第4章根轨迹闭环极点的确定一、绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其对应的K。值。这些特殊位置点通常包括：1、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数土jの此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解根轨迹与虚轴的交点及所对应的K。值，可以确定一个条件稳定系统的参数取值范围
二、闭环极点的确定 第4章 根轨迹 绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极 点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析 时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其 对应的Kg 值。这些特殊位置点通常包括： 1、根轨迹与虚轴的交点： 根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数±jω。 此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴 的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解 根轨迹与虚轴的交点及所对应的Kgc 值，可以确定一 个条件稳定系统的参数取值范围
第4章根轨迹（续）闭环极点的确定例1：某反馈系统的开环传递函数为：K,(s+1)【此类型题目必须要会！G(s)H(s) =s(s -1)(s2 + 4s + 16)试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定时K.的取值范围解: ① n=4, m=1, Zi=-1, Pi=0, P2=1, P3.4 = -2 ± j2 /3实轴上的根轨迹位于(-，-1]和[0，1]。渐近线：3EpP:-0+1-2+j2/3-2-j2/3+14-1n-mCanad(2k+1)元=60,-60°,180n-m
【此类型题目必须要会！】 例1：某反馈系统的开环传递函数为： 第4章 根轨迹 试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定时Kg的取值范围。 闭环极点的确定（续） ( 1) ( 4 1 6) ( 1) ( ) ( ) 2 − + + + = s s s s K s G s H s g ② 实轴上的根轨迹位于(-∞，-1]和[0，1] 。 解：① n=4，m=1，z1 =-1，p1=0，p2=1， 2 2 3 3 ,4 p = − j ③ 渐近线： 3 2 4 1 1 1 0 1 2 j2 3 2 j2 3 1 = − − + − + − − + = − − = = = n m p z m j j n i i a 6 0 , 6 0 ,180 (2 1) = − − + = n m k a
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定④分离点：M(s)=S+-2+j3.4641: N'(s)m(s)- N(s)-84.4470°-77.8592°+110.0877°用试探法可求得：S+140.3513°-110.0877°-47.1430°用长除法还可求得+77.8592°=196.7082°1=-0S3.4龙粉＊但可以验证，Sd3,4/-140.3513°-84.4470°所以，系统只在实-0.79-j2.1647.1430°出射角：03=180°O-2-j3.46410p4=54.5
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ④ 分离点： M ( s) s 1, N ( s) s 3 s 1 2 s 1 6 s 4 3 2 = + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2 1 2 4 1 6 0 ' ' 4 3 2 N s M s − N s M s = s + s + s + s − = 0 . 4 6 2 . 2 2 1 2 = = − d d 用试探法可求得： s s 用长除法还可求得方程有两个共轭复根： 0 .7 9 j 2 .1 6 3 , 4 s = − 但可以验证，sd3,4不满足相角方程，故应舍去。 所以，系统只在实轴上存在两个分离点sd1和sd2。 ⑤ 出射角： 180 106 120 130.5 9 0 5 4.5 3 = + − − − = − p 5 4.5 4 = p -2+j3.4641 -2-j3.4641 0 1 -77.8592° 47.1430° -140.3513° -110.0877° -0.79-j2.16 -84.4470° -1 -84.4470° +110.0877° +140.3513° -47.1430° +77.8592° = 196.7082°
第4章根轨迹（续）闭环极点的确定③与虚轴交点：D(s)= s* + 3s3 +12s2 +(K -16)s+ K = 012R3K,-1652-KKg3K+59K.-38252-KK9CURREN-K,+59K,-382=052-Kg解得：Kgc1=23.3gc2 = 35.7
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ⑥ 与虚轴交点： ( ) 3 1 2 ( 1 6) 0 4 3 2 = + + + − + = g K g D s s s s K s g g g g g g g g s K K K K s K K s s K s K 0 2 1 2 3 4 5 2 5 9 382 3 5 2 3 1 6 1 1 2 − − + − − − 0 5 2 5 9 382 2 = − − + − g g g K K K 令 2 3.3 3 5.7 1 2 = = 解 得 ： K g c K g c
第4章根轨迹(续）闭环极点的确定52-Ks? +K,= 0取辅助方程3K gc = 23.3时, S1,2 =±j1.56545Kgc2 = 35.7时,S1,2 =±j2.56Bj2.57 (Ke2-35.7)福(jl.56（Kgel=23.3)AO由根轨迹可知：00--KgP2P当23.3<K。<35.7时，系统是稳定的；Nj1.56(Kuel=23.3)当超出这一范围Bj2157 (Kge2=35.7)系统不稳定7
第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 取辅助方程： 0 3 5 2 2 + = − g g s K K 2 3.3 1 .5 6 1 1 , 2 K s j g c = 时 ， = 3 5.7 2 .5 6 2 1 , 2 K s j g c = 时 ， = 由根轨迹可知： 当23.3<Kg<35.7 时， 系统是稳定的； 当超出这一范围， 系统不稳定