3.2.1系统内部稳定性的基本概念 内部稳定性的基本定义 (1)李亚普诺夫意义上的稳定性（isL稳定性) ●定义：如果对于给定的任意实数ε>0，都对应地存在另一实 数6(6，，)>0，使系统满足 ‖x-xe≤(s,) (3-11) 的任一初始状态的响应都满足 Go,xo,0)-xe≤8 t≥to (3-12) 则平衡状态x是李雅普诺夫意义上稳定的，简记为L稳定。 若6只依赖于ε，而和初始时刻无关，则称平衡状态为一 致稳定的。 16
16 3.2.1 系统内部稳定性的基本概念 内部稳定性的基本定义 ⑴ 李亚普诺夫意义上的稳定性 （ i.s.L 稳定性） 定义： 如果对于给定的任意实数 ，都对应地存在另一实 数 ，使系统满足 0 0 （，t 0） ( , ) 0 0 t e x x 的任一初始状态 x0的响应都满足 e φ(t;t0 , x0 ,0) x 0 t t 则平衡状态xe 是李雅普诺夫意义上稳定的，简记为 i.s.L稳定。 若 只依赖于 ，而和初始时刻无关，则称平衡状态为一 致稳定的。 （3－12） （3－11）
●线性定常系统isL稳定 对线性系统)=Ax(),如果由有限的初始状态x)=x。引起 的零输入响应是有界的，则称系统是李亚普诺夫意义上的 稳定。 设系统由有限的初始状态 Ixl≤6 6是一个实数 引起的系统的零输入响应满足 |p(Gto,xo,0)≤& ε是一个实数 (3-13) 则系统是isL稳定。 线性定常系统中出现的等幅振荡是i.s.L稳定的，但它是一种 临界稳定。 17
17 线性定常系统 稳定 对线性系统 ，如果由有限的初始状态 引起 的零输入响应是有界的，则称系统是李亚普诺夫意义上的 稳定。 i.s.L x(t) Ax(t) 0 0 x(t ) x 设系统由有限的初始状态 0 x 是一个实数 引起的系统的零输入响应满足 φ( ; , x ,0) 0 0 t t 是一个实数 则系统是 i.s.L稳定。 线性定常系统中出现的等幅振荡是 稳定的，但它是一种 临界稳定。 i.s.L （3－13）
(2)渐近稳定 定义如果平衡状态x是is.L稳定的，且对给定的实数6(8，。>0 和u>0,存在T(4,δ，o),使系统由x。-x≤(e,)的引起的零状 态响应均满足 |p(to,xo,0)-x≤u t≥to+T(4,δ，to) (3-14) 随着T→0，有4→0 lim p(t;to,x,0)=0 300 (3-15) 则称平衡状态x为渐近稳定的。 ●若T和均与t无关，那麽，x为一致渐近稳定的。 ●若对于任意的x,,其响应均满足im(G,x0)=0,则称x。为大 范围渐近稳定（也称全局渐近稳定）。 18
18 ⑵ 渐近稳定 定义 如果平衡状态 是 稳定的，且对给定的实数 和 ，存在 ，使系统由 的 引起的零状 态响应均满足 xe i.s.L （，t 0） 0 0 ( , , ) 0 T t ( , ) 0 0 t e x x 0 x ( ; , ) ( , , ) 0 0 0 0 t t t t T t φ x ,0 xe 随着 T ，有 0 φ x 0 0 lim ( ; , , ) 0 0 t t t 则称平衡状态 x0为渐近稳定的。 若 T和 均与 t无0 关，那麽， xe为一致渐近稳定的。 若对于任意的 ，其响应均满足 ，则称 为大 范围渐近稳定(也称全局渐近稳定)。 0 x xe （3－14） φ x ,0 0 lim ( ; , ) 0 0 t t t （3－15）
3)不稳定 ●如果对于任意大的￡>0，均不存在一个6(6，，>0，使满足 ,x,0)-x≤6，则称平衡状态x为不稳定的。或只要系统 零状态响应是发散的，则称平衡状态是不稳定的。 ●对于线性定常系统)=A0,对任何初始状态x()=,如 果状态响应是发散的，例如limx,)→o,则系统是不稳定的。 3.2.2线性定常连续系统稳定性特征值判据 (1)线性定常系统i.sL稳定的特征值判别定理 定理3一7线性定常系统()=A(堤i.L稳定的充分必要条件 是：A的所有特征值具有负实部或零实部，并且具有零实部 特征值是A的最小多项式的单根（具有零实部特征值的指数 等于1，即零实部特征值不在一个约当块内)。 19
19 ⑶ 不稳定 如果对于任意大的 ，均不存在一个 ，使满足 ，则称平衡状态 为不稳定的。或只要系统 零状态响应是发散的， 则称平衡状态是不稳定的。 0 0 （，t 0） e x e φ(t;t , x ,0) x 0 0 对于线性定常系统 ，对任何初始状态 ，如 果状态响应是发散的，例如 ，则系统是不稳定的。 x(t) Ax(t) 0 0 x(t ) x lim x (t) i t 3.2.2 线性定常连续系统稳定性特征值判据 ⑴ 线性定常系统 i.s.L稳定的特征值判别定理 定理3－7 线性定常系统 是 稳定的充分必要条件 是： 的所有特征值具有负实部或零实部，并且具有零实部 特征值是 的最小多项式的单根 (具有零实部特征值的指数 等于1，即零实部特征值不在一个约当块内)。 x(t) Ax(t) i.s.L A A A
2)线性定常系统渐近稳定的特征值判别定理 定理3一8线性定常系统)=A)是渐近稳定的充分必要条件 是：A的所有特征值具有负实部。 两条定理的简单证明： ●设平衡状态是x。=0及t,=0,系统的零输入响应为x()=e"x 系统是i.sL稳定的充分必要条件是lpG,x,0≤ε（&是一个实数) 或e是有界的。 设A是A的约当标准型，A与A是相似的，所以上述条件等价 为e利是有界的。 eA1的所有元具有的形式e”（其中2，=a,+j0,是A的特征值)。 若4，=0（零实部），只有在k=0(特征值不在一个约当块内)时，当 t→∞，x(0)是有界的，系统是isL稳定的。 ●若a,<0(零实部)，当t→0，x)=x,=0,系统是渐近稳定的。 证毕20
20 ⑵线性定常系统渐近稳定的特征值判别定理 定理3－8 线性定常系统 是渐近稳定的充分必要条件 是： 的所有特征值具有负实部。 x(t) Ax(t) A 两条定理的简单证明： 设平衡状态是 及 ，系统的零输入响应为 ， 系统是 稳定的充分必要条件是 ( 是一个实数) 或 是有界的。 x 0 e t 0 0 0 x( ) x At t e ( ; , , ) 0 0 φ t t x 0 t e A 设 是 的约当标准型， 与 是相似的，所以上述条件等价 为 是有界的。 A A A A t e A e At的所有元具有的形式 t k e it（其中i i j i 是 A的特征值）。 i.s.L 若 (零实部) ，只有在 (特征值不在一个约当块内)时，当 ， 是有界的，系统是 稳定的。 0 i k 0 t x(t) i.s.L 若 i 0 (零实部) ，当t ，x(t) xe 0，系统是渐近稳定的。 证毕