三、可微的条件 定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x 证(1)必要性∵f(x)在点x可微, ∴Δy=A·△x+0(x), N=f+O(△x) △v 则im29=A+lim 0(△x)=A. △x→0△ △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且4=f(x)
三、可微的条件 定理 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性∵函数f(x)在点x可导, △y=f(x0, △ △x→>0△ 即分=∫(xn)+α, △v 从而Δy=f(x0)·Ax+α(△x),∵α>0(△x→>0) f(x0)·△x+0(△x), 函数∫(x)在点x可微,且∫(x)=A 可导台可微.A=f(x0) 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或矿f(x),即如=f(x)△x
(2) 充分性 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
由微分的定义及上述定理可知若f(x)在x处可导 则f(x)在x处可微,且=f(x0)Ax 当M关0时1m=m4 40dx0f(x)4 →!~(4x→>0)→4=+0(4y) 4y-dy 4y-f'(roar m In Ax→>0 x→0 4 f(xo =0
由微分的定义及上述定理可知 若f (x)在x0处可导 则f (x)在x0处可微，且dy = f (x0 )x 当f (x0 ) 0时 1 ( ) lim lim 0 0 0 = = → → f x x y dy y x x y ~ dy (x → 0) y = dy + o(y) y y f x x y y dy x x ( ) lim lim 0 0 0 − = − → → = − → x y f x x ( ) lim 1 0 0 = 0