§2.1导数概念 、引例 导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 自
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 §2.1 导数概念 首页 上页 返回 下页 结束 铃
引例 1.直线运动的速度 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(1) 以t0为起始时刻,物体在△时间内的平均速度为 △s_f(o0+△)-f() △t △t 此平均速度可以作为物体在t时刻的速度的近似值 △越小,近似的程度就越好. 因此当Δt>0时,极限 lim v=lim s=lim f(to+△t)-f() At→>0△t->0△t△t->0 △t 就是物体在时刻的瞬时速度 首贝上贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 t f t t f t t s v + − = = ( ) ( ) 0 0 一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t) 以t 0为起始时刻 物体在t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t 0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此当t→0时 极限 1.直线运动的速度 t f t t f t t s v t t t + − = = → → → ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 就是物体在t 0时刻的瞬时速度 下页
2.切线问题 求曲线y=x)在点Mx02y)处的切线的斜率 在曲线上另取一点Nx+△x,y+△y),作割线MN, 设其倾角为.观察切线的形成 当Ax->0时,动点N将沿曲线趋向于定点M,从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 y- 于切线M的斜率: tana= lim tan= lim av Ay Y △x0△x CM =linf(x+△x)-f(x) DC △x>0 Do 动画演示首顶 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0 )处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x→0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率 动画演示 x y x x = = →0 →0 tan lim tanj lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 首页
二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 导数的定义 设函数y=fx)在点x0的某个邻域内有定义如果极限 li f(xo+Ax)-f(xo) △x→>0△x△x→>0 △ 存在,则称函数x)在点x处可导,并称此极限值为函数 f(x)在点x处的导数,记为f(x,即 f(ro)=lim f(xo+△x)-f(x0) △x→>0△xAx→0 △x 如果上述极限不存在,则称函数(x)在点x处不可导 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 二、导数的定义 存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数 f(x)在点x0处的导数 记为f (x0 ) 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 下页 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限 ❖导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导
导数的定义式: f(x=lim Ay= lim J(=o+Ax)=f(xo) Ax->0△x△x->0 导数的其它符号 df(x) x=xo 或 dx x= dx 导数的其它定义式 f(o=lim f(xo+hlo h->0 h f(o)=lim f(x)-f(o x→) xo x-Xo 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •导数的其它符号 下页 •导数的其它定义式 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 导数的定义式: x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0