复合函数链式法则复合映射微分中值定理高阶偏导数微分形式不变形定理3设ACRn和DCRm都是区域.若g：△→D在E△可微f :D → Ri 在 y=g(α)可微, 则复合映射 f og:△ → R 在 α 可微, 且(9.8)J(f o g)(α) = J f(y)Jg(α).用图表示就是，当(c1, ..an) → (y1, ..., Ym) →(z1, ... , zi)都可微时，fg也可微（9.8）就是8218210z071ayiayiOr1anAyiymordrn(9.9)=1:Eaymymz1..0C1aEnaiymA1an返回全屏关闭退出6/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ ½n 3 ∆ ⊂ Rn Ú D ⊂ Rm Ñ´«. e g : ∆ → D 3 x ∈ ∆ , f : D → Rl 3 y = g(x) , KEÜN f ◦ g : ∆ → R 3 x , J(f ◦ g)(x) = Jf(y)Jg(x). (9.8) . ^ãL«Ò´, (x1, · · · xn) g −→ (y1, · · · , ym) f −→ (z1, · · · , zl) Ñ, f ◦ g . (9.8) Ò´ ∂z1 ∂x1 · · · ∂z1 ∂xn . . . . . . . . . ∂zl ∂x1 · · · ∂zl ∂xn = ∂z1 ∂y1 · · · ∂z1 ∂ym . . . . . . . . . ∂zl ∂y1 · · · ∂zl ∂ym ∂y1 ∂x1 · · · ∂y1 ∂xn . . . . . . . . . ∂ym ∂x1 · · · ∂ym ∂xn (9.9) 6/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
复合函数链式法则复合映射高阶偏导数微分中值定理微分形式不变形例1首先回顾一下方向导数的定义.所谓在一点（Co，yo）的方向导数其实就是复合函数u=f(aco+tcosa,yo+tcosβ)对变量t求导，这里e=（cosα，cosβ）是单位向量.所以根据复合函数求导规则，有=coscoseOradtOrdtOydt一般来说，即使方向不是单位向量，如对一般方向向量1=（11，12），仍然有df(ao+tli,o+tl2)auafli+afl2aaraydt注意，我们通常习惯用“d”表示对只有一个变量的导数，而用“α”表示对多个变量的偏导数返回全屏关闭退出7/17
Eܼê óª{K EÜN ©¥½n p ê ©/ªØC/ ~ 1 Äk£eê½Â. ¤¢3: (x0, y0) êÙ ¢Ò´Eܼê u = f(x0 + t cos α, y0 + t cos β) éCþ t ¦, ùp ~e = (cos α, cos β) ´ü þ. ¤±âEÜ¼ê¦ 5K, k ∂u ∂~e = df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt = ∂f ∂x cos α + ∂f ∂y cos β 5`, =¦Ø´ü þ, Xéþ ~l = (l1, l2), E, k ∂u ∂~l = df(x0 + tl1, x0 + tl2) dt = ∂f ∂xl1 + ∂f ∂yl2 5¿, ·Ï~S.^/d0L«ékCþê, ^/∂0L« éõCþ ê. 7/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ