第4章根轨迹（续）闭环极点的确定解得： Sai =-0.465Sd2 =-2.87（舍)根轨迹与虚轴的交点：D(s) = s3 + 5s2 + 4s + K = 0D(j)= (jo) + 5(j)2 + 4 j@ + K. = 0- 3 + 40 = 0 → 01 = 0,02.3 = ±2-502+K,=0→K.c=20, :K.=5根轨迹与虚轴的交点为士2，对应的临界根轨迹增益为K.c=20，K=5。系统的稳定范围：0<K<5
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 根轨迹与虚轴的交点为±j2，对应的临界根轨迹 增益为Kgc=20 ， Kc=5 。 解得： s d 1 = − 0 .465 s d 2 = − 2 .8 7 （舍） ③ 根轨迹与虚轴的交点： − + = → = = − + = → = = 5 0 2 0, 5 4 0 0, 2 2 1 2.3 3 K g K g c K c ( ) 5 4 0 3 2 = + + + = K g D s s s s ( ) ( ) 5( ) 4 0 3 2 = + + + = K g D j j j j ④ 系统的稳定范围：0< K< 5
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定③为了确定~-0.5条件=0.5B=60时系统的3个闭环极Kge=20点，首先作出阻尼2.7060Kg20Kg-00P1.67/PPiOA线，它与负实轴$4-32-5DK,-2.702.70的夹角为Kgo=20β = cos-5 = cos-"0.5= 60阻尼线OA与根轨迹的交点为: S1,2 = - ± jCURRENG1在图上量取；对求解s12有两种方法2）解析法求取
c o s c o s 0 .5 6 0 1 1 = = = − − ⑤ 为了确定ζ=0.5条件 时系统的3个闭环极 点，首先作出阻尼 OA线，它与负实轴 的夹角为 阻尼线OA与根轨迹 的交点为： s 1 , 2 = − j 对求解s1,2有两种方法： 1）在图上量取； 2）解析法求取。 第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续）
第4章根轨迹（续）闭环极点的确定★解析法求取S1,2=0.5B=60'取si =-+jKe-20-=tan60°=V32.70a由系统相角方程得60Kg-~20Kg-00P1.67/aP13-4-5-3-21060K,=2.7000-120°+tan=180°+tan2.704-g1-0S点满足：0Kg=201.实部虚部之比4-9=tan60°=32.相角方程Q-(1-α)(4-)CURRENG将=代入上式并整理得：10=4→=0.4Canada求得：0=0.69，则 1.2 = -0.4 ± j0.69
★ 解析法求取s1,2： 第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 取 s 1 = − + j tan 6 0 3 (1 )(4 ) 1 1 4 = = − − − − + − 由系统相角方程得： 180 4 tan 1 120 tan 1 1 = − + − + − − = tan 6 0 = 3 将 = 3 代入上式并整理得： 1 0 = 4 → = 0 . 4 求得：ω=0.69，则 0 .4 0 .6 9 1 , 2 s = − j S点满足： 1.实部虚部之比 2.相角方程
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定?求s3:由闭环极点的根=0.5B=60'2p=2s之和定理Kge20-S3 = (0 -1- 4)- (-0.4 + j0.692.70a60*Kg-20Kg00P1.67/PIa-0.4-j0.69)=-4.23-4-510-3-260Kg-2.702.70?对应的根轨迹增益K.：K, = |st - pil-1st - P2/-jst - p3Kg=20=0.4 + j0.69/--0.4 + j0.69+1CURREN-0.4+j0.69+4对应的K=2.7/4=0.675= 0.8 x 0.92 x 3.67= 2.7Re[s,]4.2③估算系统的性能指标：=10.5>5Re[s,,s,]0.4
⑥ 求s3：由闭环极点的根 之和定理 第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） = = = 3 1 3 1 i i i i p s 0.4 j0.6 9) 4.2 (0 1 4) ( 0.4 j0.6 9 3 − − = − s = − − − − + ⑦ 对应的根轨迹增益Kg： 1 1 1 2 1 3 K s p s p s p g = − − − 0.4 j0.6 9 4 0.4 j0.6 9 0.4 j0.6 9 1 − + + = − + − + + = 0 . 8 0 . 9 2 3 . 6 7 = 2 . 7 对应的K=2.7/4=0.675 ⑧ 估算系统的性能指标： 1 0.5 5 0.4 4.2 Re[ , ] Re[ ] 1 2 3 = = s s s
第4章根轨迹(续)闭环极点的确定所以s12可以作为主导极点=0.5B=600=0.8.0Kgc=20LK-2.700% =e-元5//i-5?×100%60Kg-20Kg00P1.67/aPI5-4-50-3-2Kg-2.70-0.5x3.14/V1-0.52=16.3%2.7010(s)Kg=20Lo0.5×0.8系统为I型，阶跃信号作用下，稳态误差为0；单位斜坡信号下稳态误差为：Canad~1.48S0.675
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 系统为Ⅰ型，阶跃信号作 用下，稳态误差为0；单位斜坡信号下稳态误差为： 所以s1,2 可以作为主导极点。 = = = 0.8 n n 1 6.3% % 100% 2 2 0.5 3.1 4 / 1 0.5 / 1 = = = − − − − e e 1 0(s ) 0.5 0.8 4 4 = = = n s t 1.4 8 0.675 1 1 = = K e s s