派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国定理:一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 科)证:设F(x)是保守力,则它具有势能(x) 把势能函数Ⅳ(x)在平衡点x0附近作泰勒展开 学技术大学杨维 V(x)=vot dx x=xo (x-x0)+ x-xo)2+ 2 dx X03 因F(x)=-aVlt,x是平衡点,在该点有f(xo)=0,故 V(x)=vo+ (x-x0)2+ 2 dx X-xo F(x)= (x-x0)+ x=x
7.1.2 恢复力与弹性力 定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 证：设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。 把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开 = + − + − + = = 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 x x dx d V x x dx dV V x V x x x x 因F(x) =﹣dV /dt, x0 是平衡点，在该点有F(x0 ) = 0，故 = + − + = 2 2 0 2 0 ( ) 2 1 ( ) 0 x x dx d V V x V x x = − = − − + = ( ) ( ) 2 0 2 0 x x dx d V dx dV F x x x 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国 v d2v F() (x=x0)+… 科 dx dx 学制令k lx=xo 技 dx x=xo 米奶保留第一项,得: 由于x是平衡点,故k>0。将(716)式代入(71.5),只 大 学 F=-k(x-x0) Q可见,只要把平衡点x取为原点,它的形式就与(71) 杨式完全一样了。这就证明了)是准弹性力 维 [证毕]
7.1.2 恢复力与弹性力 = − = − − + = ( ) ( ) 2 0 2 0 x x dx d V dx dV F x x x 令 0 2 2 x x dx d V k = = 由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将(7.1.6)式代入(7.1.5)，只 保留第一项，得： ( ) 0 F = −k x − x 可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与(7.1.1) 式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。 [证毕] 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国7.12恢复力与弹性力 国取1=0,x0=0,在(74)中只保留一项,得势能为 科 学 V(x==k E 2 技 势能的曲线示于图74 a 术由图可见,在一个严格的弹 大性力作用下的质点只可能作 学S束缚运动,对任何大的能量 E,质点都不能作自由运动, 而只能在下列有限范围内运图7,4弹性力的势能曲线 杨动,即 维 ≤x≤x mIn max 纮其中 2E 2E XX min k max ↓k
7.1.2 恢复力与弹性力 取 V0 =0, x0 = 0，在(7.1.4)中只保留一项，得势能为： 2 2 1 V (x) = kx 势能的曲线示于图7.4。 由图可见，在一个严格的弹 性力作用下的质点只可能作 束缚运动，对任何大的能量 E，质点都不能作自由运动， 而只能在下列有限范围内运 动，即： min max x x x 其中： k E x k E x 2 , 2 min = − max = + 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中7.13简谐振动的描述 国幽1.简谐振动解 科 如图72所示,设弹簧振 学酬子的质量为m,弹簧的倔强 00 技系数为,选取x轴,以平 术题衡位置O为原点,则振子的 图7.2弹簧振子 大 测运动方程为: mx=-kx 学题令: ②2、h 杨解为:x=4c0s(ot+9) 维其中A,9为待定常数,由初始条件确定。称这种运 纮回动为简谐振动
7.1.3 简谐振动的描述 1. 简谐振动解 如图7.2所示，设弹簧振 子的质量为 m，弹簧的倔强 系数为 k，选取 x 轴，以平 衡位置 O 为原点，则振子的 运动方程为： m x = −kx 令： m k = 2 解为： cos( ) = +0 x A t 其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运 动为简谐振动。 0 A, 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中7.13简谐振动的描述 国幽2.简谐振动的特征参量 x=AcoS(@t+o) 科 学 描绘一个简谐振动的特征参量有三个:振幅、角频 技 率和相位。 术(1)振幅A 大 学 A代表质点偏离中心(平衡位置)的最大距离, 它正比于(E)2,即它的平方正比于系统的机械能, gA2∝E 杨 维 纮
7.1.3 简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频 率和相位。 (1) 振幅 A cos( ) = +0 x A t A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离， 它正比于(E) 1/2，即它的平方正比于系统的机械能， A 2 ∝ E ； 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮