3.2系统的内部稳定性 系统的内部稳定性则是研究系统的零输入响应的稳定性。因 此只要讨论齐次状态方程 =f(x,t) x(to)=xo,t≥to (3-4) 由初始状态x(t。)=x引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。 (1)系统的平衡状态 对定常系统，齐次状态方程为 =A(t)x x(to)=xo,t≥to 3- 5 如果系统所处的状态x。满足 尤。=0 (3 7 这个状态称为平衡状态。 由平衡状态的定义，x不会使系统产生运动，即 p(t;to,xe,0)=xe (3m8)
11 3.2 系统的内部稳定性 系统的内部稳定性则是研究系统的零输入响应的稳定性。因 此只要讨论齐次状态方程 0 0 0 x f (x,t) x(t ) x ,t t 由初始状态x(t 0 ) x0引起的响应的稳定性，是状态稳定性问题。 ⑴ 系统的平衡状态 对定常系统，齐次状态方程为 0 0 0 x A(t)x x(t ) x ,t t 如果系统所处的状态 xe 满足 x 0 e 这个状态称为平衡状态。 xe e e φ(t;t , x ,0) x 0 由平衡状态的定义， 不会使系统产生运动，即 （3－4） (3－5） （3－7） （3－8）
平衡状态的计算 平衡状态x.为下列方程的解 x。=f(xe,t)=0 对线性定常系统，x满足 x。=Ax。=0 (3-9) 。当A为非奇异时，上述方程有唯一零解x,=0,即系统的零状 态（原点）是系统的唯一平衡状态。 。当A为奇异时，上述方程有无穷多解。对于任意一个已知的 平衡点，总可以通过坐标变换将它转移到原点，所以通常总 是将系统的平衡状态定在零状态。 ●对渐近稳定系统，A总是非奇异的，零状态（原点）是系统的 唯一平衡状态。 12
12 平衡状态的计算 平衡状态 xe为下列方程的解 x f (x ,t) 0 e e 对线性定常系统， xe满足 x e Axe 0 当 为非奇异时，上述方程有唯一零解 ，即系统的零状 态（原点）是系统的唯一平衡状态。 A x 0 e 当 为奇异时，上述方程有无穷多解。对于任意一个已知的 平衡点，总可以通过坐标变换将它转移到原点，所以通常总 是将系统的平衡状态定在零状态。 A 对渐近稳定系统， 总是非奇异的，零状态(原点)是系统的 唯一平衡状态。 A （3－9）
例3-2倒立摆系统 系统的齐次状态方程为 Γ01 0 07T 2 0 0 -1 0 X2 00 0 1 X3 0 011 0x4 显然，A是奇异的，齐次状态方程有无穷多个解。从系统 的状态转移矩阵 -B2 -B3 01-t-113 -P2 0 0 1+11β2 t+11p3 0 011t+121B3 1+11P2 可知，任一[x1000]都是平衡状态，因为只要其他状态 的初值为零，系统将始终稳定在（小车的位移）的初始位 置￥0上。 13
13 例3-2 倒立摆系统 系统的齐次状态方程为 4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x x x x x x x x 显然， 是奇异的，齐次状态方程有无穷多个解。从系统 的状态转移矩阵 A 3 2 2 3 3 2 2 3 0 0 11 121 1 11 0 0 1 11 11 0 1 11 1 t t t t e At 可知，任一 都是平衡状态，因为只要其他状态 的初值为零，系统将始终稳定在 (小车的位移)的初始位 置 x10 上。 1x T [ x 0 0 0 ] 1
例3-3如图所示的单摆， 当取状态变量x1=0,x2=0,状态方程为 「0 1 = gsin 图3-1 10 m 这是一个非线性系统，对其在。处进行线性化，可得线性化 0 方程 0 1 Ai= g coso △x 1 考虑到。=0，日变化很小，令日=△日，x=,线性化方程可写成 += (3-10) A是非奇异的，所以只有唯一一个零平衡状态。 口
14 例3-3 如图所示的单摆， l m 当取状态变量 x1 , x2 ，状态方程为 x x 0 sin 0 1 l g 这是一个非线性系统，对其在 处进行线性化，可得线性化 方程 0 x x 0 0 1 l g x x 0 cos 0 1 0 l g 考虑到 0 0 , 变化很小,令 , x x ，线性化方程可写成 A 是非奇异的，所以只有唯一一个零平衡状态。 图3－1 （3－10）
系统的内部稳定性就是研究当系统受到扰动而偏离平衡状 态后，能否返回平衡状态，或者回到离原平衡状态的一定范 围内，因此内部稳定性就是指系统平衡状态的稳定性。 下面将系统平衡状态的稳定性简称为系统的稳定性。 15
15 , 系统的内部稳定性就是研究当系统受到扰动而偏离平衡状 态后，能否返回平衡状态，或者回到离原平衡状态的一定范 围内，因此内部稳定性就是指系统平衡状态的稳定性。 下面将系统平衡状态的稳定性简称为系统的稳定性