换,得X(S)-x(0)=AX(s)+BU/(s) 化简后为 [s-4」X(s)=BU(s)+x(0) 令初始条件为零,得X(S)=(S-A)BU(s Y(S=C(S-A)B+DU(S) Y(S 则系统传递函数矩7(sWC(s-A)B+D 阵表达式为
推导过程 设系统状态空间方程为 进行拉普拉斯变换，得 s s s s X x AX BU ( ) (0) ( ) ( ) − = + 化简后为 s s s I − = + Α X BU x ( ) ( ) (0) -1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) s s s s s s − = − = − + X I A BU Y C I A B D U 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s − = = − + Y T C I A B D U 令初始条件为零，得 则系统传递函数矩 阵表达式为 x = Ax + Bu y = Cx + Du