设λ是线性变换A的一个特征值,={a∈WAa= λa}称为特征值的特征子空间.dmV称为的几何重 n维线性空间V上的一个线性变换A称为可对角化, 如果A在V的某一个基下的矩阵可以对角化在同构对应 方问主页 下,我们有矩阵可对角化的概念.称n阶方阵A可对角化 如果A相似于一个对角矩阵,即存在一个n阶可逆阵P,使 得P1AP为对角阵.相应下面例1有关于方阵可对角化 的刻划.若A可对角化,则分别取各个特征子空间的基向 全屏 联 量做为列向量得到矩阵尸,即有P-1A尸为对角阵
设A是n维线性空间V上的一个线性变换,求证下列 命题等价 (1)4可对角化 (2)V有n个线性无关的特征向量 方问主页 全部特征值 (4)∑= dima=m,这里,A,A2,…,A是A的全部 特征值; 5)A的所有特征根都在F中并且任意特征值的代数 全屏 联 重数等于几何重数
设A是η维空间V的线性变换,则下列命题等价 (1)V中的任意非零向量都是A的特征向量 (2)4与V上的任意线性变换可交换; (3)A与V上的任意可逆的线性变换可交换; 方问主页 (4)4在V的任意基下的矩阵为数乘矩阵; (5)A在V的任意基下的矩阵相同; 顾共 (6)f4(在F上有n个相同的特征根 全屏 (7)94())=A-A,其中加0∈F 联 (8)V=W,这里λ是A的一个特征值
例3. 设A,A2,…,A是A的所有特征值 (1)设f(x)∈Fz,则f(A1),f(A2 f(An)是f(A)的所有特征值; 方问主页 (2)设A是m阶可逆矩阵,则入 ,A是A-的 所有特征值; (3)设A是n阶可逆矩阵则A,AA21…,AA是A的M 所有特征值 全屏 联